1. 引论

在代数拓扑和同调代数之间, 存在着一些奇妙的类比.

代数拓扑	同调代数
空间	$R$-链复形
映射	链映射
同伦	链同伦
同伦等价	链同伦等价
同伦群 ${\pi }_n(X)\simeq [S^n,X]$	同调群 $H^n(X)\simeq [\text{“}{S}^n\text{”},X]$
弱同伦等价	拟同构
CW 逼近	投射/内射消解
同伦范畴 $\mathsf{h}\mathsf{C}\mathsf{W}$	导出范畴 $\mathsf{D}(R)$
纬悬､环路 $\Sigma ⊣\Omega$	移位 $[1]⊣[-1]$
……	……

($R$ 是交换环; $[,]$ 表示映射同伦类的集合; $\text{“}{S}^n\text{”}$ 表示在第 $n$ 位置为 $R$, 其余为 $0$ 的上链复形)

在这份讲义中, 我们引入同伦代数的语言, 以解释这种类比. 当然, 同伦代数的功能远不限于此, 它已经在当代数学的很多分支中展现了威力. ¹

什么是无穷范畴?

同伦代数主要通过无穷范畴的语言来表述. 无穷范畴描述的是范畴的 “高阶结构”, 这在普通范畴论中是看不见的. 粗略地说, 一个无穷范畴由下列信息组成: 有一些对象, 有这些对象之间的态射, 而这些态射之间还有高阶的态射: 在普通态射之间有 $2$-态射, 可以视为普通态射之间的同伦; 在 $2$-态射之间还有 $3$-态射, 可以视为 $2$-态射之间的同伦, 如此等等.

我们将在几节之后再来严格地定义无穷范畴, 因为我们还要准备一些前置知识. 但现在, 我们可以看几个简单的例子, 以建立我们对无穷范畴的第一印象.

例 1.1. 考虑拓扑空间范畴 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$. 我们可以如下赋予其无穷范畴结构:

$\bullet$	对象: 拓扑空间.
$\bullet$	$1$-态射 (对象之间): 拓扑空间之间的连续映射.
$\bullet$	$2$-态射 ($1$-态射之间): 连续映射之间的同伦.
$\bullet$	$3$-态射 ($2$-态射之间): 同伦之间的同伦.
$\bullet$	……

例 1.2. 对交换环 $R$, 考虑 $R$ 上的上链复形的范畴 $\mathsf{C}\mathsf{h}(R)$. 我们可以如下赋予其无穷范畴结构:

$\bullet$	对象: $R$ 上的上链复形.
$\bullet$	$1$-态射: 上链复形之间的链映射.
$\bullet$	$2$-态射: 链映射之间的链同伦.
$\bullet$	$3$-态射: 链同伦之间的链同伦.
$\bullet$	……

例 1.3. 对拓扑空间 $X$, 考虑 $X$ 的基本群胚 $\mathsf{\Pi }(X)$. 我们可以如下赋予其无穷范畴结构:

$\bullet$	对象: $X$ 中的点.
$\bullet$	$1$-态射: 两个点之间的道路.
$\bullet$	$2$-态射: 道路之间的同伦 (固定端点).
$\bullet$	$3$-态射: 同伦之间的同伦.
$\bullet$	……

注意, 此时态射复合的结合律 $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$ 并不严格成立, 而只是 “相差一个同伦” 成立 (因为相差一个参数化). 这也是无穷范畴理论中的一个主要的困难.

同伦范畴

在很多情况下, 无穷范畴都作为 (带额外结构的) 普通范畴的同伦范畴而得到. 下面, 我们来展示一个具体的例子.

定义 1.4. 范畴 $\mathsf{h}\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 定义如下:

$\bullet$	对象: 拓扑空间.
$\bullet$	态射: 连续映射的同伦类.

这里关键的想法是, $\mathsf{h}\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 是在 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 中 “将所有同伦等价变得可逆” 而得到的范畴. 我们下面严格地描述这一过程.

定义 1.5. 弱等价范畴 (category with weak equivalences) 是二元组 $(\mathsf{C},\mathsf{W})$, 其中 $\mathsf{C}$ 是范畴, $\mathsf{W}\subset \mathrm{Mor}(\mathsf{C})$ 是一类态射, 满足如下性质:

$\bullet$	$\mathsf{C}$ 中所有同构都在 $\mathsf{W}$ 中.
$\bullet$	$\mathsf{W}$ 满足三选二: 对 $\mathsf{C}$ 中任意图表如果 $f,g,g\circ f$ 中有两个在 $\mathsf{W}$ 中, 那么第三个也在 $\mathsf{W}$ 中.

例如, 二元组 $(\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p},\mathsf{H}\mathsf{o}\mathsf{E}\mathsf{q})$ 是弱等价范畴, 其中 $\mathsf{H}\mathsf{o}\mathsf{E}\mathsf{q}$ 是 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 中所有同伦等价构成的类.

定义 1.6. 设 $(\mathsf{C},\mathsf{W})$ 是弱等价范畴. $\mathsf{C}$ 关于 $\mathsf{W}$ 的局部化 (localization) 是范畴 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$, 带有一个函子 $\mathsf{C}\to \mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$, 满足以下泛性质:

$\bullet$

对任意函子 $F:\mathsf{C}\to \mathsf{D}$, 如果 $F$ 将 $\mathsf{W}$ 中的所有态射都映到同构, 那么存在 (相差自然同构的意义下) 唯一的函子 $\tilde{F}:\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]\to \mathsf{D}$, 使得图表在相差自然同构的意义下交换.

大致来说, 范畴 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$ 就是在 $\mathsf{C}$ 中将所有 $\mathsf{W}$ 中的态射变得可逆而得到的范畴. 事实上, 通过这一想法, 可以给出 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$ 的一个具体构造.

构造 1.7. 设 $(\mathsf{C},\mathsf{W})$ 是弱等价范畴. 定义范畴 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$ 如下: 其对象与 $\mathsf{C}$ 的对象相同, 其态射集 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}](X,Y)$ 的元素为 $\mathsf{C}$ 中的态射列$$X\to Z_1\leftarrow Z_2\to \cdots \leftarrow Z_n\to Y,$$其中箭头可以向左或向右, 但向左的箭头必须在 $\mathsf{W}$ 中, 并且要商掉以下等价关系: 恒同态射可以直接去掉; 相邻同向箭头可以复合; 相邻异向箭头如果代表同一个态射, 就可以同时去掉.

不难验证 ² 上述构造确实满足定义 1.6 中的泛性质. 唯一的问题是态射集 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}](X,Y)$ 可能太大, 而超出了集合允许的大小. 但我们暂时无视这个问题, 实在不行就换到一个更大的宇宙也无妨.

命题 1.8. $\mathsf{h}\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}\simeq \mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}[{\mathsf{H}\mathsf{o}\mathsf{E}\mathsf{q}}^{-1}]$.

证明. 明显的函子 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}\to \mathsf{h}\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 将 $\mathsf{H}\mathsf{o}\mathsf{E}\mathsf{q}$ 映到同构, 从而诱导了函子$$\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}[{\mathsf{H}\mathsf{o}\mathsf{E}\mathsf{q}}^{-1}]\to \mathsf{h}\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}.$$这一函子显然是本质满且完全 (full) 的. 为证明它是忠实的, 设 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 中的态射 $f,g:X\to Y$ 被映到 $\mathsf{h}\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 的同一态射. 则 $f$ 同伦于 $g$. 设 $H$ 为该同伦, 则在 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}[{\mathsf{H}\mathsf{o}\mathsf{E}\mathsf{q}}^{-1}]$ 中有$$\begin{array}{rl}f& =X\stackrel{i_0}{\to }X\times I\stackrel{H}{\to }Y\\ & =X\stackrel{i_0}{\to }X\times I\stackrel{{\mathrm{pr}}_1}{\to }X\stackrel{{\mathrm{pr}}_1}{\leftarrow }X\times I\stackrel{H}{\to }Y\\ & =X\stackrel{1_X}{\to }X\stackrel{{\mathrm{pr}}_1}{\leftarrow }X\times I\stackrel{H}{\to }Y\\ & =X\stackrel{{\mathrm{pr}}_1}{\leftarrow }X\times I\stackrel{H}{\to }Y\\ & =g,\end{array}$$其中 ${\mathrm{pr}}_1$ 是向第一分量的投影, 而 $i_0$ 表示 $X$ 作为 $X\times \{0\}$ 含入 $X\times I$ 的映射.

$\square$

事实上, 我们将看到, 局部化能给出高阶范畴结构. 在此例中, 普通范畴 $\mathsf{h}\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 仅仅是局部化给出的第一层信息, 而完整的信息需要通过一个无穷范畴来刻画. 在这里, 这个无穷范畴正是例 1.1 给出的无穷范畴 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$.

上述例子中的高阶范畴结构具有十分清晰的描述: 连续映射间的同伦, 同伦间的同伦, 等等. 我们可能希望在其它类似的情况下, 局部化得到的无穷范畴也能有这样的具体描述. 例如, 在同调代数中, 我们将拟同构变得可逆, 而得到导出范畴, 我们希望在对应的无穷范畴中, 高阶态射也能被具体地描述为同伦､同伦的同伦, 等等. 事实上, 这是可以做到的, 只需借助模型范畴 (model category) 这一工具.

模型范畴是带有一些额外结构的弱等价范畴. 模型范畴将帮助我们在无穷范畴中进行计算, 有人认为 ³ 这就类似于局部坐标能帮助我们在流形上进行计算.

以上漫谈总结于下图.

第一次尝试

下面, 我们试着写下高阶范畴的一种简单但 “错误” 的定义. 我们知道, 高阶范畴也就是普通范畴加上高维的箭头, 这一结构似乎并不复杂, 我们来将它描述清楚.

定义 1.9. 幺半范畴是指范畴 $\mathsf{C}$, 带有以下结构:

$\bullet$	一个函子$$\begin{array}{rl}\otimes :\mathsf{C}\times \mathsf{C}& \to \mathsf{C},\\ (x,y)& \mapsto x\otimes y,\end{array}$$称为张量积.
$\bullet$	一个对象 $1\in \mathsf{C}$, 称为 $\mathsf{C}$ 的单位对象.
$\bullet$	三个自然同构$$\begin{array}{rlrl}{a}_{x,y,z}:& & (x\otimes y)\otimes z& \simeq x\otimes (y\otimes z),\\ l_x:& & 1\otimes x& \simeq x,\\ r_x:& & x\otimes 1& \simeq x,\end{array}$$分别称为结合子､左单位子､右单位子.

它们满足以下条件:

$\bullet$	(三角形公理) 对任意 $x,y\in \mathsf{C}$, 有交换图
$\bullet$	(五边形公理) 对任意 $x,y,z,w\in \mathsf{C}$, 有交换图

注 1.10. 对于 $4$ 个以上的对象, 也可以谈论五边形公理的类似物, 也就是 Stasheff 结合多面体对应的图表. 在范畴代数中可以证明 ⁴, 五边形公理保证了所有这些结合多面体图表都交换, 因此, 我们不需要更多公理.

以下给出幺半范畴 $(\mathsf{C},\otimes ,1)$ 的一些例子:

$\bullet$	$(\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t},\times ,\ast )$, 其中 $\ast$ 是单点集.
$\bullet$	$(\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t},\bigsqcup ,\varnothing )$, 其中 $\bigsqcup$ 是不交并.
$\bullet$	$(\text{任何具有乘积的范畴},\times ,\ast )$, 其中 $\ast$ 是终对象, 即空乘积.
$\bullet$	$(\text{任何具有余积的范畴},\bigsqcup ,\varnothing )$, 其中 $\varnothing$ 是始对象, 即空余积.
$\bullet$	$(\mathsf{C}\mathsf{h}(R),\otimes ,R)$, 其中单位对象 $R$ 在第 $0$ 个位置, 上链复形的张量积定义为$$(C\otimes D{)}^n=\underset{p+q=n}{⨁}{C}^p{\otimes }_R{D}^q.$$

定义 1.11. 设 $\mathsf{V}$ 是幺半范畴. 一个 $\mathsf{V}$-充实范畴 $\mathsf{C}$ 由以下信息组成:

$\bullet$	一类对象 $\mathrm{Ob}\mathsf{C}$.
$\bullet$	对 $x,y\in \mathrm{Ob}\mathsf{C}$, 有一个态射对象$$\mathsf{C}(x,y)\in \mathsf{V},$$它是 $\mathsf{V}$ 的对象, 视作 $x,y$ 之间所有态射构成的空间.
$\bullet$	对每个对象 $x\in \mathsf{C}$, 有一个恒同态射$$1_x:1_{\mathsf{V}}\to \mathsf{C}(x,x),$$它是 $\mathsf{V}$ 中的态射, 可以视为对象 $\mathsf{C}(x,x)\in \mathsf{V}$ 中的一个 “元素”.
$\bullet$	对每三个对象 $x,y,z\in \mathsf{C}$, 有一个复合态射$$\circ :\mathsf{C}(y,z)\otimes \mathsf{C}(x,y)\to \mathsf{C}(x,z),$$它是 $\mathsf{V}$ 中的态射.

它们满足以下条件:

$\bullet$	任何态射复合恒同态射都等于它自身.
$\bullet$	复合满足结合律.

这两个条件的严格叙述留给读者完成, 也可参见充实范畴一文.

例如, 普通范畴就是充实于 $(\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t},\times ,\ast )$ 的范畴.

在某些情况下, 有遗忘函子 $\mathsf{V}\to \mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$, 并且它保持幺半范畴的结构. 此时 $\mathsf{V}$-充实范畴就能看成是带额外结构的普通范畴, 以下几例均如此.

例 1.12. 范畴 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 充实于自身, 因为对 $X,Y\in \mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$, 集合 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}(X,Y)$ 可以赋予紧开拓扑, 使得复合映射是连续的.

例 1.13. 范畴 $\mathsf{C}\mathsf{h}(R)$ 充实于自身. 对 $X,Y\in \mathsf{C}\mathsf{h}(R)$, 定义上链复形 $\mathcal{H}om(X,Y)$ 如下: $$\mathcal{H}om(X,Y{)}^n=\{f=\{f^k:X^k\to Y^{k+n}{\}}_{k\in \mathbb{Z}}\},$$其中 $f$ 不一定是链映射, 其微分定义为$$df=[d,f]=d\circ f-(-1{)}^{\mathrm{deg}f}f\circ d.$$这样, 所有链映射就是这个链复形的所有 $0$-上圈 (cocycle), 也对应于单位对象 $1\in \mathsf{C}\mathsf{h}(R)$ 到该上链复形的链映射, 也就是该上链复形的一个 “元素”.

例 1.14. 所有小范畴的范畴 $\mathsf{C}\mathsf{a}\mathsf{t}$ 充实于自身, 因为对 $X,Y\in \mathsf{C}\mathsf{a}\mathsf{t}$, 有函子范畴 $\mathsf{F}\mathsf{u}\mathsf{n}(X,Y)$, 其对象为 $X\to Y$ 的函子, 态射为函子间的自然变换.

我们现在可以使用充实范畴的语言, 给出高阶范畴的第一个定义了.

定义 1.15. 严格 $2$-范畴是充实于 $\mathsf{C}\mathsf{a}\mathsf{t}$ 的范畴.

例如, $\mathsf{C}\mathsf{a}\mathsf{t}$ 就是一个严格 $2$-范畴, 其中 $1$-态射是范畴间的函子, $2$-态射是函子间的自然变换.

任何 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$-充实范畴都能看作严格 $2$-范畴, 因为我们可以将态射空间 (此时为拓扑空间) 替换为其基本群胚. 此时, $1$-态射是态射空间中的点, $2$-态射是态射空间中的路径 (的同伦类). 例如, $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 自身就是一个严格 $2$-范畴, 其 $2$-态射是映射间的同伦 (的同伦类).

然而要注意, 对拓扑空间 $X$ 而言, 基本群胚 $\mathsf{\Pi }(X)$ 不是严格 $2$-范畴, 因为正如上文所言, 其中 $1$-态射的复合并不严格满足结合律. 这意味着我们的定义过于严格, 从而是 “错误” 的.

不过我们将错就错, 继续给出 $n$-范畴和 $\infty$-范畴的定义. 这些定义并不会在下文使用.

定义 1.16. 对 $n$ 归纳, 定义严格 $n$-范畴为充实于 $(n-1)$-范畴的范畴.

定义 1.17. 严格 $\omega$-范畴是一个序列$${\mathsf{C}}_1\hookrightarrow {\mathsf{C}}_2\hookrightarrow {\mathsf{C}}_3\hookrightarrow \cdots ,$$其中 ${\mathsf{C}}_n$ 是严格 $n$-范畴, 使得每个 ${\mathsf{C}}_{n-1}$ 是在 ${\mathsf{C}}_n$ 中扔掉所有 $n$-态射得到的 $(n-1)$-范畴.

$(n,r)$-范畴

虽然我们尚未严格定义一般的 $n$-范畴与 $\infty$-范畴, 但我们其实已经大概知道它们是什么了. 因此, 我们可以来半严格地讨论它们的性质.

定义 1.18. 设 $0\le r\le n$ 且 $n>0$. $(n,r)$-范畴指一个 $n$-范畴, 其中所有 $r+1,r+2,\dots ,n$-态射都可逆.

注意, 这里提到的 $n$ 范畴不一定是严格 $n$-范畴, 因此 “可逆” 实际上指的是 “相差同伦的意义下可逆”, 也就是 “具有同伦逆”. 我们来看一些例子.

$\bullet$	普通的范畴也就是 $(1,1)$-范畴.
$\bullet$	普通的群胚也就是 $(1,0)$-范畴.
$\bullet$	以上定义的严格 $n$-范畴都是 $(n,n)$-范畴的特例, 而严格 $\omega$-范畴是 $(\infty ,\infty )$-范畴的特例.
$\bullet$	我们常称 $(\infty ,0)$-范畴为 $\infty$-群胚. 这是一类十分重要的结构, 因为它是同伦型的一种自然定义. 有一种叫做同伦类型论 [HoTT] 的理论, 致力于以 $\infty$-群胚取代传统的集合论, 而重新搭建数学的基础.
$\bullet$	充实于 $(n,r)$-范畴的范畴可以视为 $(n+1,r+1)$-范畴.
$\bullet$	$\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 是 $(\infty ,1)$-范畴, 因为映射的同伦都是可逆的: 同伦与其逆同伦的复合同伦于恒同同伦.
$\bullet$	$\mathsf{C}\mathsf{h}(R)$ 是 $(\infty ,1)$-范畴, 因为链同伦的复合定义为链复形间映射的加法, 而链同伦加上负的自己等于 $0$, 这里 $0$ 就是恒同同伦.
$\bullet$	对拓扑空间 $X$ 而言, 基本群胚 $\mathsf{\Pi }(X)$ 是 $\infty$-群胚. 它描述了 $X$ 的同伦型.

在上述第五点的意义下, 对 $n<1$, 我们也能定义 $(n,r)$-范畴的概念. 我们将看到, 最合理的定义如下:

$\bullet$	$(0,0)$-范畴是集合.
$\bullet$	$(0,1)$-范畴是偏序集.
$\bullet$	$(-1,0)$-范畴是 $\varnothing$ 或单点集, 也可视为一个真假值.
$\bullet$	$(-2,0)$-范畴是单点集, 可以视为 “真”.

高阶范畴学家相信, 范畴的底层应该是 $-2$, 并且该给所有范畴重新编号, 使得 $-2$ 变成 $0$, $-1$ 变成 $1$, 等等. 这样, 在数学的摩天大厦里, 逻辑学住在一层, 集合论住在二层, 而范畴论住在三层. 由此观之, 将整个大厦视为整体似乎更加自然. 这大概也是高阶范畴论有希望取代集合论, 而建立数学基础的原因之一.

脚注

1.	例如, nLab 页面 applications of (higher) category theory 列举了这套理论的若干应用.
2.	见 [Hovey, Lemma 1.2.2].
3.	见 MathOverflow 问题 Do we still need model categories? 中的回答.
4.	从同伦代数的观点看, 这可以由 [HA, Corollary 4.1.6.17] 得到.