可缩空间

在拓扑学中, 可缩空间是一类拓扑空间, 是指同伦等价于单点空间的空间, 也就是在同伦意义下平凡的空间. 大致来说, 可缩空间可以连续地将自己收缩成一个点. 例如, $n$ 维圆盘 $D^n$ 都是可缩空间, 因为它可以收缩到其中心点, 且收缩的过程完全在 $D^n$ 自身中进行. 但 $n$ 维球面 $S^n$ 不是可缩空间, 因为无法在球面上将其自身收缩为一点.

1定义

定义 1.1. 称拓扑空间 $X$ 为可缩空间, 如果下列等价命题成立:

•	$X$ 同伦等价于单点空间.

•	$X$ 的恒同映射 $1_X$ 是零伦映射.

2例子

•	单点空间是可缩空间. 空空间不是可缩空间.

•	对任何自然数 $n$, 圆盘 $D^n$ 是可缩空间, 但球面 $S^n$ 不是可缩空间.

•	实数集 $\mathbb{R}$ 在其通常的拓扑下是可缩空间. 更一般地, 任何拓扑向量空间都是可缩空间.

•	无穷维球面 $S^{\infty }$ 是可缩空间.

3相关概念

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局部可缩空间

术语翻译

可缩空间 • 英文 contractible space • 德文 kontrahierbarer Raum (m) • 法文 espace contractile (m) • 日文 可縮空間 (かすうくうかん) • 韩文 축약 가능 공간 (縮約可能空間)