9. Dold–Kan 对应

接下来, 我们使用同伦代数的工具来研究同调代数. 我们的目标是将同调代数视为同伦代数的特例. 为此, 我们将阐述如何构造链复形的 $\infty$-范畴, 以及如何通过局部化得到 $\infty$-范畴版本的导出范畴.

在本节中, 我们介绍 Dold–Kan 对应. 这是同调代数中的一个经典结论, 它说明 Abel 范畴 $\mathsf{A}$ 中链复形的范畴等价于 $\mathsf{A}$ 中单纯对象的范畴. 具体地说, 有 (普通) 范畴的等价$$\mathsf{Ch}(\mathsf{A}{)}_{\ge 0}\underset{\sim }{\overset{\mathrm{DK}}{\to }}\mathrm{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathsf{A}),$$其中 $\mathsf{Ch}(\mathsf{A}{)}_{\ge 0}\subset \mathsf{Ch}(\mathsf{A})$ 是由在第 $0$ 项或其之前结束的链复形构成的全子范畴. 这一等价将链复形的同伦论与单纯集的同伦论联系起来.

t 结构

定义 9.1. 设 $\mathsf{C}$ 是三角范畴. 则 $\mathsf{C}$ 上的一个 t 结构是指两个全子范畴$${\mathsf{C}}^{\le 0},{\mathsf{C}}^{\ge 0}\subset \mathsf{C},$$满足以下公理: 若记$${\mathsf{C}}^{\le n}:={\mathsf{C}}^{\le 0}[-n],{\mathsf{C}}^{\ge n}:={\mathsf{C}}^{\ge 0}[-n],$$则

•	${\mathsf{C}}^{\le 0}$ 和 ${\mathsf{C}}^{\ge 0}$ 关于同构封闭.
•	${\mathsf{C}}^{\le 0}\subset {\mathsf{C}}^{\le 1}$, 且 ${\mathsf{C}}^{\ge 1}\subset {\mathsf{C}}^{\ge 0}$.
•	若 $X\in {\mathsf{C}}^{\le 0}$ 且 $Y\in {\mathsf{C}}^{\ge 1}$, 则 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y)=0$.
•	对每个 $X\in \mathsf{C}$, 存在正合三角$$X^{\le 0}⟶X⟶X^{\ge 1},$$其中 $X^{\le 0}\in {\mathsf{C}}^{\le 0}$ 且 $X^{\ge 1}\in {\mathsf{C}}^{\ge 1}$.

例如, 若 $\mathsf{C}=\mathsf{Ch}(\mathsf{A})$ 是某 Abel 范畴 $\mathsf{A}$ 中链复形的范畴, 则可取 ${\mathsf{C}}^{\le 0}$ 为所有满足 $X^n=0$ ($n>0$) 的链复形构成的范畴, 并类似定义 ${\mathsf{C}}^{\ge 0}$. 前三条公理是显然的; 对第四条, 我们可取$$X^{\le 0}:={\tau }^{\le 0}X,X^{\ge 1}:={\tau }^{\ge 1}X,$$其中 ${\tau }^{\le n}$ 和 ${\tau }^{\ge n}$ 是截断函子, 定义为$$\begin{array}{rl}{\tau }^{\le n}X& :=(\cdots \to X^{n-2}\stackrel{d_{n-2}}{\to }{X}^{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\to }\ker d_n\to 0\to \cdots ),\\ {\tau }^{\ge n}X& :=(\cdots \to 0\to \mathrm{coker}{d}_{n-1}\stackrel{d_n}{\to }{X}^{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\to }{X}^{n+2}\to \cdots ).\end{array}$$

注 9.2. 当 $X\in {\mathsf{C}}^{\le 0}$ 且 $Y\in {\mathsf{C}}^{\ge 1}$ 时, 我们要求 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y)=0$, 但不要求 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(Y,X)=0$. 这里不能反过来的一个原因如下: 考虑 $\mathsf{C}=\mathsf{Ch}(\mathsf{A})$ 的例子. 此时, 从 $Y$ 到 $X$ 的链映射只有零映射, 但可能存在非零的链同伦和高阶链同伦.

记号 9.3. 除了上面使用的上同调标号外, 有时可能用同调标号更方便. 为此, 我们引入以下记号. 对带 t 结构的三角范畴 $\mathsf{C}$, 记$${\mathsf{C}}_{\ge n}:={\mathsf{C}}^{\le -n},{\mathsf{C}}_{\le n}:={\mathsf{C}}^{\ge -n}.$$我们有 ${\mathsf{C}}_{\ge n}={\mathsf{C}}_{\ge 0}[n]$, 等等.

定义 9.4. 设 $\mathsf{C}$ 是稳定 $\infty$-范畴. 则 $\mathsf{C}$ 上的 t 结构就是指三角范畴 $\mathrm{Ho}(\mathsf{C})$ 上的 t 结构.

t 结构的一个重要性质是, 它使 ${\mathsf{C}}^{\ge n}$ 成为 $\mathsf{C}$ 的一个局部化, 即其等价于 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$, 其中 $\mathsf{W}$ 是 $\mathsf{C}$ 中某些态射的集合.

定义 9.5. 设 $f:\mathsf{C}\to \mathsf{D}$ 是 $\infty$-范畴间的函子. 若 $f$ 具有全忠实的右伴随, 则称 $f$ 是局部化函子.

注 9.6. 这里的局部化函子的定义比我们之前所说的局部化, 即让 $\mathsf{C}$ 中某些态射变得可逆, 要更窄. 实际上, 若 $f$ 是上述新意义下的局部化函子, 则 $f$ 是通过使 $\mathsf{C}$ 中所有被映到 $\mathsf{D}$ 中等价的态射变得可逆而得到的. 证明见 [HTT, 命题 5.2.7.12].

定理 9.7. 设 $\mathsf{C}$ 是带 t 结构的稳定 $\infty$-范畴, $n\in \mathbb{Z}$. 则存在局部化函子$${\tau }^{\ge n}:\mathsf{C}⟶{\mathsf{C}}^{\ge n},$$称为截断函子, 它是含入函子的左伴随.

证明. 此处略去证明. 见 [HA, 命题 1.2.1.5].

$\square$

作为推论, $\mathsf{C}$ 的子范畴 ${\mathsf{C}}^{\ge n}$ 关于 $\mathsf{C}$ 中存在的极限封闭. 对偶地, ${\mathsf{C}}^{\le n}$ 关于余极限封闭.

注 9.8. 我们可能还会希望 $\mathsf{C}$ 是子范畴 ${\mathsf{C}}_{\ge 0}={\mathsf{C}}^{\le 0}$ 的稳定化. 然而, 根据 (8.19), 这等价于$$\mathsf{C}\simeq \underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathsf{C}}_{\ge -n}.$$例如, 这对链复形范畴成立, 但对有界链复形的范畴不成立.

定义 9.9. 设 $\mathsf{C}$ 是带 t 结构的稳定 $\infty$-范畴. 则 $\mathsf{C}$ 的心定义为全子范畴$${\mathsf{C}}^{♡}:={\mathsf{C}}^{\ge 0}\cap {\mathsf{C}}^{\le 0}\subset \mathsf{C}.$$我们还定义一族函子$${\pi }_n:\mathsf{C}⟶{\mathsf{C}}^{♡},$$定义为 ${\pi }_0:={\tau }^{\ge 0}{\tau }^{\le 0}\simeq {\tau }^{\le 0}{\tau }^{\ge 0}$, 及 ${\pi }_n:={\pi }_0\circ [-n]$.

关于 ${\tau }^{\ge 0}{\tau }^{\le 0}\simeq {\tau }^{\le 0}{\tau }^{\ge 0}$ 的证明, 见 [HA, 命题 1.2.1.10].

例如, 若 $\mathsf{C}=\mathsf{Ch}(\mathsf{A})$, 则 ${\mathsf{C}}^{♡}\simeq \mathsf{A}$, 且 ${\pi }_n$ 给出链复形的第 $(-n)$ 上同调群, 即链复形的第 $n$ 同调群.

Dold–Kan 对应

设 $\mathsf{A}$ 是 Abel 范畴. 在本节中, 我们定义 Dold–Kan 对应函子$$\mathrm{DK}:\mathsf{Ch}(\mathsf{A}{)}_{\ge 0}⟶\mathrm{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathsf{A}),$$并说明它是范畴等价.

构造 9.10. 设 $\mathsf{A}$ 是 Abel 范畴, 并设 $X_{\bullet }\in \mathsf{Ch}(\mathsf{A}{)}_{\ge 0}$. 则单纯对象$${\mathrm{DK}}_{\bullet }(X)\in \mathrm{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathsf{A})$$的定义如下图所示.

具体地说, 我们作如下定义:

•

对每个 $n\ge 0$, 其 $n$ 维单形的空间为$${\mathrm{DK}}_n(X):=\underset{\begin{array}{c}\alpha :[n]\to [k]\\ \text{满射}\end{array}}{⨁}{X}_k.$$

•

对 $\mathbb{\Delta }$ 中态射 $\beta :[n^{\prime }]\to [n]$, 其诱导的映射$${\beta }^{\ast }:{\mathrm{DK}}_n(X)⟶{\mathrm{DK}}_{n^{\prime }}(X)$$由一族映射$$f_{\alpha ,{\alpha }^{\prime }}:X_k⟶X_{k^{\prime }}$$给出, 其中 $\alpha :[n]\to [k]$ 和 ${\alpha }^{\prime }:[n^{\prime }]\to [k^{\prime }]$ 是 $\mathbb{\Delta }$ 中满射, 且$$f_{\alpha ,{\alpha }^{\prime }}:=\{\begin{array}{ll}{1}_{X_k},& \text{若 }{k}^{\prime }=k\text{ 且}[n^{\prime }][n][k^{\prime }][k]\text{交换},\\ {\partial }_k,& \text{若 }{k}^{\prime }=k-1\text{ 且}[n^{\prime }][n][k^{\prime }][k]d^0\text{交换},\\ 0,& \text{其他情况},\end{array}$$其中 ${\partial }_k:X_k\to X_{k-1}$ 是微分, $d^0:[k-1]\to [k]$ 是将 $i\in [k-1]$ 映到 $i+1\in [k]$ 的态射.

由此构造, $\mathrm{DK}(X)$ 的每个非退化 $n$ 维单形都可以写成 $X_n$ 的某个非零元素与一个退化 $n$ 维单形之和.

例 9.11. 假设链复形 $X$ 只在第 $n$ 项处有非零元素. 则$${\mathrm{DK}}_{\bullet }(X)\simeq \mathbb{Z}\Delta [n]/\mathbb{Z}\partial \Delta [n],$$其中 $\mathbb{Z}(-):\mathsf{sSet}\to \mathsf{sAb}$ 是自由函子. 这能从上图直接看出.

下面, 我们构造 $\mathrm{DK}$ 的逆函子, 将单纯对象映回其对应的链复形.

定义 9.12. 设 $X$ 是 $\mathsf{A}$ 中的单纯对象.

•	$X$ 的单纯链复形$$C_{\bullet }(X)\in \mathsf{Ch}(\mathsf{A}{)}_{\ge 0}$$定义为$$C_n(X):=X_n,{\partial }_n:=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i{d}_i.$$
•	$X$ 的正规链复形, 即逆 Dold–Kan 构造, $${\text{DK}}_{\bullet }(X)\in \mathsf{Ch}(\mathsf{A}{)}_{\ge 0},$$定义为$${\text{DK}}_n(X):=\bigcap _{0<i\le n}\ker (d_i:X_n\to X_{n-1}),{\partial }_n:=d_0.$$

这里的 $\text{DK}(X)$ 可能看起来包含的信息比 $X$ 少, 但我们将看到, 这些丢失的信息并不重要, 可以从 $X$ 的群结构 (指 $\mathsf{A}=\mathsf{Ab}$ 的情况) 中恢复出来.

定理 9.13. 函子$$\text{Ch(A)≥0}\text{Fun(Δop,A)}\mathrm{DK}\simeq \text{DK}$$互为逆函子.

证明. 不难验证 $\text{DK}\circ \mathrm{DK}=1$. 我们需要证明 $\mathrm{DK}\circ \text{DK}=1$. 证明比较初等, 也并不是很有意思, 我们在此略过. 见 [HA, 引理 1.2.3.13].

$\square$