10. 同调代数

在本节中, 我们的研究对象是链复形及其构成的 $\infty$-范畴. 我们将把同伦代数的理论应用到同调代数, 从而以更高的观点来看待同调代数中的一些结论.

dg 脉

本节介绍 dg 脉的构造, 它是一种自然的将 dg 范畴视为 $\infty$-范畴的方法.

定义 10.1. 设 $R$ 是交换环. 则 $R$ 上的 dg 范畴是指充实于对称幺半范畴 $({\mathsf{Ch}}_R,\otimes )$ 的充实范畴.

这里 “dg” 是英文 “微分分次” 的缩写. 链复形也称为 dg 向量空间 (或 dg 模).

定义 10.2. 设 $\mathsf{C}$ 是 $R$ 上的 dg 范畴.

•	$\mathsf{C}$ 的底范畴由 $\mathsf{C}$ 通过函子$$Z^0:({\mathsf{Ch}}_R,\otimes )\to (\mathsf{Set},\times )$$而得到, 该函子将链复形映至其 $0$-上圈之集, 即闭 $0$-上链之集.
•	$\mathsf{C}$ 的同伦范畴由 $\mathsf{C}$ 通过函子$$H^0:({\mathsf{Ch}}_R,\otimes )\to (\mathsf{Set},\times )$$而得到, 该函子将链复形映至其第 $0$ 阶上同调.

例如, 若 $\mathsf{C}={\mathsf{Ch}}_R$, 则 $\mathsf{C}$ 充实于自身, 如 (1.13) 中所述, 从而是 $R$ 上的 dg 范畴. 其底范畴即为普通的链复形范畴 ${\mathsf{Ch}}_R$, 而其同伦范畴即为普通的范畴 ${\mathsf{hCh}}_R$.

我们现在希望定义拟范畴 ${\mathfrak{N}}_{\mathrm{dg}}(\mathsf{C})$, 使得其中的同伦是链同伦, 高阶同伦是高阶链同伦, 如此等等.

一个简单的想法是考虑以下伴随序列:$$\mathsf{sSet}{\mathsf{Cat}}_{\mathsf{sSet}}{\mathsf{Cat}}_{{\mathsf{sMod}}_R}{\mathsf{Cat}}_{({\mathsf{Ch}}_R{)}_{\ge 0}}{\mathsf{Cat}}_{{\mathsf{Ch}}_R}\text{ ,}\mathfrak{C}\perp \mathfrak{N}\text{free}\perp \text{forget}\text{DK}\simeq \mathrm{DK}{i}_{\ge 0}\perp {\tau }_{\ge 0}$$并定义$${\mathfrak{N}}_{\mathrm{dg}}:=\mathfrak{N}\circ \text{forget}\circ \mathrm{DK}\circ {\tau }_{\ge 0}:{\mathsf{Cat}}_{{\mathsf{Ch}}_R}\to \mathsf{sSet}.$$我们将看到, 其像落在 $\mathsf{QsCat}$ 中.

上述构造确实能给出正确的拟范畴, 但该拟范畴还有更直接的构造方法. 我们首先用更直接的方法定义 ${\mathfrak{N}}_{\mathrm{dg}}$, 然后证明这两种构造是等价的.

构造 10.3. 设 $\mathsf{C}$ 是 dg 范畴. 则其 dg 脉是如下构造的拟范畴 ${\mathfrak{N}}_{\mathrm{dg}}(\mathsf{C})$: 其 $n$-单形是形如$$(\{X_i{\}}_{i\in [n]},\{f_I{\}}_{I\subset [n],|I|\ge 2})$$的二元组, 其中

•	$X_0,\dots ,X_n$ 是 $\mathsf{C}$ 的对象.
•	对于 $0\le i_0<\cdots <i_{m+1}\le n$, $$f_{i_0\cdots i_{m+1}}\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X_{i_0},X_{i_{m+1}}{)}_m,$$使得$$d{f}_{i_0\cdots i_{m+1}}=\sum _{j=1}^m(-1{)}^{m+1-j}(f_{i_0\cdots \widehat{i_j}\cdots i_{m+1}}-f_{i_j\cdots i_{m+1}}\circ f_{i_0\cdots i_j}).$$

例如,

•	$0$-单形即为 $\mathsf{C}$ 的对象 $X\in \mathsf{C}$.
•	连接 $X,Y\in \mathsf{C}$ 的 $1$-单形是态射$$f_{01}\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y{)}_0\text{使得}d{f}_{01}=0.$$换言之, $f_{01}$ 就是 $\mathsf{C}$ 的底范畴中的态射.
•	$2$-单形$$YXZgfh$$是链同伦$$\alpha :=f_{012}\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Z{)}_1\text{使得}d\alpha =g\circ f-h.$$

我们将 ${\mathfrak{N}}_{\mathrm{dg}}(\mathsf{C})$ 中面映射、退化映射的定义留给读者. 读者可以验证其为拟范畴.

命题 10.4. 设 $\mathsf{C}$ 是 dg 范畴. 则对任意 $X,Y\in \mathsf{C}$, 有单纯集同构$${\mathrm{Hom}}_{{\mathfrak{N}}_{\mathrm{dg}}(\mathsf{C})}^{⊳}(X,Y)\simeq \mathrm{DK}({\tau }_{\ge 0}{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y)).$$

证明. 等式两边的 $0$-单形均为底范畴中的态射, 即 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y{)}_0$.

对 $1$-单形, 等式左边的 $1$-单形是形如$$XY\text{ ,}X1f\alpha g$$的图表, 可以写成求和$$XYX1f0f+XY\text{ ,}X00\alpha g-f$$其中第一部分由 $f$ 确定, 第二部分由 $\alpha$ 确定. 由此可得$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Hom}}_{{\mathfrak{N}}_{\mathrm{dg}}(\mathsf{C})}^{⊳}(X,Y{)}_1& \simeq Z_0({\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y))\oplus {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y{)}_1\\ & \simeq \mathrm{DK}({\tau }_{\ge 0}{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y){)}_1.\end{array}$$

对于更高阶单形, 可以类似验证. 细节留给读者.

$\square$

推论 10.5. 设 $\mathsf{C}$ 是 dg 范畴. 则有范畴等价$${\mathfrak{N}}_{\mathrm{dg}}(\mathsf{C})\simeq \mathfrak{N}\circ \mathrm{forget}\circ \mathrm{DK}\circ {\tau }_{\ge 0}(\mathsf{C}).$$

特别地, 函子 ${\mathfrak{N}}_{\mathrm{dg}}$ 是一个右伴随. 事实上, 它关于 dg 范畴的范畴上的某个模型结构是右 Quillen 函子.

定理 10.6. 范畴 ${\mathsf{Cat}}_{{\mathsf{Ch}}_R}$ 具有 Tabuada 模型结构, 其中

•	弱等价是诱导同伦范畴之等价, 且在所有态射空间上诱导拟同构的函子.
•	纤维化是诱导同伦范畴之同纤维化 (isofibration), 且在所有态射空间上诱导 (逐次) 满射的函子.

函子$${\mathfrak{N}}_{\mathrm{dg}}:{\mathsf{Cat}}_{{\mathsf{Ch}}_R}\to \mathsf{sSet}$$关于此模型结构和 $\mathsf{sSet}$ 上的 Joyal 模型结构是右 Quillen 函子.

链复形的 $\infty$-范畴

定义 10.7. 设 $\mathsf{A}$ 是 Abel 范畴. 则 ${\mathfrak{N}}_{\mathrm{dg}}(\mathsf{Ch}(\mathsf{A}))$ 称为 $\mathsf{A}$ 中的链复形的 $\infty$-范畴, 其中 $\mathsf{Ch}(\mathsf{A})$ 视为 $\mathbb{Z}$ 上的 dg 范畴.

在本节中, 我们详细研究此 $\infty$-范畴, 并描述其中的推出和拉回. 我们将证明它是稳定 $\infty$-范畴.

命题 10.8. 设 $f:X\to Y$ 是单纯 Abel 群范畴 $\mathsf{sAb}$ 中的态射. 则 $f$ 是 $\mathsf{sSet}$ 中的纤维化, 当且仅当映射$$\text{DK}(f):\text{DK}(X)\to \text{DK}(Y)$$是链复形的逐次满射.

证明. 设 $0\le i\le n$. 则有分解$$\text{DK}(\mathbb{Z}\Delta [n])\simeq \text{DK}(\mathbb{Z}{\Lambda }_i[n])\oplus D^n,$$其中$$D^n:=(\cdots \to 0\to \mathbb{Z}\stackrel{1}{\to }\mathbb{Z}\to 0\to \cdots ),$$其中两个非零项在 (同调指标下) 第 $n$ 和 $n-1$ 位置. 以下的提升性质等价: $${\Lambda }_i[n]X\Delta [n]Y⟺\text{DK}({\Lambda }_i[n])\text{DK}(X)\text{DK}(\Delta [n])\text{DK}(Y)⟺0\text{DK}(X)D^n\text{DK}(Y)\text{ .}$$因为从 $D^n$ 到任何链复形 $C$ 的映射等价于 $C_n$ 中的元素, 所以最后一个图表中的提升性质等价于 $\text{DK}(X)\to \text{DK}(Y)$ 是逐次满射.

$\square$

推论 10.9. 每个单纯 Abel 群都是 Kan 复形.

$\square$

推论 10.10. 设$$X{X}^{\prime }Y{Y}^{\prime }f┘$$是 $\mathsf{Ch}(\mathsf{A})$ 中的普通推出图表. 若 $f$ 逐次是分裂单射, 则此图表也是同伦推出图表, 即 ${\mathfrak{N}}_{\mathrm{dg}}(\mathsf{Ch}(\mathsf{A}))$ 中的推出图表.

证明. 通过函子 $\mathrm{DK}\circ {\tau }_{\ge 0}$ 将 $\mathsf{Ch}(\mathsf{A})$ 视为单纯范畴. 由 (10.9), 它充实于 Kan 复形范畴. 由 (7.12), 只需证明对任何 $Z\in \mathsf{Ch}(\mathsf{A})$, 图表$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Ch}(\mathsf{A})}(Y^{\prime },Z){\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Ch}(\mathsf{A})}(Y,Z){\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Ch}(\mathsf{A})}(X^{\prime },Z){\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Ch}(\mathsf{A})}(X,Z)┌f^{\ast }$$是 Kan 复形的同伦拉回图表. 由于对单纯集而言, 我们知道沿纤维化的拉回是同伦拉回, 所以只需证明 $f^{\ast }$ 是纤维化. 由 (10.8), 只需证明 $f^{\ast }$ (在作用 Dold–Kan 函子之前) 是链复形的逐次满射. 这是因为 $f$ 是分裂单射.

$\square$

基于上述推论, 我们可以直接地描述链复形的同伦余纤维.

对于 $X\in \mathsf{Ch}(\mathsf{A})$, 记 $X\otimes D^1$ 为 $\mathsf{Ch}(\mathsf{A})$ 中由$$(X\otimes D^1{)}^n:=X^{n+1}\oplus X^n,d^n:=\left(\begin{array}{cc}-d^{n+1}& 0\\ 1& d^n\end{array}\right)$$定义的对象. 这称为 $X$ 的锥, 它拟同构于 $0$. 事实上, 若 $\mathsf{A}={\mathsf{Mod}}_R$ 为交换环 $R$ 上的模范畴, 则 $X\otimes D^1$ 是 $X$ 与链复形$$D^1:=(\cdots \to 0\to R\stackrel{1}{\to }R\to 0\to \cdots )$$的张量积.

定义 10.11. 设 $f:X\to Y$ 是 $\mathsf{Ch}(\mathsf{A})$ 中的态射. $f$ 的映射锥是链复形 $\mathrm{cone}(f)$, 定义为普通推出$$XX\otimes D^{1}Y\mathrm{cone}(f)\text{ ,}f┘$$它更直接地定义为$$\mathrm{cone}(f{)}^n\simeq X^{n+1}\oplus Y^n,d^n:=\left(\begin{array}{cc}-d_X^{n+1}& 0\\ f^{n+1}& d_Y^n\end{array}\right).$$

这个同调代数中的重要构造现在可以看作是 $\infty$-范畴中一般构造的特例, 即同伦余纤维的特例.

定理 10.12. 设 $f:X\to Y$ 是 $\mathsf{Ch}(\mathsf{A})$ 中的态射. 则 $f$ 的映射锥是 $f$ 的同伦余纤维: $$X0Y\mathrm{cone}(f)\text{ .}f┘$$特别地, $X$ 的纬悬同伦等价于其移位 $X[1]$. 换言之, 有同伦推出图表$$X00X[1]\text{ .}f┘$$

证明. 这是 (10.10) 的推论.

$\square$

推论 10.13. ${\mathfrak{N}}_{\mathrm{dg}}(\mathsf{Ch}(\mathsf{A}))$ 是稳定 $\infty$-范畴.

证明. 我们已经知道, 纬悬函子 $\Sigma \simeq [1]$ 是可逆的. 由 (8.5), 只需验证同伦推出存在. 注意到任何映射 $f:X\to Y$ 都等价于逐次分裂单射 $X\hookrightarrow \mathrm{Cyl}(f)$, 其中 $\mathrm{Cyl}(f)$ 是同调代数中的映射柱.

$\square$