9. Dold–Kan 对应

接下来, 我们使用同伦代数的工具来研究同调代数. 我们的目标是将同调代数视为同伦代数的特例. 为此, 我们将阐述如何构造链复形的 $\infty$-范畴, 以及如何通过局部化得到 $\infty$-范畴版本的导出范畴.

在本节中, 我们介绍 Dold–Kan 对应. 这是同调代数中的一个经典结论, 它说明 Abel 范畴 $\mathsf{A}$ 中链复形的范畴等价于 $\mathsf{A}$ 中单纯对象的范畴. 具体地说, 有 (普通) 范畴的等价$$\mathsf{Ch}(\mathsf{A}{)}_{\ge 0}\underset{\sim }{\overset{\mathrm{DK}}{\to }}\mathrm{Fun}({\mathbf{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathsf{A}),$$其中 $\mathsf{Ch}(\mathsf{A}{)}_{\ge 0}\subset \mathsf{Ch}(\mathsf{A})$ 是由在第 $0$ 项或其之前结束的链复形构成的全子范畴. 这一等价将链复形的同伦论与单纯集的同伦论联系起来.

t-结构

Dold–Kan 对应