2.1. 单纯集

注记. 本节对应于 Six-Functor Formalisms Lecture 1.2 实现-脉伴随, 小对象论证, 纤维化, Grothendieck-Lurie 构造中的前半部分内容.

在前文中我们已经知道需要使用单纯集去描述 $(\infty ,1)$-范畴, 并且通过两个例子, 我们给出了两种刻画的方式.

•	将 $(\infty ,1)$-范畴刻画为某种充实于单纯集的范畴.
•	将 $(\infty ,1)$-范畴刻画为某种单纯集.

当然事实上会有更多的刻画方式, 不过在此处只讲述最容易想到的两种, 至于完备 Segal 生象留待以后讲解.

不过注意到我们目前只是堪堪定义出单纯集, 尚需要对其性质进行剖析.

2.1.1单纯集

因此本节的核心在于介绍单纯集以及其上的构造.

面态射与退化态射

由于我们将单纯集定义为反变函子 $X_{\bullet }:{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$. 因此研究 $\mathbb{\Delta }$ 上的态射就可以帮助我们探明 $X$ 的性质.

不难发现 $\mathbb{\Delta }$ 上任意态射均可分解为保序满射与保序单射的复合, 即任意的 $[m]\to [n]$ 都可以分解为 $[m]\twoheadrightarrow [l]\hookrightarrow [n]$, 其中 $n\ge l\le m$. 因此只需要研究 $[n]\hookrightarrow [n+1]$ 和 $[n+1]\twoheadrightarrow [n]$ 即可.

而根据前文, 其实可以将 $[n]=\{0<1<2<\cdots <n\}$ 根据以下方式进行 “实现”:

1.	首先视为离散的点 $0,1,2,\cdots ,n$;
2.	而后视为全序集范畴 $0\to 1\to 2\to \cdots \to n$ (当然, 这里没有画出 $i$ 到自身的恒等态射, 以及对于 $j>i$ 时, 态射的复合所给出的 $i\to j$);
3.	再依全序将态射考虑任意两个态射复合, 即对于任意的 $i\le j\le k$ 给出交换图表
4.	而后依全序考虑三个态射的复合, 即对于任意的 $i\le j\le k\le h$ 给出交换图表
5.	依次类推给出 $m\le n$ 个态射的复合情况.

而后将所有东西都拼起来, 这个时候就需要使用填充的图表以示区分, 比如将 $i\le j\le k$ 给出的图表记为 (注意到此时没有点和边的信息, 因此只是一个三角形, 当然 $i=j$ 或者其它情况的时候三角形要进行对应的收缩)而三三态射就是填充为一个四面体.

将所有的东西拼起来我们就得到一个特殊的东西 (姑且称之为复合体), 它是一个 $n$ 维单形, 并且其内每个 $m$ 维单形都被标记出来 (当然可能存在 $i=j=k$ 这类情况), 比如在 $n=2$ 时, 我们得到的东西是那么此时, $[n-1]\hookrightarrow [n]$ 就可以被很显然的表达为将 $[n-1]$ 对应的复合体嵌入到 $[n]$ 中的情况, 它会对应于 $[n]$ 这个复合体中的一个非退化的 $n-1$ 维单形 (即确实要占据 $n-1$ 个不同的点) 及其所盖住的所有信息 ($i\le n-1$ 的信息). 由于其只能盖住 $n-1$ 个点, 因此复合体 $[n]$ 中总是有一个点 $i$ 无法被盖住, 此时就称 $[n-1]\hookrightarrow [n]$ 为 $i$-余面态射, 即为 ${\mathrm{d}}^{n,i}$, 在不引起歧义时, 记为 ${\mathrm{d}}^i$, 不难发现对于 $[n]$, 余面态射恰有 $n$ 个. 举个例子, 还是取 $n=2$ , 我们就有 $3$ 种方式嵌入, 以图明之 (由于一个点不能上多个色, 因此统一定为黑色, 读者当然要知道点也是要被盖住的)接下来考虑 $[n+1]\twoheadrightarrow [n]$ 这个态射, 而这相当于说你在 $[n]$ 这个复合体中, 对于某个 $j$, 将 $j\to j+1$ 变为 ${\mathrm{id}}_j$ (由此带来的连带影响是将 $k>j$ 都变为 $k-1$), 此时这个复合体就退化了. 此时将态射记为 ${\mathrm{s}}^{n,j}$, 在不引起歧义时, 记为 ${\mathrm{s}}^j$, 称为 $j$-退化态射. 退化态射使用画图的方式更好理解, 为了避免画四面体, 此时取 $n=1$.

总结给出定义如下:

定义 2.1.1.1. 令 $[n]\in \mathbb{\Delta }$,

•	对于 $0\le i\le n$, 称态射 ${\mathrm{d}}^i:[n-1]\hookrightarrow [n]$ 为余面态射是指其由下式给出$${\mathrm{d}}^i(j):=\{\begin{array}{ll}j,& j<i,\\ j+1,& j\ge i.\end{array}$$
•	对于 $0\le i\le n$, 称态射 ${\mathrm{s}}^i:[n+1]\twoheadleftarrow [n]$ 为余退化态射是指其由下式给出$${\mathrm{s}}^i(j):=\{\begin{array}{ll}j,& j\le i,\\ j-1,& j>i.\end{array}$$

带入定义 2.1.11 给出单纯集中的对应物:

定义 2.1.1.2. 令 $X:{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$ 为单纯集, 对于 $[n]\in \mathbb{\Delta }$, $0\le i\le n$. 称 ${\mathrm{d}}_i:X_n\to X_{n-1}$ 为面态射是指其为余面态射 ${\mathrm{d}}^i$ 的像. 称 ${\mathrm{s}}_i:X_n\to X_{n+1}$ 为退化态射是指其为余退化态射 ${\mathrm{s}}^i$ 的像.

不难发现面态射和退化态射可以给出以下等式:$$\begin{array}{rlr}{\mathrm{d}}_i{\mathrm{d}}_j& ={\mathrm{d}}_{j-1}{\mathrm{d}}_i,& i<j\\ {\mathrm{d}}_i{\mathrm{s}}_j& ={\mathrm{s}}_{j-1}{\mathrm{d}}_i,& i<j\\ {\mathrm{d}}_j{\mathrm{s}}_j& =\mathrm{id}={\mathrm{d}}_{j+1}{\mathrm{s}}_j,& \forall j\\ {\mathrm{d}}_i{\mathrm{s}}_j& ={\mathrm{s}}_j{\mathrm{d}}_{i-1},& i>j+1\\ {\mathrm{s}}_i{\mathrm{s}}_j& ={\mathrm{s}}_{j+1}{\mathrm{s}}_i,& i\le j.\end{array}$$

单形

接下来讲述一些单纯集的基本构造

定义 2.1.1.3. 令 $X$ 为单纯集, 称 $\sigma$ 为 $X$ 中的 $\mathbf{n}$-单形是指 $\sigma \in X_n$.

由于单纯集是预层 ${\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$, 因此自然可以考虑其中可表函子.

定义 2.1.1.4. 标准 $n$-单形是指单纯集 ${\Delta }^n:={\mathrm{Hom}}_{\mathbb{\Delta }}(-,[n])$.

由 Yoneda 引理不难发现 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}({\Delta }^n,X)=X([n])=X_n$, 因此 $n$-单形 $\sigma \in X_n$ 可以被解释为态射 ${\Delta }^n\to X$, 在后文中我们会不加说明的使用这一点. 同时, 不难发现 ${\Delta }^n$ 就可以被视为 $[n]$ 这个复合体.

那么在定义 2.1.1.2 中我们定义了单纯集的退化态射, 不难发现在单纯集语境中将其视为把 $n$-单形对应于退化的 $n+1$-单形是更合适的. 因此可以给出定义.

定义 2.1.1.5. 令 $X$ 为单纯集, 称 $n$-单形 $\sigma$ 是退化的是指 $\tau \in {\bigcup }_j\mathrm{im}{\mathrm{s}}_j$. 不是退化的单形称为是非退化的.

维数, 骨架, 余骨架

由于单纯集是一种分次的结构, 我们想问单纯集是否可以一层层拼起来.

答案是可以的, 我们首先讨论单纯集的维数.

定义 2.1.1.6. 令 $X$ 为单纯集, $k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 为非负整数, 则称 $X$ 的维数 $\le k$ 是指对于任意 $m>k$, $X_m$ 中每个单形都是退化的. 若 $X$ 的维数 $\le k$ 但是并不 $\le k-1$, 则称 $X$ 的维数为 $k$, 将 $X$ 的维数记为 $\dim (X)$. 称 $X$ 为有限维的是指存在 $k<\infty$ 使得 $X$ 的维数 $\le k$.

例 2.1.1.7. ${\Delta }^n$ 的维数为 $n$.

练习 2.1.1.8. 令 $X$ 为单纯集, $k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 为非负整数, 则 $X$ 的 $k$-单形 $\sigma$ 总是可以唯一分解为 ${\Delta }^n\to {\Delta }^m\stackrel{\tau }{\to }X$, 其中 $m\le n$ 且 $\tau$ 为非退化 $m$-单形.

那么对于一个单纯集 $X$, 我们可以只保留其维数为 $n$ 的信息, 然后观察将这些维数为 $n$ 的信息粘起来得到的东西是否就是 $X$.

定义 2.1.1.9. 令 $X$ 为单纯集, $k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 为非负整数, 可构造单纯集 ${\mathrm{sk}}_k(X{)}_{\bullet }$ 如下: ${\mathrm{sk}}_k(X{)}_n$ 是由 $X_n$ 中形如 ${\Delta }^n\to {\Delta }^m\to X$ 的单形所构成的集合, 其中 $m\le k$. 将 ${\mathrm{sk}}_k(X)$ 称为 $X$ 的 $\mathbf{k}$-骨架.

不难发现 ${\mathrm{sk}}_k(X)$ 就是取出 $X$ 中所有 $k$-维非退化单形以及所有能够退化到它们的退化单形所构成的新的单纯集. 从而可以给出以下一列映射$${\mathrm{sk}}_0(X)\hookrightarrow {\mathrm{sk}}_1(X)\hookrightarrow {\mathrm{sk}}_2(X)\hookrightarrow \cdots \hookrightarrow {\mathrm{sk}}_k(X)\hookrightarrow \cdots$$不难发现, 对于 $n\le k$, ${\mathrm{sk}}_k(X)$ 总是包含 $X$ 中的全体 $n$-单形. 因此可知 ${\bigcup }_k{\mathrm{sk}}_k(X)=X$. 并且骨架会有以下的泛性质:

命题 2.1.1.10. 令 $X,Y$ 为单纯集, $k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 为非负整数, 则 ${\mathrm{sk}}_k(X)$ 的维数 $\le k$ 并且当 $Y$ 的维数 $\le k$ 时, 对于态射 $f:Y\to X$, 存在唯一的箭头 $\bar{f}$ 使得图表交换:

证明. [Lurie, 2018a, Tag 001A]

$\square$

接下来我们想问将全体 $k$-非退化单形加入到 ${\mathrm{sk}}_{k-1}(X)$ 中后是否可以得到 ${\mathrm{sk}}_k(X)$.

为此我们需要了解取骨架的过程中具体丢掉了什么信息. 现令 $X$ 为单纯集, $k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 为非负整数, 现在我们来从 ${\mathrm{sk}}_{k-1}(X)$ 恢复出 ${\mathrm{sk}}_k(X)$. 记 $X_k^{\text{nd}}$ 为 $X$ 中全体非退化 $k$-单形所构成的集合, 则 $\tau \in X_k^{\text{nd}}$ 即为态射 ${\Delta }^k\to {\mathrm{sk}}_k(X)$, 我们事实上可以考虑 ${\Delta }^k$ 的 $k-1$-骨架, 这样根据骨架的维数可以知道 $\dim ({\mathrm{sk}}_{k-1}({\Delta }^k))=k-1$, 因此由命题 2.1.1.10 可知存在态射 $\bar{\tau }$ 使得图表交换这样就可以典范的给出 $\tau$ 作为 $k-1$-单形的对应.

命题 2.1.1.11. 令 $X$ 为单纯集, 且 $k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 为非负整数, 则以下图表为推出

证明. 只需取 ${\mathrm{sk}}_k(X)$ 中不包含在 ${\mathrm{sk}}_{k-1}(X)$ 中的 $n$-单形 $\tau$ 即可发现其能被分解为 ${\Delta }^n\to {\Delta }^k\stackrel{\sigma }{\to }X$, 因此可知 $\sigma \in X_k^{\text{nd}}$.

$\square$

注 2.1.1.12. 这一命题将会在后文中不时出现, 原因在于 $(\infty ,1)$-范畴和生象本质上均为单纯集, 都可以使用这种方式刻画为推出, 不过在 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 和 $\mathsf{Ani}$ 中我们需要利用模型范畴的弱分解系统做一些微调.

由此可知, 对于任意单纯集 $X$, 我们总是可以将其拆分为若干步推出, 换句话说, 我们其实在其上粘接胞腔. 接下来为 ${\mathrm{sk}}_{k-1}({\Delta }^k)$ 命名并给出直观.

定义 2.1.1.13. 令 $k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 为非负整数, 则对于标准 $k$-单形 ${\Delta }^k$, 定义其边界为 $\partial {\Delta }^k:={\mathrm{sk}}_{k-1}({\Delta }^k)=\{f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{\Delta }}([m],[n]):\mathrm{im}(f)\ne [n],m\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}\}$.

以下给出其直观, 由定义可知 $\partial {\Delta }^k$ 是由全体并不打满 $[n]$ 的 $f:[m]\to [n]$ 所给出的. 因此对于任意的复合体 $[i]\subseteq [n]$, 它都会被打满, 从而它就只是在 $[n]$ 所对应的复合体中去掉那个非退化的 $n$ 维单形. 在 $n=2$ 时即为

可以看到骨架构成一个函子.

命题 2.1.1.14. 令 $k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 为非负整数, 则 ${\mathrm{sk}}_k:\mathsf{sSet}\to \mathsf{sSet}$ 为函子.

命题 2.1.1.15. 对于任意 $k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$, ${\mathrm{sk}}_k$ 保持余极限.

证明. [Lurie, 2018a, Tag 0503]

$\square$

结合 $\mathsf{sSet}$ 为可表现范畴, 使用伴随函子定理可知该函子存在右伴随, 称为 $k$-余骨架, 以下对其进行构造.

我们将由 ${\mathrm{sk}}_k(X)$ 中自由生成高阶单形后所得到的结构记为 ${\mathrm{cosk}}_k(X)$, 此时即对于任意的 $n>k$ 以及 ${\tau }^{\prime }:\partial {\Delta }^n\to {\mathrm{cosk}}_k(X)$, 都存在唯一的填充 $\tau :{\Delta }^n\to {\mathrm{cosk}}_k(X)$ 使得以下图表交换我们来说明 ${\mathrm{cosk}}_k(X)$ 就是 $X$ 的 $k$-余骨架. 对于任意的单纯集 $H$, ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}(H,{\mathrm{cosk}}_{k}X)$ 可以被写为以下图表的极限$$\cdots \to {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}({\mathrm{sk}}_{k+2}H,{\mathrm{cosk}}_{k}X)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}({\mathrm{sk}}_{k+1}H,{\mathrm{cosk}}_{k}X)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}({\mathrm{sk}}_{k}H,{\mathrm{cosk}}_{k}X).$$而对于 $m>k$, 都有 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}({\mathrm{sk}}_{m}H,{\mathrm{cosk}}_{k}X)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}({\mathrm{sk}}_{m-1}H,{\mathrm{cosk}}_{k}X)$ 为双射, 这是因为我们可以利用命题 2.1.1.10 将 $H$ 约化为 ${\Delta }^n$, 而后利用 ${\mathrm{cosk}}_k(X)$ 构造给出双射. 因此 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}(H,{\mathrm{cosk}}_{k}X)\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}({\mathrm{sk}}_{k}H,{\mathrm{cosk}}_{k}X)\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}({\mathrm{sk}}_{k}H,X)$ 验证了伴随关系.

定义 2.1.1.16. 令 $k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 为非负整数, 则前文构造给出了 ${\mathrm{sk}}_k$ 的右伴随 ${\mathrm{cosk}}_k$, 称为 $\mathbf{k}$-余骨架.

当然, 我们可以使用 Kan 延拓来定义骨架和余骨架, 在此不细表.

单纯集的若干变体

我们可以对于 $\mathbb{\Delta }$ 进行一些改动, 从而获得一些特殊的单纯集.

比如可以在 $\mathbb{\Delta }$ 中加入一个 $[-1]=\varnothing$ 得到$$[-1][0][1][2]\cdots .$$由此可以给出 $-1$-阶的单纯对象, 将改造后的单形范畴记为 ${\mathbb{\Delta }}_{+}$, 称为增广单形范畴.

定义 2.1.1.17. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, 则 $\mathcal{C}$ 中的增广单纯对象是指函子 $X:{\mathbb{\Delta }}_{+}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$. 对偶地, 可以定义余增广单纯对象.

注 2.1.1.18. 增广单纯对象的概念常常跟分裂单纯对象一起出现, 这是因为当一个增广单纯对象 $X$ 是分裂的时, 会有 $\mathrm{colim}X{\mid }_{\mathbb{\Delta }}\simeq X_{-1}$. 当然增广余单纯对象分裂时就给出极限情况.

此外, 由于退化态射给出的信息往往是多余的, 在计算时会形成一些不必要的阻碍, 所以很多时候我们会去掉退化态射的信息, 即在 $\mathbb{\Delta }$ 中删去所有的余退化态射. 我们将 $\mathbb{\Delta }$ 中去掉所有余退化态射的产物称为半单形范畴, 记为 ${\mathbb{\Delta }}_{单}$(因为只保留单射).

定义 2.1.1.19. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, 则 $\mathcal{C}$ 中的半单纯对象是指函子 $X:{\mathbb{\Delta }}_{单}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$. 对偶地, 可以定义余半单纯对象.

至于剩下的变体等我们用到时再讨论.

2.1.2实现–脉伴随

本节来讨论实现–脉伴随, 这个伴随在单纯集上的情况可以被理解为单纯集对于一个构造的模拟能力.

实现是指某个范畴 $\mathcal{C}$ 上单纯集的 “形状”, 而脉一般是指将范畴 $\mathcal{C}$ 中的结构编码为单纯集. 我们先通过几个例子来观察这一现象. 不过一切开始之前, 我们来回忆 Yoneda 嵌入的稠密性.

命题 2.1.2.1. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, 则对于任意预层 $X\in \mathcal{P}(\mathcal{C})$, 都有 $X\simeq {\mathrm{colim}}_{(S,y(S)\to X)}y(S)$, 其中 $y:\mathcal{C}\to \mathcal{P}(\mathcal{C})$ 为 Yoneda 嵌入.

证明. [李文威, 2024, 定理 A.1.3]

$\square$

例子: 几何实现-奇异集伴随

首先令 $\mathcal{C}=\mathsf{Top}$, 此时回想我们所定义的复合体 $[n]$ 的形状, 那么如果将复合体中全体小于 $n$ 维的信息全都去掉, 所得到的东西就是拓扑空间的 $n$ 维单形.

因此这样可以给出函子 $\mathbb{\Delta }\to \mathsf{Top}$, 它将 $[n]$ 映为 $n$ 维单形, 即$$[n]\mapsto |{\Delta }^n|=\left\{(x_0,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}:x_0,\dots ,x_n\ge 0,\text{ 且 }\sum _{i=0}^n{x}_i=1\right\}$$因此我们就有以下图表$$\mathbb{\Delta }\mathsf{sSet}\mathsf{Top}.y$$那么理所应当的, 我们想构造一个函子 $\mathsf{sSet}\to \mathsf{Top}$, 使其逼近于 $\mathbb{\Delta }\to \mathsf{Top}$. 这让我们想到了 Kan 延拓. 而命题 2.1.2.1 说明每个单纯集 $X$ 均可写为其内 $n$-单形所对应的 ${\Delta }^n$ 的余极限. 因此使用左 Kan 延拓就可以给出我们想要的单纯集在拓扑空间中的形状 (事实上, 也是因为拓扑空间中余极限是商空间, 不过这似乎没有前面那般具有说服力), 我们把这个东西称为几何实现.

定义 2.1.2.2 (几何实现). 单纯集的几何实现是指函子 $|-|:\mathsf{sSet}\to \mathsf{Top}$, 它定义为左 Kan 扩张$$\mathbb{\Delta }\mathsf{sSet}\mathsf{Top}[n]\mapsto {\Delta }^{n}y|-|$$其中 $y$ 为 Yoneda 嵌入. 从而 $|-|:={\mathrm{Lan}}_y([n]\mapsto {\Delta }^n)$. 根据左 Kan 扩张的具体构造可知单纯集 $X$ 的几何实现可以刻画为余极限 $|X|={\mathrm{colim}}_{(n,x)}{\Delta }^n$. 此处 $(n,x)$ 所构成的范畴中态射为使得以下图表交换的态射 $f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{\Delta }}([n],[m])$ : $${\Delta }^n{\Delta }^{m}Xfxy$$这也相当于要求 $f^{\ast }:X_m\to X_n$ 满足 $f^{\ast }(y)=x$.

几何实现可以具体的刻画为商空间$$|X|=\frac{{\coprod }_{n\ge 0}{X}_n\times {\Delta }^n}{(f^{\ast }(y),t)\sim (y,|f|(t))},(f^{\ast }(y),t)X_n{\Delta }^n[n](y,|f|(t))X_m{\Delta }^m[m]\in \times |f|f\in f^{\ast }\times$$依照几何直观, 可将单纯集 $X$ 的几何实现试想为以下空间以及其粘接: $X_0,\cdots ,X_n$ 相当于 $X_0$ 的基数份的 ${\Delta }^0$, $\cdots$, $X_n$ 的基数份的 ${\Delta }^n$, 依照 $f^{\ast }:X_m\to X_n$ 进行组装, 由于 $\mathbb{\Delta }$ 中的态射均可唯一地分解为保序满射和保序单射的合成, 因此后文中只给出面态射和退化态射所对应的组装方式.

•	取 ${\mathrm{d}}^i:[n-1]\hookrightarrow [n]$, 则 $|{\mathrm{d}}^i|$ 将 $\{{\mathrm{d}}_i(x)\}\times {\Delta }^{n-1}$ 嵌入 $\{x\}\times {\Delta }^n$. 因此面态射 ${\mathrm{d}}_i:X_n\to X_{n-1}$ 的效果等同于指定对应于 $x$ 的 $n$ 维单形的第 $i$ 个面 (即 $d_i(x)$), 依次黏合.
•	取 ${\mathrm{s}}^j:[n+1]\twoheadrightarrow [n]$ 将 $\{s_j(x)\}\times {\Delta }^{n+1}$ “压入” 为 $\{x\}\times {\Delta }^n$. 因此退化态射 ${\mathrm{s}}_j:X_n\to X_{n+1}$ 的效果等同于指定对应于 $x$ 的 $n$ 维单形放在 $n+1$ 维 “退化” 单形的第 $j$ 个面.

由此可知退化 $n$ 维单形在粘合时是无关紧要的, 但是退化的信息仍是必要的.

接下来我们讲述一下如何从拓扑空间中读取单纯集的信息, 构造 2.1.8 中给出过一个从拓扑空间中取出单纯集的方式, 称为基本 $\infty$-群胚, 但是这一构造难以手动刻画, 现在我们来给出一个容易刻画的构造.

定义 2.1.2.3. 对于任意拓扑空间 $E\in \mathsf{Top}$, 其奇异集 $\mathrm{Sing}(E)$ 是指如下定义的单纯集: $$\mathrm{Sing}(E{)}_n:={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Top}}(|{\Delta }^n|,E),n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0},$$这给出函子 $\mathrm{Sing}:\mathsf{Top}\to \mathsf{sSet}$, 称为奇异集函子.

练习 2.1.2.4. 证明几何实现是奇异集函子的左伴随.

不难发现, 奇异集函子就是在奇异同调中全体奇异 $n$-单形所构成的单纯集. 它所生成的自由 Abel 群就是奇异链群, 由此可以探讨单纯集与同调之间的关系, 不过这一点我们放在后文.

例子: 同伦范畴-脉伴随

在构造 2.1.12 中我们给出了一种使用单纯集来搭建 $(\infty ,1)$-范畴的方式. 这实际上是使用单纯集来编码 $1$-范畴. 我们现在来显式的说明满足什么条件的单纯集才能够编码 $1$-范畴.

首先还是给出脉的具体定义

定义 2.1.2.5. 范畴的脉是指函子 $N:\mathsf{Cat}\to \mathsf{sSet}$, 它将小范畴 $\mathcal{C}$ 映为构造 2.1.12 所给出的 $N(\mathcal{C})$, 即 $N(\mathcal{C}{)}_n:={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Cat}}([n],\mathcal{C})$.

回忆到我们构造脉的想法是这样的: 对于 $x\stackrel{f}{\to }y\stackrel{g}{\to }z$, 将 $2$-态射定义为复合 $g\circ f$, 即图表而后递归地将 $n$-态射定义为 $n$ 个态射的复合.

现在我们思考什么样的单纯集会对应于某个范畴 $\mathcal{C}$ 的脉. 观察到上述图表其实满足这样的性质: $$yxzgf\text{可唯一填充为}yxzgfh$$此处 $h=g\circ f$.

因此知道我们大概需要找一个形如的单纯集, 以及其更高维的版本. 由于其长得像一个尖角, 因此我们就称其为尖角.

定义 2.1.2.6. 令 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 为非负整数, $0\le i\le n$. 则尖角 ${\Lambda }_i^n$ 定义为 $\{f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{\Delta }}([m],[n]):\mathrm{im}(f)\ne [n]\setminus \{i\}\}$. 当 $0<i<n$ 时, 称 ${\Lambda }_i^n$ 为内尖角, 当 $i=0$ 或 $n$ 时, 称 ${\Lambda }_i^n$ 为外尖角.

前文中的图像就是 ${\Lambda }_1^2$ 的直观. 不难发现 ${\Lambda }_i^n$ 就是边界 ${\Delta }^n$ 再去掉第 $i$ 个顶点所对应的面.

那么前文所述的填充其实就可以被表述为以下图表的交换性此处 $(f,g)$ 是指将 ${\Lambda }_1^2$ 映为 $x\stackrel{f}{\to }y\stackrel{g}{\to }z$. 而 $(f,g,h)$ 则表示填充后的图表.

现在来说明什么样的单纯集会是某个范畴的脉.

命题 2.1.2.7. 令 $X$ 为单纯集, 则以下条件等价:

1.	存在小范畴 $\mathcal{C}$ 使得 $X\simeq N(\mathcal{C})$.
2.	对于任意内尖角 ${\Lambda }_i^n$, 以及 $\mathsf{sSet}$ 中的态射 ${\sigma }^{\prime }:{\Lambda }_i^n\to X$, 都可被唯一地填充到 ${\Delta }^n$ 上, 即以下图表交换

注 2.1.2.8. 当然, 熟悉 Segal 生象的读者应当可以看出上述条件其实也在说明范畴的脉是满足 Segal 条件的单纯集.

具体证明不过是简单的验证, 留作习题.

注 2.1.2.9. 那么为什么不能是外尖角呢, 这是因为外尖角的填充性质蕴含范畴中态射不一定满足的性质, 比如在 $n=2$ 时取 $i=0$, 外尖角所对应的态射链就是此时如果取 $x\to z$ 为 $\mathrm{id}$(即 $x=z$), 而 $y\to z$ 为任意态射, 这等价于说任意态射均可逆.

现在我们已经描述了如何使用单纯集去编码范畴, 那么回到本节刚开始的问题, 在范畴中单纯集长什么形状呢?

注意到在构造脉的过程中我们实际上给出了一个函子 $\mathbb{\Delta }\to \mathsf{Cat}$, 它将 $[n]$ 映为偏序集 $[n]$. 因此给出图表$$\mathbb{\Delta }\mathsf{sSet}\mathsf{Cat}y\text{视为偏序}$$再利用 Yoneda 嵌入的稠密性, 因此可以得知单纯集在 $\mathsf{Cat}$ 中的形状应当也为左 Kan 延拓. 其具体刻画如下:

定义 2.1.2.10 (同伦范畴). 令 $X$ 为单纯集, 定义范畴 $h(X)$ 为以下信息:

•	对象: $X_0$ 中的元素.
•	态射: $X_1$ 所生成的态射, 对于任意 $1$-单形 $f:{\Delta }^1\to X$, 它都被视为从 ${\mathrm{d}}_1(f)$ 到 ${\mathrm{d}}_0(f)$ 的态射.
•	复合: 态射的自由复合记为 $f\star g$ , 商去以下关系 1. $1$-单形 ${\mathrm{s}}_0(x)={\mathrm{id}}_x$ 是 $x$ 的恒等态射. 2. 对于每个边界为三元组 $(f,g,h)$ 的 $2$-单形 $\sigma :{\Delta }^2\to X$, 有 $h=g\star f$ 3. 若 $f\sim f^{\prime }$ 则 $f\star g\sim f^{\prime }\star g$ 且 $g^{\prime }\star f\sim g^{\prime }\star f^{\prime }$.

称其为 $X$ 的同伦范畴.

同伦实现与脉事实上也会构成一对伴随, 不过此时我们需要考虑大范畴所构成的范畴 $\widehat{\mathsf{Cat}}$ 以规避集合论问题.

命题 2.1.2.11. 同伦范畴函子与脉构成 $\widehat{\mathsf{Cat}}$ 中的伴随函子 $h⊣N$.

实现-脉伴随

现在让我们比较前面两个例子, 在我们定义单纯集在范畴 $\mathsf{Top}$ (或 $\mathsf{Cat}$) 中的 “形状” 时, 我们总是先给出 $\mathbb{\Delta }$ 中对象在 $\mathsf{Top}$ (或 $\mathsf{Cat}$) 中的形状, 即一个函子 $F:\mathbb{\Delta }\to \mathsf{Top}$(或 $\mathsf{Cat}$) 而后使用左 Kan 延拓. 而使用单纯集对于一个结构 $E\in \mathsf{Top}$(或 $\mathsf{Cat}$) 进行编码时, 总是利用 $\mathbb{\Delta }$ 在 $\mathsf{Top}$ (或 $\mathsf{Cat}$) 中的形状进行定义, 即其第 $n$ 阶总是定义为 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(F([n]),E)\in \mathsf{Set}$.

那么接下来我们讨论是否可以将这种现象推广到一般的余完备范畴 $\mathcal{D}$ 中, 答案是可以的, 我们将这一构造称为实现-脉伴随.

定义 2.1.2.12 ($F$-实现). 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, $\mathcal{D}$ 为余完备范畴, 对于函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 其实现 $|-{|}_F^1$ 定义为左 Kan 扩张$$\mathcal{C}\mathsf{PSh}(\mathcal{C})\mathcal{D},Fy|-{|}_F^1$$即 $|-{|}_F^1:={\mathrm{Lan}}_{y}F$, 若使用余端的语言表述即为, 对于预层 $X$, 其 $F$ 实现定义为$$|X{|}_F^1\simeq {\int }^C\mathsf{PSh}(\mathcal{C})(y(C),X)\otimes FC$$

注 2.1.2.13. 上标的 $1$ 主要是因为这是 $1$-范畴版本的实现-脉伴随, 不难注意到在 $(\infty ,1)$-范畴中可以定义出类似的版本.

事实上, 如上定义的 $F$-实现存在右伴随, 将右伴随称为 $F$-脉.

定义 2.1.2.14 ($F$-脉). 称函子 ${\mathrm{N}}_F^1:\mathcal{D}\to \mathsf{PSh}(\mathcal{C})$ 为 $F$ 的实现, 是指对于 $D\in \mathcal{D}$, ${\mathrm{N}}_F^1(D)$ 定义为函子 $C\mapsto \mathcal{D}(F(C),D)$.

定理 2.1.2.15. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, $\mathcal{D}$ 为余完备范畴, 对于函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 有伴随函子$$|-{|}_F^1⊣{\mathrm{N}}_F^1.$$

证明. [Loregian, 2021, Proposition 3.2.2]

$\square$

实现-脉伴随在后文中具有很多的应用, 最常见的情况还是定义单纯集 (或其它预层) 在某个范畴中的形状.

2.1.3立方体

在一些情况下我们需要使用方形 $\square$ 而非三角形 $\Delta$, 因此在本文中引入立方体. 这一工具在立方类型论中广泛使用, 不过我不懂立方类型论, 因此不敢瞎说. 不过这一工具也可以用来描述带有 $k$ 种不同运算的空间, 当然我指的是 ${\mathbb{E}}_k$ (虽然我们也可以使用 Dunn–Lurie 加性定理和代数模式将 ${\mathbb{E}}_k$ 描述为 ${\mathbb{\Delta }}^{k,\mathrm{op},♭}$). 在此处介绍立方体的原因在于后文介绍单纯范畴时需要使用其进行一些刻画.

定义 2.1.3.1. 令 $I$ 为集合, $\mathbf{I}$-立方体 ${\square }^I$ 定义为乘积 ${\prod }_{i\in I}{\Delta }^1$. 当 $I=\{1,2,\cdots ,n\}$ 时将 ${\square }^I$ 记为 ${\square }^n$, 称为标准 $\mathbf{n}$-立方体.

注 2.1.3.2. 不难发现 ${\square }^I$ 是幂集 $P(I)$ 的脉, 并且其几何实现是 ${\prod }_{i\in I}[0,1]$.

因此标准 $2$-立方体形如 (也可以将中间视为填充的)对于 $I$-立方体 ${\square }^I$, 取 $i\in I$, 不难发现 ${\square }^I$ 可以被描述为 ${\Delta }^1\times {\square }^{I\setminus \{i\}}$. 这样我们可以描述 $I$-立方体的面. 不过在对于 $I$-立方体时, 一个顶点会对应于两个面$$\{0\}\times {\square }^{I\setminus \{i\}}\subseteq {\square }^I\supseteq \{1\}\times {\square }^{I\setminus \{i\}}$$这两个面的无交并即为 $\partial {\Delta }^1\times {\square }^{I\setminus \{i\}}$, 而 ${\square }^I$ 的边界仍为其所有的面拼起来, 即

定义 2.1.3.3. 令 $I$ 为集合, $I$-立方体 ${\square }^I$ 的边界 $\partial {\square }^I$ 是如下给出的单纯集: $$\partial {\square }^I:=\bigcup _{i\in I}(\partial {\Delta }^1\times {\square }^{I\setminus \{i\}})$$当 $I=\{1,2,\cdots ,n\}$ 时, 记为 $\partial {\square }^n$.

显然 $\partial {\square }^n$ 可以被理解为 ${\square }^n$ 去掉其内部, 仍令 $n=2$, 此时 $\partial {\square }^2$ 即为类似地, 可以定义 $I$-立方体中的尖角, 不过此时长得形状显然不是角, 因此我们称其为凹立方体.

定义 2.1.3.4. 令 $I$ 为集合, $I$-立方体的 $i$-上凹立方体 ${\sqcap }_i^I$ 是如下给出的单纯集: $${\sqcap }_i^I:=(\{0\}\times {\square }^{I\setminus \{i\}})\cup \bigcup _{j\in I\setminus \{i\}}(\partial {\Delta }^1\times {\square }^{I\setminus \{j\}})$$类似地, 可以定义下凹立方体 ${\bigsqcup }_i^I$ 为$${\bigsqcup }_i^I:=(\{1\}\times {\square }^{I\setminus \{i\}})\cup \bigcup _{j\in I\setminus \{i\}}(\partial {\Delta }^1\times {\square }^{I\setminus \{j\}})$$当 $I=\{1,2,\cdots ,n\}$ 时, 分别将两种凹立方体分别记为 ${\sqcap }_i^n$ 和 ${\bigsqcup }_i^n$.

${\sqcap }_i^n$ 和 ${\bigsqcup }_i^n$ 可以理解为 $\partial {\square }^n$ 再去掉一个边. 当 $n=2$ 时, $$\bullet \bullet \bullet \bullet {\sqcap }_1^2\bullet \bullet \bullet \bullet {\sqcap }_2^2\bullet \bullet \bullet \bullet {\bigsqcup }_1^2\bullet \bullet \bullet \bullet {\bigsqcup }_2^2$$

单纯集的主要内容就介绍到这, 在下一节中我们将构造两种 $(\infty ,1)$-范畴的模型, 而后使用本节所讲述的内容对它们进行刻画.