拟范畴

在高阶范畴论中, 拟范畴 (又称准范畴、弱 Kan 复形) 是 $(\infty ,1)$-范畴的一种模型, 定义为满足某种条件的单纯集. 单纯集的 $0$ 维单形, 即顶点, 对应于 $(\infty ,1)$-范畴的对象; 其 $1$ 维单形对应于 $(\infty ,1)$-范畴中的态射; 一般地, $n$ 维单形对应于 $(\infty ,1)$-范畴中的 $n$-态射.

在单纯集中, 单形是具有方向的, 即每个单形都带有顶点的排序. 在拟范畴中, $1$ 维单形的方向对应于态射的方向, 而拟范畴满足的附加条件大致是说, 其 $n$ 维单形当 $n\ge 2$ 时不再具有方向. 这些附加条件与 Kan 复形的定义十分类似, 在后者中, 所有单形都不再具有方向.

需要注意的是, 用拟范畴描述 $(\infty ,1)$-范畴时, 并不能直接使用单纯集的同构来描述 $(\infty ,1)$-范畴之间的范畴等价, 因为后者更弱, 正如普通范畴间的范畴等价弱于范畴同构. 该现象实际上是范畴论中局部化的例子, 可以使用模型范畴的理论来准确地描述, 在此例中考虑的是单纯集范畴 $\mathsf{sSet}$ 上的 Joyal 模型结构.

1定义

对整数 $0\le i\le n$, 记 ${\Lambda }_i[n]\subset \Delta [n]$ 为第 $i$ 个 $n$ 维角形, 即从单纯集 $\Delta [n]$ 中去除其内部及第 $i$ 个顶点所对的面, 而得到的子单纯集.

定义 1.1 (拟范畴). 称单纯集 $X$ 为拟范畴, 若满足以下条件:

•	(角形延拓性质) 对任意 $0<i<n$, 及任意映射$$f:{\Lambda }_i[n]⟶X,$$存在映射 $\tilde{f}:\Delta [n]\to X$, 使得下述图表交换: $${\Lambda }_i[n]X\Delta [n]\text{ .}f\tilde{f}$$

此时, 我们称 $X$ 的 $0$ 维单形为拟范畴的对象, $n$ 维单形为拟范畴的 $\mathbf{n}$-态射.

此定义与 Kan 复形的定义十分类似, 其区别仅在于, 这里要求对 $0<i<n$ 的角形有延拓性质, 但 Kan 复形中要求所有角形有延拓性质. 因此, 拟范畴也称为弱 Kan 复形.

直观来看, 角形 ${\Lambda }_1[2]$ 的延拓性质大致是说, 拟范畴中的态射可以复合. 这是因为, 从 ${\Lambda }_1[2]$ 到 $X$ 的单纯集映射对应于 $X$ 中的图表$$yxz\text{ ,}$$其中 $x,y,z\in X_0$ 是 $X$ 中的 $0$ 维单形, 我们视为拟范畴的对象, 而箭头表示 $1$ 维单形, 我们视为拟范畴的态射. 该角形可以延拓, 说的是在 $X$ 中能找到 $2$ 维单形$$yxz\text{ ,}\Uparrow$$其中的双箭头表示这是 $X$ 中的 “实心三角形”, 我们将它视为图中的路径 $x\to y\to z$ 到底边 $x\to z$ 的同伦. 换言之, 我们将底边 $x\to z$ 视为态射 $x\to y$ 与 $y\to z$ 的复合.

类似地, 角形 ${\Lambda }_1[3]$ 与 ${\Lambda }_2[3]$ 的延拓性质是说, 态射复合应满足结合律, 但仅在相差一个高维同伦, 即 $3$ 维单形的意义下如此. 更高维的角形延拓性质对应了这些高维同伦之间的高阶结合律.

2例子

•	任何小范畴 $\mathcal{C}$ 的脉 $\mathfrak{N}(\mathcal{C})$ 都是拟范畴, 这也可以视为将 $\mathcal{C}$ 看成 $(\infty ,1)$-范畴所对应的单纯集. 事实上, 这样的拟范畴满足角形的唯一延拓性质, 也就是在定义 1.1 中, 映射 $\tilde{f}$ 总是唯一的. 反过来, 满足此性质的拟范畴也一定是某个小范畴的脉.

•	任何 Kan 复形都是拟范畴. 若将拟范畴视为 $(\infty ,1)$-范畴, 则 Kan 复形对应于其中的 $\infty$-群胚.

3性质

同伦范畴

(可从讲义: 同伦代数与同调代数/无穷范畴的模型搬运)

4相关概念

术语翻译

拟范畴 • 英文 quasi-category • 德文 Quasikategorie (f) • 法文 quasi-catégorie (f) • 日文 擬圏 (ぎけん)