4. 无穷范畴的模型

无穷范畴的概念并没有公认的统一定义. 这一概念可以由若干种不同的模型来描述, 无穷范畴的性质也需要通过这些模型来研究. 回忆上一节提到的图表:

在本文中, 我们主要考虑以下两种模型: 拟范畴和 Kan 复形充实范畴, 即上图中的 $\mathsf{Q}\mathsf{C}\mathsf{a}\mathsf{t}$ 和 ${\mathsf{C}\mathsf{a}\mathsf{t}}_{\mathsf{s}\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}}$. 在前几节中, 我们已经定义了这两种概念, 也说明了它们为什么能描述无穷范畴. 在本节中, 我们研究这两种模型间的联系. 我们将说明, 这两种模型是等价的, 这种等价由一个 Quillen 等价给出.

拟范畴

回忆 (定义 3.21) 拟范畴是一个单纯集, 其中所有内尖角都能填充.

设 $\mathsf{C}$ 为拟范畴, 设 $x,y\in {\mathsf{C}}_0$ 为两个点. 我们首先要定义态射空间 $\mathsf{C}(x,y)$. 和普通范畴论中不同, 这个态射空间不再是离散的集合, 而是一个同伦型, 以记录态射间的同伦、高阶同伦的信息, 这些信息也就是无穷范畴的高阶结构.

首先, 我们引入一些关于拟范畴的术语, 这里拟范畴记为 $\mathsf{C}$.

•	若 $x\in {\mathsf{C}}_0$ 为 $0$ 维单形, 则称 $x$ 为 $\mathsf{C}$ 的对象, 并记 $x\in \mathsf{C}$.
•	若 $f\in {\mathsf{C}}_1$ 为 $1$ 维单形, $d_{0}f=x$, $d_{1}f=y$, 则称 $f$ 为 $x$ 到 $y$ 的态射, 并记 $f:x\to y$.
•	对象 $x\in \mathsf{C}$ 的恒同态射 $1_x:x\to x$ 是退化的 $1$ 维单形 $s_0(x)$.
•	设 $f:x\to y$ 和 $g:y\to z$ 为态射. 称态射 $h:x\to z$ 为 $g$ 与 $f$ 的复合, 若存在 $2$ 维单形 $\sigma \in {\mathsf{C}}_2$, 使得$$d_0\sigma =g,d_2\sigma =f,d_1\sigma =h.$$也就是说, $\mathsf{C}$ 中有图表注意, 拟范畴中态射的复合并非唯一.
•	设 $A\subset {\mathsf{C}}_0$ 为 $\mathsf{C}$ 中某些对象构成的集合. $A$ 张成的满子范畴是 $\mathsf{C}$ 的最大单纯子集, 满足其包含的 $0$ 维单形均为 $A$ 中元素.

定义 4.1. 设 $f,g:x\to y$ 为 $\mathsf{C}$ 中态射. 称 $f$ 与 $g$ 同伦, 若以下等价的条件成立:

•	存在 $\mathsf{C}$ 中 $2$ 维单形
•	存在 $\mathsf{C}$ 中 $2$ 维单形
•	存在 $\mathsf{C}$ 中 $2$ 维单形
•	存在 $\mathsf{C}$ 中 $2$ 维单形
•	存在 $\mathsf{C}$ 中的方块其具体含义为映射 $\Delta [1]\times \Delta [1]\to \mathsf{C}$.
•	存在 $\mathsf{C}$ 中的方块

上述等价性可以通过尖角 ${\Lambda }_1[3]$ 和 ${\Lambda }_2[3]$ 的填充性质来证明, 具体细节留给读者.

命题 4.2. 态射的同伦是等价关系, 且被态射复合保持. 特别地, 态射的复合在同伦意义下是唯一的.

证明. 留给读者.

$\square$

这一命题保证以下定义是合理的.

定义 4.3. 拟范畴 $\mathsf{C}$ 的同伦范畴 (homotopy category) 是普通范畴 $\mathrm{Ho}(\mathsf{C})$, 定义如下:

•	其对象为 $\mathsf{C}$ 中对象.
•	其态射为 $\mathsf{C}$ 中态射的同伦类.

范畴 $\mathrm{Ho}(\mathsf{C})$ 也就是忘掉 $\mathsf{C}$ 的所有高阶结构而得到的普通范畴.

定理 4.4 (Joyal). 设 $\mathsf{C}$ 为拟范畴. 则 $\mathsf{C}$ 是 Kan 复形当且仅当 $\mathrm{Ho}(\mathsf{C})$ 是群胚.

容易看出, 如果 $\mathsf{C}$ 是 Kan 复形, 也就是 $\infty$-群胚, 那么 $\mathrm{Ho}(\mathsf{C})$ 是群胚. 但定理的另一边并不容易, 我们略过其证明.

下面, 我们来定义态射空间 $\mathsf{C}(x,y)$. 它是一个同伦型, 以此记录态射间同伦、高阶同伦的信息.

定义 4.5. 设 $\mathsf{C}$ 为拟范畴, 设 $x,y\in \mathsf{C}$ 为对象.

•	单纯集 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{⊳}(x,y)$ 定义为$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{⊳}(x,y{)}_n=\{\sigma \in {\mathsf{C}}_{n+1}|\sigma {|}_{\Delta \{0,\dots ,n\}}=x,\sigma (n+1)=y\},$$其中 $\sigma$ 视为映射 $\Delta [n+1]\to \mathsf{C}$, 而 $\Delta \{0,\dots ,n\}\subset \Delta [n+1]$ 是包含顶点 $0,\dots ,n$ 的面.
•	类似地, 单纯集 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{⊲}(x,y)$ 定义为$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{⊲}(x,y{)}_n=\{\sigma \in {\mathsf{C}}_{n+1}|\sigma (0)=x,\sigma {|}_{\Delta \{1,\dots ,n+1\}}=y\}.$$
•	另一种态射空间是单纯集 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{\square }(x,y)$, 定义为$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{\square }(x,y{)}_n=\{\sigma :\Delta [n]\times \Delta [1]\to \mathsf{C}|\sigma {|}_{\Delta [n]\times \{0\}}=x,\sigma {|}_{\Delta [n]\times \{1\}}=y\}.$$

以上三种构造给出的单纯集不一定同构, 但我们将看到, 它们都是 Kan 复形且同伦等价. 它们给出的同伦型记为 $\mathsf{C}(x,y)$, 称为 $x$ 到 $y$ 的态射空间的同伦型.

注意, 无论使用上述三种构造中的哪一种, 都不能造出一个单纯集充实范畴, 原因是态射复合无法定义. 但我们稍后将构造第四种态射空间, 它将给出 Kan 复形充实范畴.

命题 4.6. 单纯集 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{⊳}(x,y)$、${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{⊲}(x,y)$、${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{\square }(x,y)$ 都是 Kan 复形.

证明. 对 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{⊳}(x,y)$, 不难证明尖角 ${\Lambda }_i[n]$ $(0<i\le n)$ 的填充性质. 因此, 它是拟范畴. 并且, 在其同伦范畴中, 每个态射都有左逆. 这说明其同伦范畴是群胚, 从而由 (4.4), 它是 Kan 复形. 同理, ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{⊲}(x,y)$ 也是 Kan 复形.

对 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{\square }(x,y)$, 命题的证明需要用到 $\mathsf{s}\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$ 的 Joyal 模型结构, 因此我们暂时推迟这个证明.

$\square$

单纯范畴

我们曾经提到, 充实于 $(n,r)$-范畴的范畴是 $(n+1,r+1)$-范畴 ¹. 按照此想法, 充实于 $(\infty ,0)$-范畴的范畴是 $(\infty ,1)$-范畴. 也就是说, Kan 复形充实范畴应该是 $(\infty ,1)$-范畴的一种模型.

为便于使用模型范畴研究无穷范畴, 我们需要考虑一般的单纯集充实范畴, 而不只是 Kan 复形充实范畴.

定义 4.7. 单纯范畴 (simplicial category) 是充实于 $\mathsf{s}\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$ 的范畴.

在单纯范畴中, 我们也可以引入无穷范畴的术语:

•	态射空间的 $0$ 维单形称为 $1$-态射.
•	态射空间的 $1$ 维单形称为 $2$-态射, 即 $1$-态射之间的同伦.

范畴 $\mathsf{s}\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$ 可以通过如下方式视为单纯范畴:

定义 4.8. 单纯集 $X,Y$ 的映射空间 $\mathrm{Map}(X,Y)$ 是一单纯集, 其 $n$ 维单形对应于从 $X\times \Delta [n]$ 到 $Y$ 的映射.

范畴 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 也可视为单纯范畴, 因为其态射空间可赋予紧开拓扑, 再取其奇异单纯集. 等价地说, 态射空间 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}(X,Y)$ 的 $n$ 维单形对应于连续映射 $X\times {\Delta }^n\to Y$, 其中 ${\Delta }^n\in \mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 是标准 $n$ 维单形.

单纯范畴的同伦范畴可以非常直接地定义.

构造 4.9. 设 $\mathsf{C}$ 为单纯范畴. 在函子$$\mathsf{s}\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}\stackrel{h}{\to }\mathsf{h}\mathsf{C}\mathsf{W}\stackrel{{\pi }_0}{\to }\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$$作用下, $\mathsf{C}$ 可以先对应于 $\mathsf{h}\mathsf{C}\mathsf{W}$-充实范畴 $h\mathsf{C}$, 再对应于普通范畴 $\mathrm{Ho}(\mathsf{C})={\pi }_{0}h\mathsf{C}$. 后者称为 $\mathsf{C}$ 的同伦范畴.

在单纯范畴中, 映射复合唯一, 并满足严格 (而非相差同伦意义下) 的结合律. 但为了将它作为无穷范畴的模型, 我们并不关心严格的映射复合和结合律, 而只应关心 “同伦意义下” 的现象. 我们来举一个例子.

定义 4.10. 单纯群胚 (simplicial groupoid) 是一个单纯范畴, 其中所有态射都具有同伦逆.

单纯群 (simplicial group) 是只有一个对象的单纯群胚.

这个定义并不要求单纯群胚中严格的逆映射, 也不要求单纯群中有严格的逆元. 因此, 此二者并非群胚范畴、群范畴中的单纯对象. 读者也可以对比定理 4.4.

为了在拟范畴与单纯范畴之间进行转换, 我们将定义一对伴随函子我们将看到, 在两边取合适的模型结构后, 这一对函子将成为 Quillen 等价.

我们仍然使用构造 3.8 的技术, 来得到这一对伴随函子. 根据该构造, 我们只需指定 $\mathfrak{C}\Delta [n]$ 是什么. 直观地说, 它应该是由 $n$ 个箭头构成的序列$$0\to 1\to \cdots \to n,$$因为它的脉是 $\Delta [n]$. 然而, 在这个范畴中, 具有严格的复合律, 例如 $(0\to 1\to 2)=(0\to 2)$. 因此, 我们必须做一些修改, 以使这样的复合律只在同伦意义下成立. 这是为了在任何单纯范畴中, 同伦意义下的态射复合总能够对应于 $\mathfrak{C}\Delta [n]$ 到该单纯范畴的函子. 上述讨论促使我们给出下面的定义.

构造 4.11. 对整数 $n\ge 0$, 定义单纯范畴 ${\mathfrak{C}}^n$ 如下:

•	它有 $(n+1)$ 个对象, 记为 $0,1,\dots ,n$.
•	其态射空间定义为 ${\mathfrak{C}}^n(i,j)=\mathrm{N}(P_{ij})$, 其中$$P_{ij}=\{\begin{array}{ll}\varnothing ,& i>j,\\ \text{偏序集 }\left\{X\right|\{i,j\}\subset X\subset \{i,\dots ,j\}\},& i\le j,\end{array}$$其中偏序集自然地视为范畴.
•	其态射复合为 $\{0,\dots ,n\}$ 子集的并.

例如, ${\mathfrak{C}}^2$ 是如下图所示的单纯范畴:

其中, 复合态射 $12\circ 01$ 等于 $012:0\to 2$, 它同伦于 (但不等于) 态射 $02:0\to 2$. 我们将后者视为直接从 $0$ 走到 $2$, 而不经过 $1$.

类似地, ${\mathfrak{C}}^3$ 是如下图所示的单纯范畴:

其中, 态射空间 $N(P_{03})$ 同构于 $\Delta [1]\times \Delta [1]$, 其中的 $4$ 个点对应于沿着箭头从 $0$ 走到 $3$ 的 $4$ 种方式, 即$$\begin{array}{rl}& 0\to 3,\\ & 0\to 1\to 3,\\ & 0\to 2\to 3,\\ & 0\to 1\to 2\to 3.\end{array}$$这 $4$ 个从 $0$ 到 $3$ 的态射都是同伦的.

对一般的情况, 态射空间 ${\mathfrak{C}}^n(i,j)$ 由所有沿着箭头从 $i$ 走到 $j$ 的方式构成. 当 $i<j$ 时, 该态射空间同构于 $\Delta {[1]}^{j-i-1}$.

定义 4.12. 在构造 3.8 的意义下, ${\mathsf{C}\mathsf{a}\mathsf{t}}_{\mathsf{s}\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}}$ 中的余单纯对象 ${\mathfrak{C}}^{\bullet }$ 定义了一对伴随函子其中, 右伴随 $\mathfrak{N}$ 称为单纯脉 (simplicial nerve) 或同伦脉 (homotopy coherent nerve) 函子.

我们来证明, 在上述转换方式下, Kan 复形充实范畴对应于拟范畴.

命题 4.13. 设 $\mathsf{C}$ 是 Kan 复形充实范畴. 则 $\mathfrak{N}\mathsf{C}$ 是拟范畴.

证明. 我们需要对 $0<i<n$ 证明提升性质它等价于但对 $0<i<n$ 而言, $\mathfrak{C}{\Lambda }_i[n]$ 与 $\mathfrak{C}\Delta [n]$ 的唯一区别在于从 $0$ 到 $n$ 的态射空间. 并且, 含入映射$$\mathfrak{C}{\Lambda }_i[n](0,n)\hookrightarrow \mathfrak{C}\Delta [n](0,n)$$是平凡余纤维化, 这可以通过仔细计算左边的单纯集是什么来验证. 而平凡余纤维化对 Kan 复形具有提升性质, 这就完成了证明.

$\square$

两种模型等价

对拟范畴或单纯范畴 $\mathsf{C}$, 我们已经定义了态射空间 $\mathsf{C}(x,y)$, 其中 $x,y\in \mathsf{C}$. 事实上, 在拟范畴与单纯范畴互相转换时, 态射空间的同伦型时保持不变的.

定理 4.14.

•	设 $\mathsf{C}$ 是拟范畴. 则对任意 $x,y\in \mathsf{C}$, 有单纯集的弱等价$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{(\ast )}(x,y)\simeq \mathfrak{C}\mathsf{C}(x,y),$$其中 $(\ast )$ 可以是 $⊲$ 或 $⊳$ 或 $\square$.
•	设 $\mathsf{C}$ 是 Kan 复形充实范畴. 则对任意 $x,y\in \mathsf{C}$, 有 Kan 复形的同伦等价$$\mathsf{C}(x,y)\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathfrak{N}\mathsf{C}}^{(\ast )}(x,y),$$其中 $(\ast )$ 可以是 $⊲$ 或 $⊳$ 或 $\square$.

定理的证明将在下一节给出. 这里, Kan 复形之间的弱等价一定是同伦等价, 这是由于 Whitehead 定理 (定理 2.17).

定义 4.15. 设 $\mathsf{C}$ 为拟范畴. 我们定义 $\mathsf{h}\mathsf{C}\mathsf{W}$-充实范畴 $h\mathsf{C}$ 为 $h\mathfrak{C}\mathsf{C}$. 则其对象、态射空间都与 $\mathsf{C}$ 相同. 事实上, 这一构造对任何单纯集 $\mathsf{C}$ 都有意义.

接下来, 我们说明, 伴随函子 $(\mathfrak{C}⊣\mathfrak{N})$ 实际上是 Quillen 等价, 从而无穷范畴的两种模型确实是等价的.

定义 4.16. 设 $\mathsf{C},\mathsf{D}$ 为两个单纯集, 或两个单纯范畴. 映射 $f:\mathsf{C}\to \mathsf{D}$ 称为范畴等价, 如果 $h(f):h\mathsf{C}\to h\mathsf{D}$ 是 $\mathsf{h}\mathsf{C}\mathsf{W}$-充实范畴的范畴等价, 也就是说:

•	$f$ 完全忠实, 也就是诱导态射空间的弱等价.
•	$f$ 本质满, 也就是说, ${\pi }_{0}h(f)=\mathrm{Ho}(f)$ 是普通范畴间的本质满函子.

注 4.17. 就像在普通范畴论中一样, 任何无穷范畴的性质都应该被范畴等价保持. 若不然, 则该性质就不认为是良好定义的.

我们回忆, 普通范畴间的函子 $f:\mathsf{C}\to \mathsf{D}$ 称为同纤维化 (isofibration), 如果对任意 $x\in \mathsf{C}$, 及 $\mathsf{D}$ 中任意同构 $\alpha :f(x)\to y$, 存在 $\mathsf{C}$ 中同构 $\tilde{\alpha }:x\to \tilde{y}$, 使得 $\alpha =f(\tilde{\alpha })$.

定理 4.18. 范畴 $\mathsf{s}\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$ 具有 Joyal 模型结构, 描述如下:

•	$\mathsf{W}=\{\text{范畴等价}\}$.
•	$\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f}=\{\text{单射}\}$.
•	纤维性对象为拟范畴.

范畴 ${\mathsf{C}\mathsf{a}\mathsf{t}}_{\mathsf{s}\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}}$ 具有 Bergner 模型结构, 描述如下:

•	$\mathsf{W}=\{\text{范畴等价}\}$.
•	$\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}=\{\text{同纤维化, 且诱导态射空间的纤维化}\}$.
•	纤维性对象为 Kan 复形充实范畴.

在这些模型结构下, 伴随函子对是 Quillen 等价.

见 [HTT, Theorem 2.2.5.1].

这一结论可以写成以下更加直接的形式, 它说明拟范畴与 Kan 复形充实范畴之间可以相互转换.

推论 4.19 (两种模型的转换). 函子在相差范畴等价的意义下互为逆, 其中 $R$ 是 $\mathsf{s}\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$ 的纤维性替换函子.

证明. 设 $\mathsf{C}$ 为拟范畴, $\mathsf{D}$ 为 Kan 复形充实范畴. 则单位函子和余单位函子$$\mathfrak{N}R\mathfrak{C}\mathsf{C}\to \mathsf{C}\text{和}\mathsf{D}\to \mathfrak{C}Q\mathfrak{N}\mathsf{D}$$都是范畴等价 (定理 2.25). 这里 $Q$ 可以取成恒同函子, 从而函子$$\mathfrak{N}R\mathfrak{C}\mathsf{C}\to \mathsf{C}\text{和}\mathsf{D}\to R\mathfrak{C}\mathfrak{N}\mathsf{D}$$都是范畴等价.

$\square$

注 4.20. 在研究拟范畴时, 我们并不使用 $\mathsf{s}\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$ 的标准模型结构, 其原因是, 我们不止需要单纯集的同伦型这一信息, 还需要更多一层信息, 才能描述拟范畴的结构, 或者说, 才能刻画拟范畴的范畴等价类. 例如, 拟范畴 $\Delta [0]$ 和 $\Delta [1]$ 都具有可缩的同伦型, 但它们不范畴等价.

例子

下面, 我们以拟范畴为模型, 介绍几个 $(\infty ,1)$-范畴的例子.

引理 4.21. 设 $X,Y$ 为单纯集.

•	若 $Y$ 是 Kan 复形, 则 $\mathrm{Map}(X,Y)$ 是 Kan 复形.
•	若 $Y$ 是拟范畴, 则 $\mathrm{Map}(X,Y)$ 是拟范畴.

证明. 留给读者.

$\square$

例 4.22. 空间的拟范畴定义为$$\mathsf{S}=\mathfrak{N}(\mathsf{K}\mathsf{a}\mathsf{n}),$$其中 $\mathsf{K}\mathsf{a}\mathsf{n}$ 是所有 Kan 复形构成的单纯范畴. 由引理 4.21, 它是 Kan 复形充实范畴.

例 4.23. $\mathsf{K}\mathsf{a}\mathsf{n}$-充实范畴 $\mathsf{Q}\mathsf{C}\mathsf{a}\mathsf{t}$ 定义如下:

•	其对象为拟范畴.
•	态射空间 $\mathsf{Q}\mathsf{C}\mathsf{a}\mathsf{t}(\mathsf{C},\mathsf{D})$ 为单纯集 $\mathrm{Map}(\mathsf{C},\mathsf{D})$ 中最大的子 Kan 复形.

这里所说的最大子 Kan 复形存在, 因为由引理 4.21 及定理 4.4, 它就是所有可逆边张成的子单纯集, 即只包含这些边的最大子单纯集.

拟范畴的拟范畴定义为$${\mathsf{Q}\mathsf{C}\mathsf{a}\mathsf{t}}_{\infty }=\mathfrak{N}(\mathsf{Q}\mathsf{C}\mathsf{a}\mathsf{t}).$$

这里, 我们取出态射空间的最大子 Kan 复形, 而不是取纤维性替代. 这是因为, 态射空间中的边为自然变换, 我们应该丢弃那些不可逆的自然变换, 而不是加入新的自然变换以使它们变得可逆.

这意味着, 要得到 $(\infty ,1)$-范畴构成的 $(\infty ,1)$-范畴, 我们需要丢弃一些信息. 其本质原因是, $(\infty ,1)$-范畴实际上构成 $(\infty ,2)$-范畴. 例如, 在拟范畴的模型中, 引理 4.21 说明, 拟范畴的范畴充实于拟范畴, 即充实于 $(\infty ,1)$-范畴, 从而是 $(\infty ,2)$-范畴. (我们没有严格定义后者.)

例 4.24. 设 $\mathsf{A}$ 为 Abel 范畴. $\mathsf{A}$ 中的上链复形构成的单纯范畴 $\mathsf{C}\mathsf{h}(\mathsf{A})$ 定义如下. 我们回忆, 对于上链复形间的映射 $f:X\to Y$ (不一定是链映射), 我们定义了$$df=[d,f]=d\circ f-(-1{)}^{|f|}f\circ d,$$其中 $|f|$ 为 $f$ 的次数.

•	$\mathsf{C}\mathsf{h}(\mathsf{A})(X,Y)$ 的 $0$ 维单形对应于映射 $f:X\to Y$, 满足$$|f|=0\text{且}df=0.$$换言之, $0$ 维单形就是链映射.
•	$\mathsf{C}\mathsf{h}(\mathsf{A})(X,Y)$ 的 $1$ 维单形对应于映射 $a:X\to Y$, 满足$$|a|=-1\text{且}da=f-g,$$其中 $f,g$ 为该 $1$ 维单形的两个端点. 换言之, $1$ 维单形就是链同伦.
•	态射空间的 $n$ 维单形由 $(\sigma ,{\sigma }_0,\dots ,{\sigma }_n)$ 给出, 其中每个 ${\sigma }_i$ 是 $(n-1)$ 维单形, $\sigma :X\to Y$ 是映射, 满足$$|\sigma |=-n\text{且}d\sigma ={\sigma }_0-{\sigma }_1+{\sigma }_2-\cdots \pm {\sigma }_n.$$其中, ${\sigma }_i$ 是 $\sigma$ 的第 $i$ 个面. 我们还要求这些 ${\sigma }_i$ 各自的面是相容的. 换言之, $n$ 维单形就是映射$$C_{\bullet }^{\text{cell}}({\Delta }^n)\to \mathcal{H}om(X,Y),$$其中左边是 ${\Delta }^n$ 的胞腔链复形, 右边是例 1.13 定义的链复形.

我们定义$${\mathsf{K}}_{\infty }(\mathsf{A})=\mathfrak{N}(\mathsf{C}\mathsf{h}(\mathsf{A}))$$为 $\mathsf{A}$ 中的上链复形的拟范畴. 如果 $\mathsf{C}\mathsf{h}(\mathsf{A})$ 还具有合适的模型结构, 例如 $\mathsf{A}$ 是某个环上的模范畴, 则可以定义$${\mathsf{D}}_{\infty }(\mathsf{A})=\mathfrak{N}(\mathsf{C}\mathsf{h}(\mathsf{A}{)}_{\mathrm{c}\mathrm{f}})$$为 $\mathsf{A}$ 的导出拟范畴.

注 4.25. 我们知道, 弱等价范畴经过局部化, 能得到无穷范畴. 设 $\mathsf{C}$ 是一个模型范畴, 并且 $\mathsf{C}$ 充实于单纯集, 其模型结构与充实结构满足一些相容条件. 一个奇妙的事实是, 此时有拟范畴的等价$$\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]\simeq \mathfrak{N}({\mathsf{C}}_{\mathrm{c}\mathrm{f}}).$$在我们提到的所有例子中, 这样的单纯结构都是存在的. 因此, 我们有$$\begin{array}{rl}\mathsf{S}& \simeq \mathsf{s}\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}[{\mathsf{W}}^{-1}],\\ {\mathsf{D}}_{\infty }(\mathsf{A})& \simeq \mathsf{C}\mathsf{h}(\mathsf{A})[{\mathsf{W}}^{-1}],\end{array}$$这就是无穷范畴局部化的例子. (这里 $\mathsf{A}$ 需要满足一些额外条件.) 这个构造将在后几节详细说明.

脚注

1.	这种方法有时能得到所有的 $(n+1,r+1)$-范畴, 有时不能. 例如, 任何 $2$-范畴都等价于某个严格 $2$-范畴, 而并非任何 $3$-范畴都等价于某个严格 $3$-范畴.