光滑映射

在微分几何中, 光滑映射是指可以求任意多阶偏导数的映射, 这里的映射可以是 Euclid 空间之间的映射, 也可以是光滑流形间的映射. 流形间的光滑映射是微分几何中最基本的概念之一.

1定义

对 Euclid 空间的映射

定义 1.1. 设 $m,n$ 为自然数, $U\subset {\mathbb{R}}^m$ 为开集, $f:U\to {\mathbb{R}}^n$ 为映射. 称 $f$ 为光滑映射, 如果满足以下条件:

•	对任何 $x\in U$, 及任何 $i_1,\dots ,i_k\in \{1,\dots ,m\}$ (可以重复), 都存在偏导数$$\frac{{\partial }^{k}f}{\partial x^{i_1}\cdots \partial x^{i_k}}(x).$$

对流形的映射

光滑流形间的光滑映射也就是局部上是 Euclid 空间之间的光滑映射 (定义 1.1) 的映射.

定义 1.2. 设 $X,Y$ 分别为 $m,n$ 维光滑流形, $f:X\to Y$ 是连续映射.

称 $f$ 为光滑映射, 如果满足以下条件:

•	对任意局部坐标 $\phi :U\to X$ 及 $\psi :V\to Y$, 其中 $U\subset {\mathbb{R}}^m$ 与 $V\subset {\mathbb{R}}^n$ 为开集, 复合映射$${\psi }^{-1}\circ f\circ \phi :{\phi }^{-1}(\psi (V))⟶V$$都是光滑映射 (定义 1.1), 这里 ${\phi }^{-1}(\psi (V))\subset U$ 是开集.

另外, 对某个 $x\in X$, 称 $f$ 在点 $x$ 处光滑, 若满足以下条件:

•	存在 $x$ 的开邻域 $U\subset X$, 使得 $f{|}_U$ 是上述意义下的光滑映射.

2例子

•	所有线性映射 $f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 都是光滑映射. 更一般地, 所有多项式映射 $f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 也都是光滑映射.

3性质

切映射

设 $X,Y$ 为光滑流形, $f:X\to Y$ 为光滑映射. 则对每个 $x\in X$, 映射 $f$ 都能诱导切空间之间的线性映射$$d{f}_x:{\mathrm{T}}_{x}X⟶{\mathrm{T}}_{f(x)}Y,$$称为 $f$ 的切映射. 大致来说, 这是 $f$ 的最佳线性逼近, 即最接近 $f$ 的线性映射.

与环化空间的联系

光滑流形间的光滑映射 (定义 1.2) 也可以通过环化空间的概念来描述.

定义 3.1. 设 $X$ 是光滑流形. 定义 $X$ 上的交换环层 ${\mathcal{C}}_X^{\infty }$ 如下:

•	对开集 $U\subset X$, 交换环 ${\mathcal{C}}_X^{\infty }(U)$ 就是所有光滑映射 $f:U\to \mathbb{R}$ 构成的环.

称 ${\mathcal{C}}_X^{\infty }$ 为 $X$ 上的光滑函数层. 则 $(X,{\mathcal{C}}_X^{\infty })$ 可视为局部环化空间.

命题 3.2. 设 $X,Y$ 为光滑流形. 则 $X$ 到 $Y$ 的光滑映射一一对应于局部环化空间 $(X,{\mathcal{C}}_X^{\infty })$ 到 $(Y,{\mathcal{C}}_Y^{\infty })$ 的态射. 光滑映射 $f:X\to Y$ 对应于态射 $(f,f^{♯})$, 这里 $f^{♯}:{\mathcal{C}}_Y^{\infty }\to f_{\ast }{\mathcal{C}}_X^{\infty }$ 以明显的方式定义.

简言之, 光滑流形范畴可以全忠实地嵌入局部环化空间的范畴.

4相关概念

术语翻译

光滑映射 • 英文 smooth map • 法文 application glissée

微分同胚 • 英文 diffeomorphism • 法文 difféomorphisme