伪 Abel 范畴

注意区分本文与 “拟 Abel 范畴”.

伪 Abel 范畴指的是幂等态射均为投影的预加性范畴.

从任意预加性范畴均可得到伪 Abel 范畴, 称为幂等完备化. 大致来说, 这一过程就是对每个对象 $X$ 与幂等态射 $e:X\to X$, 添加对象 $(X,e)$, 并把它视为 $X$ 沿 $e$ 的投影. 可以证明, 此构造是万有的.

1定义

定义 1.1 (伪 Abel 范畴). 伪 Abel 范畴指的是满足以下条件的预加性范畴:

•	对任意幂等态射 $e:X\to X$, 存在态射 $p:X\to Y$ 与 $i:Y\to X$, 使得 $p\circ i=1$ 且 $i\circ p=e$.

定义 1.2 (幂等完备化). 范畴 $\mathcal{C}$ 的幂等完备化指的是以下范畴:

•	对象为所有二元组 $(X,e)$, 其中 $X\in \mathcal{C}$, $e:X\to X$ 为幂等态射.

•	$(X,e)$ 到 $(Y,f)$ 的态射集为 $f\circ \mathcal{C}(X,Y)\circ e$.

命题 1.3. 预加性范畴的幂等完备化是伪 Abel 范畴, 并满足相应的万有性质.

2相关概念

术语翻译

伪 Abel 范畴 • 英文 pseudo abelian category • 德文 pseudo-abelsche Kategorie (f) • 法文 catégorie pseudo-abélienne (f)