2. 无穷范畴的模型

注 2.0.1. 本节内容对应于本节对应视频内容为 Six-Functor Formalisms Lecture 1.1 六函子理论介绍, 无穷范畴与模型范畴的后半部分.

现在我们来讲述一下如何去搭建 $(\infty ,1)$-范畴的理论.

2.1动机

首先, 让我们大概描述一下要做什么事, 也就是刻画描述 $(\infty ,1)$-范畴大体上会是一个什么样的东西. 一切的开始是出于同伦论的考量, 简单来说就是:

范畴论可以用来做同伦论, 而同伦论就是 $(\infty ,1)$-范畴论.

问题—导出范畴的下降

注 2.1.1. 关于下降的具体内容我准备安排在后文层论中进行讲解, 不过也可以看我已经写过的层论—下降.

让我们从一个在 $1$-范畴论中无法解决的问题 (即第 1.4 节中所说的内容) 开始引入我们的理论. 考虑环化空间 $X$, 记 $\mathsf{QCoh}(X)$ 为 $X$ 上拟凝聚层所构成的范畴. 以下所述内容搬运自平坦下降词条

我们知道在 fpqc 景 $\mathcal{C}$ 中, 函子$$X\mapsto \mathsf{QCoh}(X)$$关于 $\mathcal{C}$ 中的覆盖满足下降条件. 换句话说上面三个函子都会构成 $(2,1)$-层 (也就称为叠).

具体而言, 考虑 $\mathcal{C}$ 中的开覆盖 $(U_i\to U{)}_{i\in I}$, 有如下的正合列此处 $U_i\cap U_j$ 是指拉回 $U_i\underset{U}{\times }{U}_j$, 对于熟悉同调代数的读者而言这个设定应该是熟知的.

现在我们考虑 $\mathsf{QCoh}(X)$ 的导出范畴 $D(X):=D_{\mathsf{QCoh}}(X)$. 此时就出现了一个问题, 它无法下降.

例 2.1.2. 让我们回到概形. 令 ${\mathbb{P}}^1$ 为 $\mathbb{Z}$ 上的射影直线. 作为概形, 可以将 ${\mathbb{P}}^1$ 视为两个仿射直线 ${\mathbb{A}}_{\mathbb{Z}}^1$ 反着粘起来 (这些内容都属于代数几何里的经典桥段, 可以直接从下面的推出图表中看出怎么粘) 因此可以写为$$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}[X,X^{-1}]\mathrm{Spec}\mathbb{Z}[T]\mathrm{Spec}\mathbb{Z}[U]{\mathbb{P}}^1.T\mapsto XU\mapsto X^{-1}⊞$$我们知道若 $D(X)$ 可以下降, 则$$D({\mathbb{P}}^1)D(\mathbb{Z}[T])D(\mathbb{Z}[U])D(\mathbb{Z}[X,X^{-1}])$$应当为 (2-范畴意义下的) 拉回图表, 但很可惜, 它不是. 因为事实上存在非零态射 $\mathcal{O}\to \mathcal{O}(-2)[1]$ 使得其在 $D(\mathbb{Z}[U])\underset{D(\mathbb{Z}[X,X^{-1}])}{\times }D(\mathbb{Z}[T])$ 中为 $0$. 因此其无法满足下降条件, ${\mathbb{P}}^1$ 上拟凝聚层的导出范畴信息无法由其仿射区域所确定.

那么问题会出在哪里呢? 出在我们对于导出范畴的构造上.

我们知道在构造导出范畴的过程中, 我们原本的打算是逆掉全体拟同构, 但是在经典范畴论中逆掉弱等价的最佳方式就是将其刻画为某种商.

具体的构造过程请参考任意一本同调代数教材, 这并不是我们的主题, 现在我们直接给出最终得到的东西.

令 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴且 $D^{-}(\mathcal{A})$ 为其下有界导出范畴. 换句话说我们可以将其中对象描述为这样的链复形$$P_{\ast }=\left(\cdots \to P_{n-2}\to P_{n-1}\to P_n\to 0\right),\text{ 对于任意 }i,P_i\text{ 均投射}$$由于我们将导出范畴刻画为商, 因此其中态射实际上为 ${\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Ch}}_{\ast }(\mathcal{A})}(P_{\ast },Q_{\ast })$ 中的同伦类. 这就是问题所在, 由于我们将态射直接设置为同伦类, 因此无法记录两个态射之间是如何同伦的, 换句话说, 原本我们有这样一个图表$$P_{\ast }{Q}_{\ast }fg⟹\alpha ⟹\beta \cdots$$其中 2-箭头 $f\Rightarrow g$ 表示从 $f$ 到 $g$ 的同伦, 此外还有 3-箭头, 4-箭头... 但是在经典的导出范畴中, 我们只剩下$$P_{\ast }{Q}_{\ast }[f]=[g]$$此处 $[f]$ 和 $[g]$ 表示同伦类. 这样零伦的态射就自动被视为 $0$ 了.

如何解决这一问题?

为了解决这一问题, 我们就需要将那天犯下的错弥补过来, 也就是说我们得寻找一种能够记录高阶信息的语言. 当然此处的高阶信息暂且只需要同伦, 因此都可以被假设是可逆的. 因此我们需要一个能够记载高阶态射的 “范畴”. 我们要的东西大概是这样的

•

一族对象.

•	在对象 $x,y$ 之间, 可以有 $1$-态射 $f:x\to y$.

•	在 $1$-态射 $f,g:x\to y$ 之间, 可以有 $2$-态射 $\alpha :f\Rightarrow g$.

$$xyfg\Downarrow \alpha$$

•	在 $2$-态射 $\alpha ,\beta :f\Rightarrow g$ 之间, 可以有 $3$-态射 $\xi :\alpha \Rrightarrow \beta$.

$$xyfg⟹\alpha ⟹\beta \Rrightarrow \xi$$

•	而后反复套娃, 给出 $n$-态射.

这样的东西就被称为是 $\mathbf{n}$-范畴.

而在前文导出范畴的讨论中, 我们不需要那么多不可逆的态射, 只需要 $1$-态射不可逆即可. 因此给出定义

定义 2.1.3. 对于 $n>0$ 以及 $0\le r\le n$, $(n,r)$-范畴是指大于 $r$ 阶的态射均可逆的 $n$-范畴. 当 $r=0$ 时, 所得到的范畴称为 $\mathbf{n}$-群胚.

注 2.1.4. 不过出于某些凝聚态数学上的考虑 (见讲义: 凝聚态数学/凝聚态生象), 我们会将 $\infty$-群胚称为生象.

由此我们终于知道了什么是 $(\infty ,1)$-范畴. 于此同时, 我们也看出 $(\infty ,1)$-范畴与同伦之间的紧密联系.

我们的第一个 $(\infty ,1)$-范畴—拓扑空间范畴

现在来给出一个具体的 $(\infty ,1)$-范畴.

最接近于实际的例子就是拓扑空间范畴, 因为我们知道拓扑空间中也具有同伦. 接下来我们要以 $(\infty ,0)$-充实范畴的方式将其刻画.

不过在此我们进行一些额外的设定, 我们所考虑的范畴为紧生成弱 Hausdorff 空间所构成的范畴 $\mathsf{CGwH}$. 该范畴也被称为方便的空间范畴, 它的主要好处是对于任意的 $X,Y\in \mathsf{CGwH}$, 都有 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{CGwH}}(X,Y)$ 具有典范的拓扑空间结构, 并且态射复合$$\circ :{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{CGwH}}(Y,Z)\times {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{CGwH}}(X,Y)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{CGwH}}(X,Z)$$是连续的. 更多内容参阅讲义: 代数拓扑/一个好用的空间范畴.

此时我们可以很自然地将态射 $f,g:X\to Y$ 视为 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{CGwH}}(X,Y)$ 中的两个点, 而将 $f$ 到 $g$ 的同伦 $H$ 视为 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{CGwH}}(X,Y)$ 中的道路.

那么此时, 我们只需要将 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{CGwH}}(X,Y)$ 具体刻画成一个 $(\infty ,0)$-范畴就可以给出 $\mathsf{CGwH}$ 这个 $(\infty ,1)$-范畴. 无需在意态射的相容性这一问题, 因为 $\mathsf{CGwH}$ 就是为了解决这一问题而生的.

现在让我们回顾一些经典的拓扑学上的内容 (内容直接复制粘贴自讲义: 拓扑学/基本群 (I), 在此表示感谢).

定义 2.1.5. 令 $\alpha$, $\beta$ 为两个拓扑空间 $X$ 上的道路, 满足 $\alpha (1)=\beta (0)$. 定义它们的乘积道路为$$(\alpha \ast \beta )(t)=\{\begin{array}{ll}\alpha (2t)& \text{ 若 }0\le t\le 1/2,\\ \beta (2t-1)& \text{ 若 }1/2\le t\le 1.\end{array}$$

那么我们在验证结合律时就会遇到以下问题:$$(\alpha \ast \beta )\ast \gamma (t)=\{\begin{array}{ll}\alpha (4t)& \text{ 若 }0\le t\le 1/4,\\ \beta (4t-1)& \text{ 若 }1/4\le t\le 1/2,\\ \gamma (4t-2)& \text{ 若 }1/2\le t\le 1.\end{array}\text{ 而 }\alpha \ast (\beta \ast \gamma )(t)=\{\begin{array}{ll}\alpha (4t)& \text{ 若 }0\le t\le 1/2,\\ \beta (4t-2)& \text{ 若 }1/2\le t\le 3/4,\\ \gamma (4t-3)& \text{ 若 }3/4\le t\le 1.\end{array}$$它们并不一致, 但是在过去为了让它们一致以给出一些结构, 比如基本群胚, 我们模去了同伦关系, 即我们定义了一个叫做道路同伦的概念:

定义 2.1.6. 拓扑空间上两条道路 $c_0$, $c_1$ 之间的一个道路同伦是一个同伦$$\sigma :[0,1]\times [0,1]\to X,$$它还满足$$\sigma (0,t)=c_0(0)=c_1(0),\sigma (1,t)=c_0(1)=c_1(1).$$特别地, $c_0$ 和 $c_1$ 有相同的出发点和终点. 如果 $c_0$ 与 $c_1$ 道路通伦, 我们用记号 $c_0{\simeq }_p{c}_1$ 表示.

如果记 ${\Lambda }_{x,y}(X)$ 记 $X$ 中所有从 $x$ 出发到 $y$ 的道路, 那么道路同伦在其上无疑是一个等价关系. 并且我们知道 $(\alpha \ast \beta )\gamma$ 与 $\alpha \ast (\beta \ast \gamma )$ 会是道路同伦的. 因此我们对于所有的 $x$ 和 $y$ 都把这些信息商掉, 就可以得到一个范畴.

定义 2.1.7 (基本群胚). 拓扑空间 $X$ 的基本群胚 ${\Pi }_1(X)$ 是如下定义的群胚:

•	对象: $X$ 中的所有点 $x\in X$.

•	态射: 若 $x,y\in X$, 则从 $x$ 到 $y$ 的态射集就是从 $x$ 到 $y$ 的所有道路的同伦类, 即 ${\Lambda }_{x,y}(X)/{\simeq }_p$.

不过这样所得到的 $\mathsf{CGwH}$ 也只是一个 $(2,1)$-范畴. 我们应该吸取之前的教训对于基本群胚这个结构进行略微修改.

构造 2.1.8 (基本 $\infty$-群胚). 拓扑空间的基本 $\infty$-群胚 $\Pi (X)$ 是指以下信息:

•	对象 (0-态射) : $X$ 中的所有点 $x\in X$, 记为 $X_0$.
•	$1$-态射: 若 $x,y\in X$, 则从 $x$ 到 $y$ 的 $1$-态射集就是 ${\Lambda }_{x,y}(X)$, 即 $x$ 到 $y$ 的全体道路. $\Pi (X)$ 中的全体 $1$-态射记为 $X_1$.
•	$2$-态射: 若 $f,g\in {\Lambda }_{x,y}(X)$, 则从 $f$ 到 $g$ 的 $2$-态射集就是 ${\Lambda }_{f,g}({\Lambda }_{x,y}(X))$, $\Pi (X)$ 中的全体 $2$-态射所构成的集合记为 $X_2$.
•	以此类推.

这样, 我们定义出来的 $\Pi (X)$ 是一个分次的结构, 不过每一阶次数之间都具有一些联系.

因此我们实际上可以将其视为一些全序集 $[n]:=\{0<1<\cdots <n\}$ 所构成的范畴 $\mathcal{C}$ 打到集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的函子, 将 $[n]$ 对应于构造 2.1.8 的 $X_n$ 中.

接下来我们看一下这个 $\mathcal{C}$ 该如何构造. 不难发现 $X_1$ 到 $X_0$ 有 $2$ 个自然态射, 分别映为道路的起点和终点, 而 $X_0$ 到 $X_1$ 只有 $1$ 个退化态射. 而后对于 $X_2$, 我们知道 $f$ 到 $g$ 的 $2$-态射应该长成这样但是上图中我们具有两个等号, 将任意一边进行退化是没有任何问题的, 比如说我们选择将 $x=x$ 这一边退化掉, 就得到这并不会丢失任何信息, 反而使用正方形的构造会多出一些赘余的信息. 因此我们使用这样的三角形的构造. 对于更高阶情况的也是如此这般.

此时对于 $X_2$, 其到 $X_1$ 有三个典范的态射, 分别是映为三个边 (虽然有一边是 $\mathrm{id}$). 而 $X_1$ 到 $X_2$ 却只有两个态射, 即将三角形中另外两个边均设置为 $\mathrm{id}$.

从而我们递归地得到了这样一个结构$$X_0{X}_1{X}_2\cdots$$

如果我们以这样的关系直接刻画 $\mathcal{C}$ 未免有点怪异, 因为 $X_1$ 到 $X_0$ 的态射实际上应当被解释为点到道路的端点的嵌入, 同理 $X_1$ 到 $X_2$ 的态射也应当被解释为嵌入到某个面.

基于这种想法, 我们给出以下定义:

定义 2.1.9 (单形范畴). 令 $\mathbb{\Delta }$ 为以下信息所构成的范畴:

•	对象: 全序集 $[n]=\{0<1<\cdots <n-1<n\}$.
•	态射:$[m]$ 到 $[n]$ 的保序映射.

将 $\mathbb{\Delta }$ 称为单形范畴.

此时 $\mathcal{C}={\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$. 那么基本 $\infty$-群胚就可以被解释为函子 $\Pi (X):{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$. 很显然, 这是一个预层.

我们把这种构造称为单纯集. 而当把 $\mathsf{Set}$ 换为一般的范畴 $\mathcal{C}$ 时, 将函子 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$ 称为 $\mathcal{C}$ 中的单纯对象.

定义 2.1.10 (单纯对象). 给定范畴 $\mathcal{C}$,

•	其中的单纯对象意谓函子 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$, 全体单纯对象构成的范畴记为 $\mathsf{s}\mathcal{C}:={\mathcal{C}}^{{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}}$.
•	余单纯对象意谓函子 $\mathbb{\Delta }\to \mathcal{C}$, 全体余单纯对象构成的范畴记为 $\mathsf{cs}\mathcal{C}:={\mathcal{C}}^{\mathbb{\Delta }}$.

定义 2.1.11 (单纯集). 当定义 2.1.10 中 $\mathcal{C}$ 被替换为集合范畴 $\mathsf{Set}$ 时, 得到的单纯对象称为单纯集. 全体单纯集构成的范畴记为 $\mathsf{sSet}$.

因此我们可以通过单纯集的语言来显式的刻画 $\Pi (X)$ 这一结构. 事实上, 我们将发现 $\Pi (X)$ 其实就是奇异集函子 $\mathrm{Sing}(X)$.

言归正传, 我们的第一个 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathsf{CGwH}$ 就可以被刻画为充实于单纯集 $\Pi (X)$ 的范畴. 我们把这种充实于单纯集的范畴称为单纯范畴, 可以发现当其充实的单纯集描述了拓扑空间的同伦型时, 它就会是一个 $(\infty ,1)$-范畴.

我们的第二个 $(\infty ,1)$-范畴—范畴的脉

接下来我们再介绍一个 $(\infty ,1)$-范畴, 不过这次不来自于拓扑空间, 而是来自于范畴.

对于范畴 $\mathcal{C}$, 我们可以将其视为一个 $(\infty ,1)$-范畴, 具体的方式就依赖于范畴的定义.

在范畴的定义中, 我们知道态射可以复合, 因此对于 $x\stackrel{f}{\to }y\stackrel{g}{\to }z$. 我们可以将一个 $2$-态射表为 $g\circ f$, 即以下图表那么 $3$-态射就相当于给出三个态射的复合 (为画图直观不表出 2-态射)因此我们可以给出以下构造

构造 2.1.12. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, 则其脉 $N(\mathcal{C})$ 是指以下信息:

•	对象 $\mathcal{C}$ 中的对象, 记为 ${\mathcal{C}}_0$.
•	$1$-态射: $\mathcal{C}$ 中的态射, 记为 ${\mathcal{C}}_1$.
•	$2$-态射: 从 $x$ 到 $y$ 的 $2$-态射是指态射链 $x\stackrel{f}{\to }z\stackrel{g}{\to }y$, 将全体这样的态射链构成的集合记为 ${\mathcal{C}}_2$.
•	以此类推.

不难发现这一结构也可以自然的表述为一个单纯集.

因此单纯集可以同时表示范畴和拓扑空间, 我们不必使用充实于单纯集的方式来定义 $(\infty ,1)$-范畴.

短暂的总结

上述的两个例子提供了两种不同的 $(\infty ,1)$-范畴的构造方式.

不过它们都与单纯集这个概念息息相关, 我们将在接下来的时间中详细介绍单纯集, 并且确定上述两个构造中单纯集到底需要满足什么条件.