2.2. 单纯范畴与拟范畴

本节来正式的构建前文所提到的两种 $(\infty ,1)$-范畴理论. 我们分别将其称为 (局部 Kan)单纯范畴以及拟范畴.

2.2.1Kan 复形

首先介绍 Kan 复形, 它是使用单纯集语言刻画的 $\infty$-群胚. 我们先给出其定义, 而后再探讨其意义.

定义 2.2.1.1. 称单纯集 $X$ 为 Kan 复形是指其满足以下延拓条件: 对于任意 $0\le i\le n$, 以及任意映射 $f:{\Lambda }_i^n\to X$, 都存在 $\tilde{f}:{\Delta }^n\to X$ 使得以下图表交换. $${\Lambda }_i^{n}X{\Delta }^{n}f\tilde{f}$$

为理解该定义的含义, 我们从以下两个角度出发:

•	对于 $0\le i\le n$, ${\Lambda }_i^n\to X$ 的延拓性;
•	该延拓的非唯一性.

回想在上一次见到这种延拓性质还是在上次, 实际上是在命题 2.1.2.7 中, 它描述了如何使用单纯集去描述一个范畴, 而在注记 2.1.2.9 中我们声明, 外尖角的填充性质实际上对应于一些一般范畴中态射所不满足的条件 ¹. 因此对于 $0\le i\le n$, ${\Lambda }_i^n\to X$ 的延拓性导出我们实际上造出了一个所有态射都可逆的单纯集.

而上述构造与命题 2.1.2.7 中不同的一点就在于此时我们没有强调延拓的唯一性. 事实上, 这件事情蕴含高阶态射的存在性, 这是因为当延拓唯一时, 我们所得到的图表是严格交换的, 所以高阶态射就只能是恒等, 而当延拓不唯一时, 我们就相当于说图表交换, 但会有一个高阶态射保证其交换 (或许应该看同伦拉回词条, 我大概想描述那个泛性质), 这个高阶态射就是 $\tilde{f}$. 如果这暂且无法说服你, 请你勉强说服一下自己, 在后文中或许会对此具有更多的体会.

因此定义 2.2.1.1 就相当于刻画了以下信息:

•	由单纯集描述的具有高阶态射的范畴;
•	这些态射都是可逆的.

结合定义 2.1.3 可知, 这确实会是 $\infty$-群胚. 不过注意到我们现在还剩下了一个问题:

•	是否所有的 $\infty$-群胚都可以被刻画为 Kan 复形?

这个问题将会在后文中得到解答.

Kan 复形与拓扑空间

现在我们来探讨一个更加有趣的事情, Kan 复形是否与拓扑空间存在联系. 这让我们想到第 例子: 几何实现-奇异集伴随 中介绍的几何实现-奇异集伴随, 它将单纯集实现为拓扑空间, 而奇异集函子将拓扑空间变为单纯集. 接下来探究此间关系:

命题 2.2.1.2. 令 $E$ 为拓扑空间, 则 $\mathrm{Sing}(E)$ 为 Kan 复形.

证明. 只需说明其满足 Kan 复形的定义即可.

对于 $0\le i\le n$, ${\Lambda }_i^n\to \mathrm{Sing}(E)$ 可根据几何实现函子转化为拓扑空间之间的态射 $|{\Lambda }_i^n|\to E$. 而后将 $|{\Lambda }_i^n|$ 视为 $\{(t_0,\cdots ,t_n)\in |{\Delta }^n|:\text{ 存在 }j\ne i\text{ 使得 }{t}_j=0\}\subseteq |{\Delta }^n|$. 则不难发现我们可以考虑 $|{\Delta }^n|$ 到 $|{\Lambda }_i^n|$ 的收缩, 这个收缩复合上 $|{\Lambda }_i^n|\to E$ 给出态射 $|{\Delta }^n|\to E$, 即给出态射 ${\Delta }^n\to E$.

$\square$

以下探讨单纯集在几何实现下会是什么

命题 2.2.1.3. 令 $S$ 为单纯集, 则 $|S|$ 为 CW 复形.

证明. 首先知道 $S={\mathrm{colim}}_{n\in \mathbb{N}}{\mathrm{sk}}_n(S)$ 而根据命题 2.1.1.11  可知 ${\mathrm{sk}}_n(S)$ 通过将 $\partial {\Delta }^n$ 填充为 ${\Delta }^n$ 的方式得到 ${\mathrm{sk}}_{n+1}(S)$. 而 $|\partial {\Delta }^n|\simeq S^{n-1}$, ${\Delta }^n\simeq D^n$, 因而可知其为 CW 复形.

$\square$

从而我们大概知道一件事情:

•	$|-|$ 的本质像为 CW 复形, $\mathrm{Sing}$ 的本质像为 Kan 复形.

事实上, 如果我们只关心同伦, 那么 $|-|$ 和 $\mathrm{Sing}$ 这对伴随将上升为等价. 以下给出单纯集的同伦的描述:

定义 2.2.1.4. 令 $X$, $Y$ 为单纯集, 给定态射 $f,g:X\to Y$, 称 $f$ 单纯同伦于 $g$ 是指存在映射 $h:{\Delta }^1\times X\to Y$ 使得 $h{\mid }_{\{0\}\times X}=f$ 且 $h{\mid }_{\{1\}\times X}=g$.

警告. 上述定义只有在 $Y$ 为 Kan 复形时为等价关系, 这件事情的原因我们将会使用模型范畴进行说明. 不过现在可以进行一点剧透: 左同伦并不一定都长这样.

因此可以定义范畴 $\mathsf{hKan}$ 如下:

定义 2.2.1.5. Kan 复形的同伦范畴 $\mathsf{hKan}$ 是指以下资料:

•	其对象均为 Kan 复形;
•	给定任意两个 Kan 复形 $X,Y$, 定义 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{hKan}}(X,Y):=\mathsf{Fun}(X,Y)/\sim$, 此处 $\sim$ 是单纯同伦所给出的等价关系;
•	结合律是自明的.

注 2.2.1.6. 使用模型范畴的视角来看, 这确实是 Quillen 模型结构的同伦范畴.

定理 2.2.1.7. 几何实现函子给出范畴等价 $\mathsf{hKan}\simeq \mathsf{hCW}$.

证明. [Lurie, 2018a, Tag 012Z].

$\square$

2.2.2单纯范畴

接下来讲解将 $(\infty ,1)$-范畴刻画为充实于单纯集的范畴这一条路线.

首先, 我们先给出充实于单纯集的范畴的定义我们将这样的范畴称为单纯范畴.

定义 2.2.2.1 (单纯范畴). 称范畴 $\mathcal{C}$ 为单纯范畴是指其充实于单纯集范畴 $\mathsf{sSet}$, 将单纯范畴所构成范畴记为 ${\mathsf{Cat}}_{\mathbb{\Delta }}$.

根据单纯集的结构, 对于单纯范畴 $\mathcal{C}$, 以及任意对象 $X,Y\in \mathcal{C}$, 可将 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y{)}_{\bullet }$ 拆分为 ${\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 份, 将投影至 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y{)}_n$ 所给出的范畴记为 ${\mathcal{C}}_n$.

不难发现有以下交换图表$${\mathsf{Cat}}_{\mathbb{\Delta }}\mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathsf{Cat})\mathsf{Set}\mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}).\mathrm{Ob}\mathcal{C}\mapsto ([n]\mapsto {\mathcal{C}}_n)\mathrm{Ob}$$底部的水平态射相当于将集合 $S$ 映为每一项都取 $S$ 的单纯集 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$. 因而可将 ${\mathsf{Cat}}_{\mathbb{\Delta }}$ 中的对象 $\mathcal{C}$ 视为 $\mathsf{Cat}$ 中的单纯对象 ${\mathcal{C}}_{\bullet }:{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Cat}$, 并且 ${\mathcal{C}}_{\bullet }$ 的底单纯集是常值单纯集. 由这种观点可以得知

命题 2.2.2.2. ${\mathsf{Cat}}_{\mathbb{\Delta }}$ 是完备且余完备的.

证明. 一切约化为函子范畴的极限与余极限可逐点求得, 而 $\mathsf{Cat}$ 是完备且余完备的.

$\square$

以下我们研究充实于 Kan 复形的情况.

定义 2.2.2.3. 令 $\mathcal{C}$ 为单纯范畴, 称 $\mathcal{C}$ 是局部 Kan 的是指, 对于任意 $X,Y\in \mathcal{C}$, 有 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y{)}_{\bullet }$ 是 Kan 复形.

根据上文的讨论我们知道这相当于给出充实于 CW 复形的范畴, 它们显然都会是 $(\infty ,1)$-范畴. 至此, 我们给出了 $(\infty ,1)$-范畴的第一个刻画 (起码我们知道长成这样的东西会是 $(\infty ,1)$-范畴).

2.2.3拟范畴

接下来我们给出 $(\infty ,1)$-范畴的第二种刻画方式, 我们想直接使用单纯集来描述 $(\infty ,1)$-范畴.

为此参考定义 2.2.1.1 下的讨论, 我们可以知道使用单纯集描述的 $(\infty ,1)$-范畴大概该长什么样.

定义 2.2.3.1 (拟范畴). 称单纯集 $\mathcal{C}$ 为拟范畴是指其满足以下延拓条件: 对于任意 $0<i<n$, 以及任意映射 $f:{\Lambda }_i^n\to \mathcal{C}$, 都存在 $\tilde{f}:{\Delta }^n\to \mathcal{C}$ 使得以下图表交换$${\Lambda }_i^{n}X{\Delta }^{n}f\tilde{f}$$

在本章之后, 我们会将拟范畴直接称为 $(\infty ,1)$-范畴.

2.2.4道路范畴与同伦脉

那么现在已经有了两种描述 $(\infty ,1)$-范畴的方式, 我们如何知道它们描述的东西是一样的就成为了问题.

为此我们首先需要构建一对伴随$$\mathsf{sSet}{\mathsf{Cat}}_{\mathbb{\Delta }}.\mathrm{Path}\perp N^{\text{hc}}$$不难发现, 在这两个范畴之间构造伴随的最为典范的方式就是定理 2.1.2.15 所述的实现–脉伴随.

为此只需要合理的切分 $\mathbb{\Delta }$ 中对象, 使之自然地成为单纯范畴即可. 我们将分三步得到这一构造$$\mathbb{\Delta }\to \mathsf{Cat}\to {\mathsf{Cat}}^{(2)}\to {\mathsf{Cat}}_{\mathbb{\Delta }}.$$首先将 $[n]\in \mathbb{\Delta }$ 视为偏序集, 这给出函子 $\mathbb{\Delta }\to \mathsf{Cat}$, 接下来将偏序集 $[n]$ 通过以下方式视为 $2$-范畴 $[\mathsf{n}]$:

•	对象为 $[n]$ 中对象;
•	对于 $i<j$, 定义 ${\mathsf{Hom}}_{[n]}(i,j)$ ($\mathsf{Hom}$ 表示 $2$-范畴的 Hom 范畴) 为以全体形如$$S=\{i=i_0<i_1<\cdots <i_n=j\}\subseteq [n]$$的有限偏序集为对象, 以反向包含为态射的范畴, 即 $S\to T$ 表示 $T\subseteq S$;
•	恒等 $1$-态射 ${\mathrm{id}}_i$ 由单点集 $\{i\}$ 给出;
•	$\mathsf{Hom}$ 范畴的复合由偏序集的并集给出.

由此给出第二步, 接下来构建函子 ${\mathsf{Cat}}^{(2)}\to {\mathsf{Cat}}_{\mathbb{\Delta }}$, 这一步无非是将 $2$-范畴中的 Hom 范畴映为其脉, 将 $[\mathsf{n}]$ 对应的单纯范畴记为 $\mathrm{Path}[n]$. 由此给出函子 $\mathrm{Path}[-]:\mathbb{\Delta }\to {\mathsf{Cat}}_{\mathbb{\Delta }}$. 结合命题 2.2.2.2 以及定理 2.1.2.15 可给出实现–脉伴随$$\mathsf{sSet}{\mathsf{Cat}}_{\mathbb{\Delta }}.\mathrm{Path}\perp N^{\text{hc}}$$将 $\mathrm{Path}$ 称为道路范畴, $N^{\text{hc}}$ 称为同伦脉.

虽然对于道路范畴与同伦脉的更进一步说明是没有什么实际意义的, 但是仍然可以大致描述一下.

令 $\mathcal{C}$ 为单纯范畴, 则其同伦脉 $N^{\text{hc}}(\mathcal{C})$ 无非是以下单纯集: 其第 $n$ 阶定义为 ${\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Cat}}_{\mathbb{\Delta }}}(\mathrm{Path}[n],\mathcal{C})$.

以下刻画 $\mathrm{Path}[n]$ 具体该长什么样, 而后说明对于单纯范畴 $\mathcal{C}$, 其道路范畴 $\mathrm{Path}(\mathcal{C})$ 是拟范畴.

对于 $0\le i<j\le n$, 根据前述构造将 $\mathrm{Path}[n]$ 中从 $i$ 到 $j$ 的态射视为以 $i$ 为下确界 $j$ 为上确界的偏序集. 考虑取其补集 $S\mapsto \{i,i+1,\cdots ,j-1,j\}\setminus S$. 这给出到幂集的双射 ${\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Path}[n]}(i,j)\simeq \mathcal{P}(\{i+1,i+2,\cdots ,j-2,j-1\})$, 它可以唯一地延拓为单纯集的同构$${\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Path}}(i,j{)}_{\bullet }\simeq N\mathcal{P}(\{i+1,i+2,\cdots ,j-2,j-1\})\simeq {\square }^{\{i+1,\cdots ,j-1\}}\simeq {\square }^{j-i-1}.$$从而可通过立方体刻画 $\mathrm{Path}[n]$. 在这种情况下, 对于 $0\le i<j<k\le n$, 可将 $\mathrm{Path}[n]$ 中态射复合刻画为$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Path}[n]}(j,k{)}_{\bullet }\times {\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Path}[n]}(i,j{)}_{\bullet }& \simeq {\square }^{j+1,\cdots ,k-1}\times {\square }^{i+1,\cdots ,j-1}\\ & \simeq {\square }^{j+1,\cdots ,k-1}\times \{0\}\times {\square }^{i+1,\cdots ,j-1}\\ & \hookrightarrow {\square }^{j+1,\cdots ,k-1}\times {\Delta }^1\times {\square }^{i+1,\cdots ,j-1}\\ & \simeq {\square }^{i+1,\cdots ,k-1}\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Path}[n]}(i,k{)}_{\bullet }.\end{array}$$以下刻画 $\mathrm{Path}({\Lambda }_i^n)$ 该长什么样.

命题 2.2.4.1. 令 $0<i<n$ 为整数, 且 $F:\mathrm{Path}({\Lambda }_i^n)\to \mathrm{Path}[n]$ 为 ${\Lambda }_i^n\to {\Delta }^n$ 所诱导的单纯范畴间的函子. 则

1.	$F$ 在对象上是双射, 即 $\mathrm{Path}({\Lambda }_i^n)$ 中对象为 $[n]$ 中对象;
2.	对于 $(j,k)\ne (0,n)$, 有单纯集的同构$${\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Path}({\Lambda }_i^n)}(j,k{)}_{\bullet }\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Path}[n]}(j,k{)}_{\bullet };$$
3.	当 $j=0,k=n$ 时, 有单纯集的单射$${\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Path}({\Lambda }_i^n)}(0,n{)}_{\bullet }\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Path}[n]}(0,n{)}_{\bullet }.$$它可以视同为 ${\sqcap }_i^{n-1}\subseteq {\square }^{n-1}$.

证明. [Lurie, 2018a, Tag 00LR].

$\square$

定理 2.2.4.2 (Cordier–Porter). 令 $\mathcal{C}$ 为单纯范畴, 若 $\mathcal{C}$ 是局部 Kan 的, 则其同伦脉是拟范畴.

证明.

证明. 根据伴随性, 可将 ${\sigma }_0:{\Lambda }_i^n\to N^{\text{hc}}(\mathcal{C})$ 视同 ${\sigma }_0^{\prime }:\mathrm{Path}({\Lambda }_i^n)\to \mathcal{C}$, 根据命题 2.2.4.1 一切约化为说明 $(0,n)$ 处有提升$${\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Path}({\Lambda }_i^n)}(0,n{)}_{\bullet }{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}({\sigma }_0^{\prime }(0),{\sigma }_0^{\prime }(n)){\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Path}[n]}(0,n)$$将 ${\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Path}({\Lambda }_i^n)}(0,n{)}_{\bullet }$ 视同 ${\bigsqcup }_i^{n-1}$, 以下说明对于 Kan 复形 $X$, 以及包含 $i$ 的有限集 $I$, ${\sqcap }_i^I\to X$ 可提升为 ${\square }^I\to X$. 首先将 ${\sqcap }_i^{n-1}$ 视同推出$$(\{0\}\times {\square }^{I\setminus \{i\}}){\bigsqcup }_{\{0\}\times \partial {\square }^{I\setminus \{i\}}}({\Delta }^1\times \partial {\square }^{I\setminus \{i\}})$$从而 ${\sqcap }_i^I\to X$ 可视同实线所示交换图$$\partial {\square }^{I\setminus \{i\}}\mathsf{Fun}({\Delta }^1,X){\square }^{I\setminus \{i\}}\mathsf{Fun}(\{0\},X).$$而提升为 ${\square }^I\to X$ 就相当于给出虚线所示提升. 而由于 $X$ 是 Kan 复形, 右侧会是平凡 Kan 纤维化 (将在下一节定义, 目前读者不妨将其视为对于单射具有提升性质的态射), 而左侧显然为单射, 从而提升存在. 应用到 ${\sqcap }_i^{n-1}$ 上即可.

$\square$

1.	^ 实际上, 我们将看到, 这些条件是逐步减弱的, 即在 $n=2$ 时, 外尖角填充代表可逆, 而 $n=3$ 时, 外尖角填充则代表满或者单, 而 $n$ 越来越大时外尖角可逆所代表的性质就越弱.