Dold–Kan 对应

Dold–Kan 对应是幂等完备加性范畴的链复形和单纯对象之间的范畴等价, 名称来自数学家 Albrecht Dold 和 Dan Kan.

1陈述

设 $\mathcal{A}$ 是加性范畴, ${\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A})$ 表示 $\mathcal{A}$ 的同调非负链复形构成的范畴, 即 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 的满子范畴$$\{C_{\bullet }\in \mathsf{Ch}(\mathcal{A})\mid \forall n<0,C_n=0\}.$$

定义 1.1 (从链复形到单纯对象). 对 $C\in {\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A})$, 定义 $\mathcal{A}$ 的单纯对象 $\mathrm{DK}(C)$ 如下:

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对 $n\in \mathbb{N}$, 定义 ${\mathrm{DK}}_n(C)={⨁}_{\alpha :[n]\twoheadrightarrow [k]}{C}_k$, 这里 $\alpha$ 取遍 $\mathbb{\Delta }$ 中 $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ 到 $[k]=\{0,1,\dots ,k\}$ 的所有满射.

•

$\mathbb{\Delta }$ 中映射 $\beta :[n^{\prime }]\to [n]$ 给出的映射 ${\mathrm{DK}}_n(C)\to {\mathrm{DK}}_{n^{\prime }}(C)$ 在 $\alpha :[n]\twoheadrightarrow [k]$, ${\alpha }^{\prime }:[n^{\prime }]\twoheadrightarrow [k^{\prime }]$ 对应的直和分量定义如下: ∘ 如 $k^{\prime }=k$ 且图表$$[n^{\prime }][n][k^{\prime }][k]\beta {\alpha }^{\prime }\alpha \mathrm{id}$$交换, 则 $C_k\to C_{k^{\prime }}$ 是恒同映射 ${\mathrm{id}}_{C_k}$. ∘ 如 $k^{\prime }=k-1$ 且图表$$[n^{\prime }][n][k^{\prime }][k]\beta {\alpha }^{\prime }\alpha +1$$交换, 则 $C_k\to C_{k^{\prime }}$ 是边缘映射 ${\partial }_k:C_k\to C_{k-1}$. ∘ 其它情况下 $C_k\to C_{k^{\prime }}$ 是零映射.

换言之, $\mathrm{DK}(C)$ 是以下半单纯对象沿含入函子 ${\mathbb{\Delta }}_{单}^{\mathrm{op}}\to {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 的左 Kan 扩张: $$\cdots C_2{C}_1{C}_0\partial \partial \partial$$这里的箭头从上到下依次对应从 $[n-1]$ 到 $[n]$ 的跳过 $0$、跳过 $1$、…、跳过 $n$ 的单射, 而未标出的箭头都使用零映射.

$\mathrm{DK}(C)$ 称为链复形 $C$ 的 Dold–Kan 对象, 函子 $\mathrm{DK}:{\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A})\to \mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathcal{A})$ 称为 Dold–Kan 对应.

定义 1.2 (从单纯对象到链复形). 对 $\mathcal{A}$ 的单纯对象 $X$, 定义链复形 $C(X)$ 如下:

•	对 $n\in \mathbb{N}$, 定义 $C_n(X)=X_n$.
•	对 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$, 定义边缘映射 $C_n(X)\to C_{n-1}(X)$ 为$$\sum _{i=0}^n(-1{)}^i{d}_n^i:X_n\to X_{n-1},$$其中 $d_n^i:X_n\to X_{n-1}$ 对应于跳过 $i$ 的映射 $[n-1]\to [n]$.

称 $C(X)$ 为单纯对象 $X$ 对应的链复形. 另定义链复形 $N(X)$ 如下:

•	对 $n\in \mathbb{N}$, 定义 $N_n(X)$ 为映射$$(d_n^i{)}_{i=1}^n:X_n\to \underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}{X}_{n-1}$$的核.
•	对 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$, 定义边缘映射 $N_n(X)\to N_{n-1}(X)$ 为 $d_n^0:X_n\to X_{n-1}$ 的限制.

注意由于 $\mathcal{A}$ 仅仅是加性范畴, 上面的核未必存在, $N(X)$ 也未必良定义. 如良定义, 则称 $N(X)$ 为单纯对象 $X$ 对应的正规链复形. 函子 $N:\mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathcal{A})\to \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 如良定义, 也称为 Dold–Kan 对应.

定理 1.3 (Dold–Kan). 定义 1.1 中的函子$$\mathrm{DK}:{\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A})\to \mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathcal{A})$$满忠实. 如 $\mathcal{A}$ 幂等完备, 则它是范畴等价, 其逆由定义 1.2 中的函子$$N:\mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathcal{A})\to {\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A})$$给出, 特别地函子 $N$ 良定义. 此时显然的含入映射 $N\to C$ 是链同伦等价.

注 1.4. 对 ${\mathcal{A}}^{\mathrm{op}}$ 使用定理 1.3, 可得从上同调非负链复形到余单纯对象的满忠实函子$$\mathrm{DK}:{\mathsf{Ch}}^{\ge 0}(\mathcal{A})\to \mathsf{Fun}(\mathbb{\Delta },\mathcal{A}),$$且在 $\mathcal{A}$ 幂等完备时是范畴等价. 此时也称这些构造为 Dold–Kan 对应、正规链复形.

2证明

交换群情形

先证 $\mathcal{A}=\mathsf{Ab}$ 为交换群范畴的情况. 此时定义 1.2 中的函子 $N$ 良定义, 只需验证它与定义 1.1 中的函子 $\mathrm{DK}$ 互逆. 为此我们先说明 $N$ 是 $\mathrm{DK}$ 的右伴随, 且单位映射 ${\mathrm{id}}_{{\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathsf{Ab})}\to N\circ \mathrm{DK}$ 是同构.

定义 1.1 中已经说明, 函子 $\mathrm{DK}$ 可分解为$${\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathsf{Ab})\to \mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}_{单}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ab})\to \mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ab}),$$其中第二个箭头是左 Kan 扩张, 第一个箭头是把链复形 $C_{\bullet }$ 打到半单纯对象 $C_{\bullet }$, 其中 $d_n^0:C_n\to C_{n-1}$ 是边缘映射 ${\partial }_n$, 其它面映射 $(d_n^i{)}_{i=1}^n$ 都是零映射. 依定义左 Kan 扩张的右伴随是限制; 故由函子 $N$ 的定义立知它是 $\mathrm{DK}$ 的右伴随. 对 $C\in {\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathsf{Ab})$ 计算$$\begin{array}{rl}{N}_n(\mathrm{DK}(C))& =\bigcap _{i=1}^n\ker (d_n^i:{\mathrm{DK}}_n(C)\to {\mathrm{DK}}_{n-1}(C))\\ & =\bigcap _{i=1}^n\ker \left(d_n^i:\underset{\alpha :[n]\twoheadrightarrow [k]}{⨁}{C}_k\to \underset{{\alpha }^{\prime }:[n-1]\twoheadrightarrow [k]}{⨁}{C}_k\right);\end{array}$$由 ${\mathrm{DK}}_n(C)$ 的定义, ${\mathrm{id}}_{[n]}$ 对应的分量 $C_n$ 被各 $d_n^i$, $i=1,\dots ,n$ 打到 $0$; 而容易发现对每个 $k<n$ 的满射 $\alpha :[n]\twoheadrightarrow [k]$ 都存在 $1,\dots ,n$ 中某个 $i$ 使得限制映射 ${\alpha }^{\prime }:[n]\setminus i\to [k]$ 仍然是满射, 此时 $d_n^i$ 在 $\alpha$, ${\alpha }^{\prime }$ 对应的分量上就是 $\mathrm{id}$; 所以 $N_n(\mathrm{DK}(C))=C_n$, 单位映射 $\mathrm{id}\to N\circ \mathrm{DK}$ 是自然同构.

接下来需要证余单位映射 $\epsilon :\mathrm{DK}\circ N\to \mathrm{id}$ 也是自然同构.

先证它单: 取单纯交换群 $X$ 及非零元 $x\in {\mathrm{DK}}_n(N(X))$, 要证 $\epsilon (x)\ne 0$. 由 $\mathrm{DK}$ 的定义, $x$ 是以满射 $\alpha :[n]\twoheadrightarrow [k]$ 编号的一族 $x_{\alpha }\in N_k(X)$; 由于 $x\ne 0$, 必有某个 $\alpha$ 使得 $x_{\alpha }\ne 0$; 按 $(k,\min {\alpha }^{-1}(0),\dots ,\min {\alpha }^{-1}(k))$ 的字典序取最小的满足 $x_{\alpha }\ne 0$ 的 $\alpha :[n]\twoheadrightarrow [k]$. 令 $\beta :[k]\to [n]$ 为映射 $i\mapsto \min {\alpha }^{-1}(i)$, 则不难发现 $\epsilon (\alpha )\in X_n$ 沿 $\beta$ 限制到 $X_k$ 所得元素为 $x_{\alpha }\ne 0$, 所以 $\epsilon (x)\ne 0$.

再证它满: 对单纯交换群 $X$, 我们对 $n\in \mathbb{N}$ 归纳证明 ${\epsilon }_n:{\mathrm{DK}}_n(N(X))\to X_n$ 满. 为此对 $i=0,1,\dots ,n$ 归纳证明$$X_{n,i}=\bigcap _{j=i+1}^n\ker (d_n^i)\subseteq X_n$$在 ${\epsilon }_n$ 的像中. $i=0$ 时显然, 因为依定义 $X_{n,0}=N_n(X)$. 对 $0<i\le n$, 任取 $x\in X_{n,i}$, 要证明它在 ${\epsilon }_n$ 的像中. 定义 $\alpha :[n]\to [n]$ 为$$\alpha (j)=\{\begin{array}{ll}j,& j\ne i;\\ i-1,& j=i;\end{array}$$并令 $x^{\prime }={\alpha }^{\ast }(x)\in X_n$. 由于 $\alpha$ 穿过第 $i-1$ 个退化映射 $[n]\to [n-1]$, 所以 $x^{\prime }$ 来自 $s_{n-1}^{i-1}:X_{n-1}\to X_n$, 故由对 $n$ 的归纳假设及 $\epsilon$ 的自然性, 它在 ${\epsilon }_n$ 的像中. 又 $\alpha$ 与 ${\mathrm{id}}_{[n]}$ 在 $[n]\setminus i$ 一样, 所以 $d_n^i(x)=d_n^i(x^{\prime })$; 对 $j>i$, 含入映射 $[n]\setminus j\to [n]$ 复合 $\alpha$ 之后仍然跳过 $j$, 所以 $d_n^j(x^{\prime })=0$; 由此可见 $x-x^{\prime }\in X_{n,i-1}$, 由对 $i$ 的归纳假设, 它也在 ${\epsilon }_n$ 的像中. 故 $x$ 在 ${\epsilon }_n$ 的像中, 定理得证.

注 2.1. 令 $D_n(X)$ 为 $X_n$ 中退化单形组成的子群, 即$$D_n(X)=\sum _{i=0}^{n-1}\mathrm{im}(s_{n-1}^i)\subseteq X_n.$$则上面 ${\epsilon }_n$ 满的证明说明复合映射$$N_n(X)\to X_n\to X_n/D_n(X)$$是满射. 由于$$d_n^j\circ s_{n-1}^i=\{\begin{array}{ll}\mathrm{id},& j\in \{i,i+1\},\\ 0,& 其它,\end{array}$$容易发现 $D_n(X)\cap N_n(X)=0$, 所以以上复合映射实际上是同构.

一般情形

由于预层范畴所有的极限、余极限都是逐项取的, 所以由交换群范畴情形立得预层范畴 $\mathsf{Fun}({\mathcal{A}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ab})$ 情形. 单纯对象、链复形、函子 $\mathrm{DK}$ 的构造显然关于加性函子自然, 故由米田嵌入满忠实以及交换图表$${\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A})\mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathcal{A}){\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathsf{Fun}({\mathcal{A}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ab}))\mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathsf{Fun}({\mathcal{A}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ab}))\mathrm{DK}yy\sim \mathrm{DK}$$即知 $\mathrm{DK}$ 也满忠实. 由此还可以发现, $\mathcal{A}$ 的单纯对象 $X$ 在 $\mathrm{DK}$ 的像中当且仅当其米田像对应的正规链复形 $N(y(X))$ 各项可表. 由 $\mathrm{DK}$ 的定义, $N_n(y(X))$ 是 ${\mathrm{DK}}_n(N(y(X))=y(X)$ 的直和项, 而后者依定义可表; 故只要 $\mathcal{A}$ 幂等完备, 就有可表预层的直和项可表, 从而 $\mathrm{DK}$ 本质满, 所以是范畴等价.

注 2.2. 同样的论证说明函子 $N$ 也可由注 2.1 中的 $X/D(X)$ 给出. 具体地说, 如 $\mathcal{A}$ 幂等完备, 则对其任意单纯对象 $X$ 以及任意 $n\in \mathbb{N}$, 映射$$(s_{n-1}^i{)}_{i=1}^{n-1}:\underset{i=1}{\overset{n-1}{⨁}}{X}_{n-1}\to X_n$$都有余核, 且它与 $N_n(X)$ 依注 2.1 典范同构.

3幺半性

当 $\mathcal{A}$ 有加性幺半结构 $\otimes$ 时, 逐项张量积给出 $\mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathcal{A})$ 的幺半结构, 链复形张量积给出 ${\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A})$ 的幺半结构. 但 Dold–Kan 对应并不幺半, 而只是松幺半、反松幺半:

定义 3.1 (Eilenberg–Zilber 映射). 对链复形 $C,D\in {\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A})$ 定义 Eilenberg–Zilber 映射$$\mathrm{EZ}:\mathrm{DK}(C\otimes D)\to \mathrm{DK}(C)\otimes \mathrm{DK}(D)$$如下: 由定义 1.1 中的左 Kan 扩张描述, 只需指定 $(C\otimes D{)}_n$ 中元素在 ${\mathrm{DK}}_n(C)\otimes {\mathrm{DK}}_n(D)$ 中的像, 使其 $d_n^0$ 是链复形边缘映射, $d_n^1,\dots ,d_n^n$ 都是 $0$. 那么对 $p+q=n$ 以及 $c_p\in C_p$, $d_q\in D_q$ 定义$$\mathrm{EZ}(c_p\otimes d_q)=\sum _{\alpha ,\beta }\mathrm{sgn}(\alpha ,\beta )c_{p,\alpha }\otimes d_{q,\beta },$$其中 $\alpha :[n]\twoheadrightarrow [p]$, $\beta :[n]\twoheadrightarrow [q]$ 取遍所有使得 $(\alpha ,\beta ):[n]\to [p]\times [q]$ 是单射的组合, $\mathrm{sgn}(\alpha ,\beta )\in \{\pm 1\}$ 表示置换$$(\min {\alpha }^{-1}(1),\dots ,\min {\alpha }^{-1}(p),\min {\beta }^{-1}(1),\dots ,\min {\beta }^{-1}(q))\in {\mathfrak{S}}_n$$的符号, $c_{p,\alpha }$ 和 $d_{q,\beta }$ 分别表示 $\alpha$ 和 $\beta$ 对应的直和分量里的 $c_p$ 和 $d_q$. 不难发现这确实与两边的半单纯结构相容.

以上定义显然可以推广到多个链复形 $C_1,\dots ,C_k$ 的张量积, 且与两边的结合律相容. 如 $\otimes$ 对称, 亦不难验证它与交换律相容. 这给出函子 $\mathrm{DK}$ 的反松 (对称) 幺半结构.

定义 3.2 (Alexander–Whitney 映射).

命题 3.3. 上面定义的 $\mathrm{EZ}$ 和 $\mathrm{AW}$ 是互逆的同伦等价, 且 $\mathrm{AW}\circ \mathrm{EZ}=\mathrm{id}$; 但反过来复合不是 $\mathrm{id}$, 故它们不是同构.

推论 3.4. Dold–Kan 对应给出结合单纯代数和结合微分分次代数之间的对应$$\mathrm{DK}:{\mathsf{DGA}}_{\ge 0}(\mathcal{A})\to \mathsf{sAlg}(\mathcal{A}),$$$$N:\mathsf{sAlg}(\mathcal{A})\to {\mathsf{DGA}}_{\ge 0}(\mathcal{A}),$$且 $N\circ \mathrm{DK}=\mathrm{id}$. 二者在相应的同伦范畴上是范畴等价.

推论 3.5. Dold–Kan 对应给出交换单纯代数到交换微分分次代数的函子$$N:\mathsf{sCAlg}(\mathcal{A})\to {\mathsf{CDGA}}_{\ge 0}(\mathcal{A}).$$

注 3.6. 承注 1.4, 可对 ${\mathcal{A}}^{\mathrm{op}}$ 使用以上定理及推论. 此时这些箭头会反向, 即变为 $\mathrm{DK}\circ N=\mathrm{id}$, 而交换代数之间的函子变为$$\mathrm{DK}:{\mathsf{CDGA}}^{\ge 0}(\mathcal{A})\to \mathsf{csCAlg}(\mathcal{A}).$$

注 3.7. 交换代数之间的函子只有当 $\mathcal{A}$ 为 $\mathbb{Q}$-线性, 即 $\mathrm{Hom}$ 的取值都是 $\mathbb{Q}$-线性空间时, 才在同伦范畴上是等价.

4相关概念

术语翻译

Dold–Kan 对应 • 英文 Dold–Kan correspondence