结合运算

结合运算是一类二元运算, 满足结合律$$a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c,$$其中 $\ast$ 代表该运算. 例如, 整数的加法、乘法都是结合运算. 很多代数结构都要求它们的运算满足结合律, 包括群 (乃至半群) 中的乘法、环中的乘法、范畴中的复合等.

虽然结合律仅要求三个元素的运算不取决于运算顺序, 但这也能保证多个元素的运算不取决于运算顺序 (命题 2.1). 也就是说, 形如$$a_1\ast a_2\ast \cdots \ast a_n$$的表达式具有明确的含义, 因为无论如何加括号, 得到的结果都是相同的.

带有结合运算的集合也称为半群.

1定义

定义 1.1 (结合运算). 集合 $X$ 上的二元运算 $\ast$ 称为结合运算, 如果它满足结合律: 对任意 $a,b,c\in X$, 有$$a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c.$$此时, 上述结果可以无歧义地写成 $a\ast b\ast c$.

2性质

命题 2.1. 设 $\ast$ 是集合 $X$ 上的结合运算. 则对任何自然数 $n$, 及任意元素 $a_1,\dots ,a_n\in X$, 表达式$$a_1\ast a_2\ast \cdots \ast a_n$$的结果不取决于运算的顺序, 也就是说, 不取决于加括号的方式.

证明. (…)

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术语翻译

结合 (形容词) • 英文 associative • 德文 assoziativ • 法文 associatif • 拉丁文 associativus • 古希腊文 προσεταιριστικός

结合性 • 英文 associativity • 德文 Assoziativgesetz (n) • 法文 associativité (f) • 拉丁文 associativitas (f) • 古希腊文 προσεταιριστικότης (f)