4.5. 主理想整环上的有限生成模

先简要回忆模的定义, 请参考 2.5 节. $A$ 是环 (未必交换) , (左) $A$ -模 $M$ 指的是交换群 $(M, +)$ 以及乘法映射 $A \times M \to M, (a, m) \mapsto a \cdot m,$ 使得对任意的 $a, a^{'} \in A$ 和 $m, m^{'}$ , 有 $1 \cdot m = m, a \cdot (a^{'} \cdot m) = (a \cdot a^{'}) \cdot m, a \cdot (m + m^{'}) = a \cdot m + a \cdot m^{'}, (a + a^{'}) \cdot m = a \cdot m + a^{'} \cdot m,$ $M$ 的加法子群 $N$ 如果对 $A$ 的乘法封闭, 则 $N$ 为 $M$ 的子模.

例子 4.5.1. $A$ 是环, 那么, $A$ 对自身的乘法使得 $A$ 成为 $A$ -模. 按定义, $I \subset A$ 是子模当且仅当 $I$ 是 $A$ 的 (左) 理想.

更多的例子请参考 2.5 节.

给定 $A$ -模 $M_{1}, M_{2}$ , 它们之间的 $A$ -模同态指的是加法群同态 $φ : M_{1} \to M_{2}$ 并且对任意 $a \in A$ 和 $m \in M_{1}$ , 有 $φ (a \cdot m) = a \cdot φ (m) .$ 同态的核定义为 $Ker (φ) := {m \in M_{1} ∣ ∣ φ (m) = 0}$ . 它是 $M_{1}$ 的子模且 $φ$ 是单射当且仅当 $Ker (φ) = {0}$ .

给 $A$ -模 $M$ 及其子模 $N$ , 我们还可以定义商模 $M ╱ N = {m + N ∣ ∣ m \in M}$ , 其中 $a (m + N) := am + N$ . 商映射 $π : M \to M ╱ N, m \mapsto m + N .$ 是满的 $A$ -模同态. 特别地, 我们有所谓的同态定理, 请参考命题 2.5.10: $M$ 和 $M^{'}$ 是 $A$ -模, $N \subset M$ 是子模, $φ : M \to M^{'}$ 是 $A$ -模同态. 若 $N \subset Ker (φ)$ , 则有唯一的 $A$ -模同态 $\overline{φ} : M ╱ N \to M^{'}$ , 使得 $\overline{φ} \circ π = φ$ , 即进一步, 我们还有 $A$ -模同构 $\overline{φ} : M ╱ Ker (φ) ⟶ ≃ Im (φ)$ .

注记 4.5.2. 与商群的情形类似 (证明完全一致) , 我们有如下的一一对应: ${M 的子模 N^{'} \supset N} ⟶ 1 : 1 {M ╱ N 的子模 \overline{N^{'}}}, N^{'} \mapsto N^{'} ╱ N .$

有限生成模与 Noether 性

以下总假设 $A$ 是交换环.

给定一族 $A$ -模 ${M_{i}}_{i \in I}$ , 那么 $i \in I \prod M_{i}$ 具有 $A$ -模结构: $A \times i \in I \prod M_{i} \to i \prod M_{i}, (a, (m_{i} \in M_{i})_{i \in I}) \mapsto (a \cdot m_{i})_{i \in I} .$ 它被称作是 ${M_{i}}_{i \in I}$ 的乘积. 对每个指标 $i_{0} \in I$ , 投影映射 $π_{i_{0}} : i \prod M_{i} \to M_{i_{0}}, (m_{i})_{i \in I} \mapsto m_{i_{0}} .$ 是 $A$ -模同态.

$i \in I \prod M_{i}$ 具有以下的泛性质:

对任意 $A$ -模 $M$ 和任意一族 $A$ -模同态 $φ_{i} : M \to M_{i}$ , 其中 $i \in I$ , 存在唯一的 $A$ -模同态 $ψ : M \to i \in I \prod M_{i}$ , 使得对任意的 $i \in I$ , $π_{i} \circ ψ = φ_{i}$ , 即 $i \in I \prod Hom_{A} (M, M_{i}) = Hom_{A} (M, i \in I \prod M_{i}) .$ 证明请参考习题 2.7.1.

我们还可构造 ${M_{i}}_{i \in I}$ 的直和 $i \in I ⨁ M_{i}$ . 作为集合, 令 $i \in I ⨁ M_{i} = {(m_{i})_{i \in I} \in i \in I \prod M_{i} ∣ ∣ 除有限个 i 外，其余 m_{i} 均为 0} .$ 那么, $i \in I ⨁ M_{i}$ 的 $A$ -模结构定义为 $A \times i \in I ⨁ M_{i} \to i \in I ⨁ M_{i}, (a, (m_{i} \in M_{i})_{i \in I}) \mapsto (a \cdot m_{i})_{i \in I} .$ 对每个指标 $i_{0} \in I$ , 我们有嵌入映射 $ι_{i_{0}} : M_{i_{0}} \to i \in I ⨁ M_{i} m_{i_{0}} \mapsto (, 0, \dots, 0, m_{i_{0}}, 0 \dots) .$ 这是 $A$ -模同态.

$i \in I ⨁ M_{i}$ 也具泛性质:

对任意 $A$ -模 $M$ 和任意一族 $A$ -模同态 $φ_{i} : M_{i} \to M$ , 其中 $i \in I$ , 存在唯一的 $A$ -模同态 $ψ : i \in I ⨁ M_{i} \to M$ , 使得对任意的 $i \in I$ , $ψ \circ ι_{i} = φ_{i}$ , 即 $i \in I \prod Hom_{A} (M_{i}, M) = Hom_{A} (i \in I ⨁ M_{i}, M) .$

注记 4.5.3. 再给定一族 $A$ -模 ${M_{i}^{'}}_{i \in I}$ , 它们和 ${M_{i}}_{i \in I}$ 用同样的指标 $I$ . 若对每个 $i \in I$ , 有 $A$ -模同构 $f_{i} : M_{i}^{'} \to M_{i}$ , 那么, $i \in I ⨁ M_{i}^{'}$ 与 $i \in I ⨁ M_{i}$ 同构.

对任意的 $i \in I$ , 我们有 $A$ -模同态: $M_{i}^{'} ⟶ f_{i} M_{i} ⟶ ι_{i} i \in I ⨁ M_{i} .$ 这就给出了 $A$ -模同态: $i \in I ⨁ M_{i}^{'} ⟶ i \in I ⨁ M_{i} .$ 利用 $f_{i}^{- 1} : M_{i} \to M_{i}^{'}$ 可以构造出上述映射的逆, 这就给出了 $i \in I ⨁ M_{i}^{'}$ 与 $i \in I ⨁ M_{i}$ 之间的同构.

特别地, 如果 ${M_{i}}_{i \in I}$ 中每个 $M_{i}$ 均与 $A$ 同构, 就用 $A^{I}$ 记它们的直和 (的同构等价类) 并称之为自由 $A$ -模. 我们称 $∣ I ∣$ 为此自由模的秩. 定义 $A$ -模 $A^{n} = n 个 A \oplus A \oplus \dots \oplus A$ . 如果 $M$ 是自由 $A$ -模, ${x_{i}}_{i \in I} \subset M$ 使得映射 $A^{I} ⟶ M, (a_{i})_{i \in I} \mapsto i \in I \sum a_{i} x_{i}$ 是 $A$ -模同构 (根据定义 $(a_{i})_{i \in I} \in A^{I}$ 中只有有限个 $a_{i}$ 非零, 从而上述求和为有限和) , 就称 ${x_{i}}_{i \in I}$ 是 $M$ 的一组基. 此时, 对任意的 $x \in M$ , 存在唯一一组 $(a_{i})_{i \in I}$ , 其中只有有限个 $a_{i}$ 非零, 使得 $x = i \in I \sum a_{i} x_{i}$ .

例子 4.5.4. $M$ 是 $A$ -模, $N_{1}, N_{2}$ 是子模, 若 $N_{1} \cap N_{2} = 0$ 且 $N_{1} + N_{2} = M$ , 其中, $N_{1} + N_{2} := {n_{1} + n_{2} ∣ n_{1} \in N_{1}, n_{2} \in N_{2}} .$ 那么, $M ≃ N_{1} \oplus N_{2}$ .

实际上, 根据自然的嵌入映射 $N_{i} \to M, n_{i} \mapsto n_{i}$ , 我们自然有映射 $ψ : N_{1} \oplus N_{2} ⟶ M, (n_{1}, n_{2}) \mapsto n_{1} + n_{2} .$ 由于 $N_{1} + N_{2} = M$ , 所以 $ψ$ 是满射; 对任意的 $(n_{1}, n_{2}) \in Ker (φ)$ , $n_{1} = - n_{2} \in N_{1} \cap N_{2} = 0$ , 所以, $Ker (φ) = 0$ , 即 $ψ$ 是单射. 综上所述, $ψ$ 是同构.

给定 $A$ -模 $M$ , ${M_{i}}_{i \in I}$ 是 $A$ 的某些子模构成的集合, 我们定义 $i \in I \sum M_{i} = {有限和 i \in I \sum x_{i} ∣ ∣ x_{i} \in M_{i}} .$ 这显然是 $M$ 的子模. 另外, $i \in I ⋂ M_{i}$ 也是子模, 据此, 考虑 $M$ 的非空子集 $S \subset M$ , 包含 $S$ 的所有子模之交是在包含关系下含 $S$ 的最小子模, 它被称为由 $S$ 生成的子模并记作 $(S)$ .

如果 $M$ 由某个有限子集 $S$ 生成, 则称 $M$ 是有限生成的 $A$ -模. 如果模 $M$ 可由单个元素 $x$ 生成, 则称 $M$ 是循环模、 $x$ 为 $M$ 的生成元并记作 $N = A \cdot x$ .

注记 4.5.5. 循环 $A$ -模形如 $A ╱ I$ , 其中 $I$ 是理想.

实际上, $I$ 是 $A$ 的理想 (从而是 $A$ 的子模) , 那么, $A ╱ I$ 是循环模, 因为 $1 + I$ 是其生成元; 反之, 若 $M$ 是循环模, 则有满同态 $φ : A \to M, a \mapsto a \cdot x .$ 从而, $M ≃ A ╱ Ker (φ)$ . 我们注意到 $Ker (φ)$ 是 $A$ 的理想.

注记 4.5.6. $M$ 是有限生成的当且仅当有整数 $n$ 及满同态 $A^{n} \to M$ .

实际上, 若有满同态 $φ : A^{n} \to M$ , 则 $(1, 0, \dots, 0), \dots, (0, 0, \dots, 1)$ 的像生成了 $M$ ; 反之, 令 $s_{1}, \dots, s_{n}$ 为 $M$ 的生成元, 可以构造满同态 $φ : A^{n} \to M, (a_{1}, \dots, a_{n}) \mapsto a_{1} s_{1} + \dots + a_{n} s_{n} .$

定义 4.5.7. 若环 $A$ 的每个理想均为有限生成的, 则称 $A$ 为 Noether 环.

例子 4.5.8. 主理想整环是 Noether 环.

注记 4.5.9 (Noether 环的等价定义).

给定环 $A$ , 所谓的理想升链的稳定条件指的是对任意 $A$ 中的理想升链 $I_{1} \subset I_{2} \subset \dots \subset I_{n} \subset \dots,$ 存在 $n_{0} ⩾ 1$ , 使得当 $n ⩾ n_{0}$ 时, $I_{n} = I_{n_{0}}$ .

我们证明: $A$ 是 Noether 环等价于 $A$ 满足理想升链的稳定条件.

若 $A$ 是 Noether 环, 考虑任意上述的理想升链, 令 $I = \cup_{k ⩾ 1} I_{k}$ , 这是 $A$ 的理想. 根据 Noether 性, 存在 $x_{1}, \dots, x_{l} \in A$ , 使得 $I = (x_{1}, \dots, x_{l})$ . 根据 $I$ 的定义, 存在 $n_{0}$ , 使得 $x_{1}, \dots, x_{l} \in I_{n_{0}}$ , 所以当 $n ⩾ n_{0}$ , 我们有 $I \subset I_{n}$ . 从而, $I_{n} = I_{n_{0}}$ .

若 $A$ 满足理想升链的稳定条件, 假设存在不是有限生成的理想 $I \subset A$ . 任选 $x_{1} \in I$ 且 $x_{1} \neq = 0$ , 考虑 $(x_{1}) \subset I$ , 由于 $I$ 不是有限生成, 必有 $x_{2} \in I - (x_{1})$ ; 再考虑 $(x_{1}, x_{2}) \subset I$ , 由于 $I$ 不是有限生成, 必有 $x_{3} \in I - (x_{1}, x_{2})$ . 如此反复就得到理想的升链: $(x_{1}) \subset (x_{1}, x_{2}) \subset \dots \subset (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \subset \dots$ 该链的相邻两理想之间是严格包含关系, 这与理想升链的稳定条件矛盾.

若

A

是 Noether 环, 按定义,

A

作为

A

-模, 其子模均为有限生成的. 更一般地, 我们有如下命题

命题 4.5.10. Noether 环上的有限生成模的子模也是有限生成的.

证明. $A$ 是 Noether 环, $A$ -模 $M$ 可被 $n$ 个元素生成, 我们对 $n$ 进行归纳.

若 $n = 1$ , 我们已经证明了 $M ≃ A ╱ I$ . 对于子模 $J \subset A ╱ I$ , 这是 $A$ 中包含 $I$ 的理想, 根据 Noether 性, $J$ 是有限生成的.

现在假设对具有不超过 $n - 1$ 个生成元的 $A$ -模命题成立 ( $n ⩾ 2$ ) , 我们考虑 $M = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = A x_{1} + A x_{2} + \dots + A x_{n},$ 及其子模 $N$ . 令 $M^{'} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n - 1})$ , 则 $M ╱ M^{'}$ 由 $x_{n} + M^{'}$ 生成. 在商映射 $π : M \to M ╱ M^{'}$ 下, $π (N) \subset M ╱ M^{'}$ 是子模. 根据 $n = 1$ 情形的归纳假设, $π (N)$ 可以由有限个 $y_{1} + M^{'}, \dots, y_{m} + M^{'}$ 生成. 我们注意到 $N = N \cap M^{'} + A y_{1} + A y_{2} + \dots + A y_{m} .$ 实际上, 对任意 $x \in N$ , 根据 $y_{i}$ 的定义, 存在 $a_{1}, \dots, a_{m}$ , 使得 $π (x) = a_{1} π (y_{1}) + \dots + a_{m} π (y_{m})$ , 所以 $x - (a_{1} y_{1} + \dots + a_{m} y_{m}) \in Ker (π)$ , 即 $x - (a_{1} y_{1} + \dots + a_{m} y_{m}) \in N \cap M^{'}$ . 这就给出了上述等式.

根据归纳假设,

N \cap M^{'}

是有限生成的, 从而

N

是有限生成.

$□$

注记 4.5.11. 注记 3.5.7 是该命题的特例, 其证明的思想是一样的. 实际上, 当 $A$ 是主理想整环时, 上述证明表明: 若 $M$ 可由 $n$ 个元素生成的模, 那么每个子模 $N \subset M$ 也可由不超过 $n$ 个元素生成. 这与注记 3.5.7 一致, 因为交换群是 $Z$ -模而 $Z$ 是主理想整环.

类似于

mod p

的技巧 (参考注记 3.5.8) , 通过商掉极大理想, 我们也可以利用域上的线性代数来研究模:

命题 4.5.12. $A$ 是交换环, $φ : A^{n} \to A^{m}$ 是满的模同态, 则 $n ⩾ m$ . 特别地, $A^{m} ≃ A^{n}$ 当且仅当 $m = n$ .

证明. 任选极大理想

m \subset A

, 令

m^{n} = (x_{1}, \dots, x_{n})

, 其中,

x_{1}, \dots, x_{n} \in m

, 这是

A^{n}

的子模. 考虑有自然的商映射:

A^{n} \to A ╱ m \oplus \dots \oplus A ╱ m, (x_{1}, \dots, x_{n}) \mapsto (x_{1} + m, \dots, x_{n} + m) .

这个映射的核是

m^{n}

, 所以

A^{n} ╱ m^{n} ≃ A ╱ m \oplus \dots \oplus A ╱ m .

这是

n

-维

A ╱ m

-线性空间. 再考虑映射的复合

ψ = π \circ φ

很明显,

m^{n} \subset Ker (ψ)

, 所以, 存在满射

\overline{ψ} : (A ╱ m)^{n} \to (A ╱ m)^{n}

, 请参考如下交换图这是线性空间之间的满射, 所以

m ⩾ n

.

$□$

引理 4.5.13. $A$ 是主理想整环, $M ≃ A^{I}$ 是自由模, ${e_{i}}_{i \in I}$ 为 $M$ 的一组基, $N \subset M$ 为子模. $J \subset I$ 为子集并且 $J \neq = I$ , 任选 $i_{0} \neq = I - J$ , $J^{'} = J \cup {i_{0}}$ . 令 $M_{J}$ 和 $M_{J^{'}}$ 为 ${e_{j}}_{j \in J}$ 和 ${e_{j^{'}}}_{j^{'} \in J^{'}}$ 在 $M$ 中生成的自由子模.

若 $M_{J} \cap N$ 是自由模, 则 $M_{J^{'}} \cap N$ 是自由模. 进一步, 要么 $M_{J^{'}} \cap N = M_{J} \cap N$ , 要么存在 $M_{J} \cap N$ 的基 ${f_{k}}_{k \in K (J)}$ 以及 $f_{i_{0}} \in M_{J^{'}} \cap N$ 使得 ${f_{k}}_{k \in K (J)} \cup {f_{i_{0}}}$ 为 $M_{J^{'}} \cap N$ 的基.

证明. 考虑交换图其中, 定义 $π : M_{J^{'}} \to A, i \in J^{'} \sum a_{i} e_{i} \mapsto a_{i_{0}} .$ 那么, $Ker (π) = M_{J}$ . 这个映射给出了上述图中第一行的正合列.

不妨设

π (M_{J^{'}} \cap N) ≃ (a) \neq = 0

, 其中,

a \in A

: 否则上述图的第二行给出

M_{J^{'}} \cap N ≃ M_{J} \cap N

, 命题明显成立. 任选

f_{i_{0}} \in M_{J^{'}} \cap N

, 使得

π (f_{i_{0}}) = a

. 现在证明

{f_{k}}_{k \in K (J)} \cup {f_{i_{0}}}

是

M_{J^{'}} \cap N

的一组基: 对任意的

x \in M_{J^{'}} \cap N

,

π (x) \in (a)

, 从而有

b \in A

, 使得

π (x) = ba

, 则

π (x - b \cdot f_{i_{0}}) = 0

, 所以

x - b \cdot f_{i_{0}} \in M_{J} \cap N

, 从而有

a_{k} \in A

, 使得

x - b \cdot f_{i_{0}} = k \in K (J) \sum a_{k} \cdot f_{k} .

这说明

{f_{k}}_{k \in K (J)} \cup {f_{i_{0}}}

生成了

M_{J^{'}} \cap N

. 另外, 若

b \cdot f_{i_{0}} + k \in K (J) \sum a_{k} \cdot f_{k} = 0.

先作用

π

, 则

b = 0

, 从而

k \in K (J) \sum a_{k} \cdot f_{k} = 0

, 那么,

a_{k} = 0

, 所以

{f_{k}}_{k \in K (J)} \cup {f_{i_{0}}}

是

M_{J^{'}} \cap N

的基. 综上所述, 命题成立.

$□$

定理 4.5.14. $A$ 为主理想整环, $M$ 是自由 $A$ -模, $N \subset M$ 为其子模, 则 $N$ 是也是自由 $A$ -模.

注记 4.5.15. 证明的困难之处在于并不需要假设 $M$ 是有限生成. 定理在很多场合有着重要的应用, 比如说 $X$ 是拓扑空间, 为了定义 $X$ 的奇异同调 $H_{*} (X; Z)$ , 对任意 $k$ , 我们研究它的 $k$ -次奇异链复形 $S_{k} (X)$ , 这是由所有 $k$ -单形生成的自由交换群 (即自由的 $Z$ -模) , 那么 $S_{k} (X)$ 的每个子群都是自由的交换群.

证明. 考虑下面的集合: $J = {(J, {f_{k}}_{k \in K (J)}) ∣ ∣ J \subset I, M_{J} \cap N 是自由 A - 模且 {f_{k}}_{k \in K (J)} 为一组基} .$ 我们定义 $J$ 上的偏序: 对任意的 $(J, {f_{k}}_{k \in K (J)}), (J^{'}, {f_{k^{'}}^{'}}_{k^{'} \in K (J^{'})}) \in J$ , $J_{1} ⪯ J_{2}$ 指的是 $J \subset J^{'} 且 {f_{k}}_{k \in K (J)} \subset {f_{k^{'}}^{'}}_{k^{'} \in K (J^{'})} .$

对任意的 $s = (J, {f_{k}}_{k \in K (J)})$ , 令 $π_{1} (s) = J$ , $π_{2} (s) = {f_{k}}_{k \in K (J)}$ . 对任意的全序子集 $S \subset J$ , 令 $J = s \in S ⋃ π_{1} (s) \subset I, b = s \in S ⋃ π_{2} (s) .$ 由于对每个 $s \in S$ , $π_{2} (s) \subset N \cap M_{π_{1} (s)} \subset s \in S ⋃ M_{π_{1} (s)} \cap N$ , 所以, $b \subset ⋃_{s \in S} M_{π_{1} (s)} \cap N$ . 现在证明 $b$ 为 $s \in S ⋃ M_{π_{1} (s)} \cap N$ 的基 (从而, $s \in S ⋃ M_{π_{1} (s)} \cap N$ 是自由 $A$ -模) :

•

任选 $x s \in S ⋃ M_{π_{1} (s)} \cap N$ , 则存在 $s_{0} \in S$ , 使得 $x \in M_{π_{1} (s_{0})} \cap N$ . 此时, $π_{2} (s_{0})$ 是 $M_{π_{1} (s_{0})} \cap N$ 的基, 所以存在 $e_{1}, \dots, e_{n} \in π_{2} (s_{0})$ 和 $a_{1}, \dots, a_{n} \in A$ , 使得 $x = i = 1 \sum n a_{i} x_{i}$ . 由于 $π_{2} (s_{0}) \subset b$ , 这表明 $b$ 生成 $s \in S ⋃ M_{π_{1} (s)} \cap N$ .

•

$b$ 中的元素是 $A$ -线性无关的: 对任意的 $e_{1}, \dots, e_{n} \in b$ , 存在 $s_{1}, \dots, s_{n} \in S$ , 使得 $e_{i} \in π_{2} (s_{i})$ . 由于 $S$ 是全序子集, 不妨假设 $s_{n} = max (s_{1}, \dots, s_{n})$ , 那么, $e_{1}, \dots, e_{n} \in π_{2} (s_{n})$ . 由于 $π_{2} (s_{n})$ 是 $M$ 的某子模的基, 所以它们 $A$ -线性无关.

综合上述,

(J, b) \in J

并且

J

是

S

的上界. 根据 Zorn 引理,

S

有极大元

(J)

. 令

π_{1} (s_{*}) = J

, 那么,

J = I

: 否则, 任选

i_{0} \neq = I - J

,

J^{'} = J \cup {i_{0}}

, 根据上一引理,

M_{J^{'}} \cap N

是自由

A

-模并且有一组基

b^{'}

包含

π_{2} (s_{*})

. 所以,

(J^{'}, b^{'}) \in J

且比

s_{*}

更大, 矛盾!

$□$

主理想整环上有限生成模的分类定理

$A$ 是交换环, $p, q$ 是正整数, 用 $M_{p, q} (A)$ 表示 $A$ 系数 $p \times q$ 的矩阵全体. 当 $p = q = n$ 时, 令 $M_{n} (A) = M_{n, n} (A)$ , 那么 $M_{n} (A)$ 在矩阵乘法下是环 (当 $p ⩾ 2$ 时, 这个环不交换) .

在 $M_{n} (A)$ 上, 我们有经典的行列式映射: $det : M_{n} (A) \to A, A \mapsto σ \in S_{n} \sum ε (σ) a_{1 σ (1)} a_{2 σ (2)} \dots a_{nσ (n)} .$ 其中, $A = (a_{ij})_{i, j ⩽ n}$ . 特别地, 对任意的 $M, M^{'} \in M_{n} (A)$ , 有 $det (M \cdot M^{'}) = det (M) det (M^{'}) .$ 实际上, 以上公式的证明只需要用到 $A$ 中的乘法, 所以在线性代数课程中的证明仍然成立. 我们可以通过如下 Cauchy-Binet 公式的证明来验证这里的逻辑:

例子 4.5.16 (Cauchy-Binet 公式). 给定 $A$ -系数的 $m \times n$ 矩阵 $M$ 和 $n \times m$ 的矩阵 $N$ , 其中, $m ⩽ n$ . 对任意的 $1 ⩽ j_{1} < j_{2} < \dots < j_{m} ⩽ n$ , 我们定义 $M_{\underline{j}}$ 为 $M$ 的第 $j_{1}, j_{2}, \dots, j_{m}$ 列 (按照既定的顺序) 给出的 $m \times m$ 的矩阵, $N_{\underline{j}}$ 为 $N$ 的第 $j_{1}, j_{2}, \dots, j_{m}$ 行 (按照既定的顺序) 给出的 $m \times m$ 的矩阵, 其中, $\underline{j} = (j_{1}, \dots, j_{m})$ .

对于 $m \times m$ 的矩阵 $M$ , 其行列式为 $det (M) = σ \in S_{m} \sum ε (σ) M_{1 σ (1)} M_{2 σ (2)} \dots M_{mσ (m)} .$ 我们来证明著名的 Cauchy-Binet 公式: $det (M \cdot N) = \underline{j} \sum det (M_{\underline{j}}) det (N_{\underline{j}}) .$ (4.5.1)直接计算给出 $det (M \cdot N) = σ \in S_{m} \sum ε (σ) (M \cdot N)_{1 σ (1)} (M \cdot N)_{2 σ (2)} \dots (M \cdot N)_{mσ (m)} = σ \in S_{m} \sum k_{1} = 1 \sum n k_{2} = 1 \sum n \dots k_{m} = 1 \sum n ε (σ) M_{1 k_{1}} N_{k_{1} σ (1)} M_{2 k_{2}} N_{k_{2} σ (2)} \dots M_{1 k_{m}} N_{k_{m} σ (m)} = k_{1}, \dots, k_{m} = 1 \sum n M_{1 k_{1}} M_{2 k_{2}} \dots M_{m k_{m}} σ \in S_{m} \sum ε (σ) N_{k_{1} σ (1)} N_{k_{2} σ (2)} \dots N_{k_{m} σ (m)} .$ 令 $N_{\underline{k}}$ 为 $N_{\underline{j}}$ 为 $N$ 的第 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ 行给出的 $m \times m$ 的矩阵, 其中, $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ 可以有相同的数并且我们不要求大小的顺序. 此时, 根据定义 $ε (σ) N_{k_{1} σ (1)} N_{k_{2} σ (2)} \dots N_{k_{m} σ (m)} = det (N_{\underline{k}}) .$ 特别地, 我们可以要求以上 $det (M \cdot N)$ 的求和中 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ 两两不同 (否则, 这样的项给出了有行一样的矩阵的行列式, 从而贡献是 $0$ ) . 所以, $\underline{k}$ 可以被视作是 $S_{m}$ 中的元素. 据此, $det (M \cdot N) = \underline{k} \in S_{m} \sum M_{1 k_{1}} M_{2 k_{2}} \dots M_{m k_{m}} det (M_{\underline{k}}) .$ 另外, $det (M_{\underline{k}}) = ε (\underline{k}) det (M_{\underline{j}})$ , 其中, $1 ⩽ j_{1} < j_{2} < \dots < j_{m} ⩽ n$ 是对 $k_{1}, \dots, k_{m}$ 的重新排序. 所以, $det (M \cdot N) = \underline{k} \in S_{m} \sum ε (\underline{k}) M_{1 k_{1}} M_{2 k_{2}} \dots M_{m k_{m}} det (M_{\underline{j}}) = det (N_{\underline{j}}) det (M_{\underline{j}}) .$ 当 $m = n$ 时, Cauchy-Binet 公式给出 $det (M \cdot N) = det (M) det (N)$ .

给定 $M \in M_{n} (A)$ , 用 $M^{^{ad}}$ 表示其伴随矩阵 (由余子式构成的矩阵) . 类似地, 我们仍然有 $M \cdot^{t} M^{^{ad}} =^{t} M^{^{ad}} \cdot M = det (M) \cdot I,$ 其中, $I$ 是 $n \times n$ 的单位矩阵.

现在考虑环 $M_{n} (A)$ 的可逆元: $GL (n; A) = M_{n} (A)^{\times},$ 这是 $n \times n$ 的可逆矩阵所构成的群. 根据上述 $M$ 与其伴随矩阵相乘的公式, 我们有如下结论:

引理 4.5.17. $GL (n; A) = {M \in M_{n} (A) ∣ ∣ det (M) \in A^{\times}}$ .

我们要用矩阵来研究主理想整环上的有限生成模, 其基本的思想就是研究群 $GL (p; A) \times GL (q; A)$ 在 $M_{p, q} (A)$ 上的作用, 它是线性代数中通过左右乘以矩阵将给定矩阵变成对角矩阵的推广.

我们定义群的作用: $(GL (p; A) \times GL (q; A)) \times M_{p, q} (A) \to M_{p, q} (A), ((P, Q), M) \mapsto P \cdot M \cdot Q^{- 1} .$ 给定 $M \in M_{p, q} (A)$ , 目标是在 $M$ 的轨道中选形式尽可能简单的代表元.

定理 4.5.18 (Smith 正规型). $A$ 是主理想整环, $M \in M_{p, q} (A)$ , 不妨 $p ⩽ q$ , $r = min (p, q) = q$ . 那么, $M$ 的轨道中有如下形式的矩阵: $P \cdot M \cdot Q^{- 1} = ⎝ ⎛ a_{1} a_{2} ⋱ a_{r} 0 ⎠ ⎞$ 其中, $a_{1}, \dots, a_{r}$ 是仅有的可能非零的元, $(a_{1}) \supset (a_{2}) \supset \dots \supset (a_{r})$ . 进一步, 对每个 $i ⩽ r$ , $a_{i}$ 在伴随的意义下唯一.

存在性部分的证明. 对 $p + q$ 进行归纳. 当 $p + q = 2$ 时, 命题明显成立. 我们做如下的归纳假设: 对 $k ⩾ 3$ , 对任意 $p + q < k$ , 命题成立. 以下证明当 $p + q = k$ 时, 该命题仍然出成立.

对 $a \in A$ , 由于 $A$ 是主理想整环, $a$ 可以写成 $a = u p_{1}^{e_{1}} \dots p_{k}^{e_{k}}$ , 其中, $u \in A^{\times}$ 而 $p_{i}$ 为不可约元, 其中, $e_{i} ⩾ 1$ . 令 $F (a) = e_{1} + \dots + e_{k}$ , 这是 $a$ 的不可约因子的个数 (算重数) . 我们注意到初等矩阵均为 $GL (p; A)$ 或者 $GL (q; A)$ 中的元素 (因为它们的系数均为整数) . 对给定的矩阵 $M = (m_{i, j})_{i ⩽ p, j ⩽ q}$ , 通过对 $M$ 的左右乘初等矩阵来实现调换两行或者两列, 我们不妨假设 $F (m_{1, 1}) = i, j min F (m_{i, j})$ . 我们还定义 $F (M) = i, j min F (m_{i, j})$ .

现在考察 $M$ 的第一行中的元素 $m_{1, j}$ 和第一列中的元素 $m_{i, 1}$ , 其中, $i, j ⩾ 2$ . 分两种情况讨论:

(1)

存在某个 $m_{1, j}$ 或 $m_{i, 1}$ 不被 $m_{1, 1}$ 整除.

通过对 $M$ 的左右乘初等矩阵, 不妨设 $m_{1, 2} \in / (m_{1, 1})$ . 考虑 $m_{1, 1}$ 和 $m_{1, 2}$ 在 $A$ 中生成的理想 $(m_{1, 1}, m_{1, 2})$ , 由于 $A$ 是主理想整环, 所以存在 $d \in A$ , 使得 $(m_{1, 1}, m_{1, 2}) = (d)$ . 特别地, $d ∣ m_{1, 1}$ 且 $(m_{1, 1}) \neq = (d)$ (否则 $m_{1, 2} \in (m_{1, 1})$ ) . 据此, 必然有 $F (d) < F (m_{1, 1})$ . 根据 $(m_{1, 1}, m_{1, 2}) = (d)$ , 存在 $a, b \in A$ , 使得 $a m_{1, 1} + b m_{1, 2} = d .$ 令 $x = \frac{m _{1, 1}}{d}$ , $y = \frac{m _{1, 2}}{d}$ , 那么 $a x + b y = 1.$ 我们构造分块对角的 $q \times q$ 矩阵 ¹: $Q^{'} = ⎝ ⎛ a b - y x 1 ⋱ 1 ⎠ ⎞$ 根据 $a x + b y = 1$ , $Q^{'} \in GL (n; A)$ . 所以, $M \cdot Q^{'}$ 的第一行第一列的位置为 $a m_{1, 1} + b m_{1, 2} = d$ . 此时, $F (d) < F (m_{1, 1})$ , 此时, 新得到的 $M^{'}$ 满足 $F (M^{'}) < F (M)$ .

再通过调整行和列的位置, 我们还可假设 $F (m_{1, 1}^{'}) = F (M^{'})$ , 重复以上过程, 一直到 $m_{1, j}^{'}$ 或者 $m_{i, 1}^{'}$ 均被 $m_{1, 1}^{'}$ 整除为止.

(2)

所有的 $m_{1, j}$ 或者 $m_{i, 1}$ 都是 $m_{1, 1}$ 的倍数.

此时, 我们可以通过对 $M$ 左右乘以初等矩阵消去第一行和第一列的数, 使得 $M$ 形如:

$M = ⎝ ⎛ a_{1} 0 \dots 0 0 * \dots * 0 * \dots * 0 * \dots * ⎠ ⎞$ 我们注意到, 通过上述操作, 以上矩阵中所有 $*$ 均为 $a_{1}$ 的倍数: 若不然, 可以将这一行加到第一行, 再次进行情形 (1) 的操作, 这样 $F (m_{11})$ 可以进一步减小. 如此往复, 一直到所有 $*$ 均为 $a_{1}$ 的倍数即可. 对 $*$ 构成的矩阵可以提出因子 $a_{1}$ , 然后使用归纳假设即可.

特别地, 以上的证明还给出了具体

P

和

Q

的算法.

$□$

我们引入如下工具来证明唯一性:

引理 4.5.19. 给定 $M \in M_{p, q} (A)$ , 对 $1 ⩽ k ⩽ min (p, q)$ , 令 $c_{k} (M) \subset A$ 为 $M$ 的所有 $k$ 阶子式所生成的理想. 当 $k ⩽ 0$ 时, 令 $c_{k} (M) = A$ ; 当 $k > min (p, q)$ 时, 令 $c_{k} (M) = 0$ .

对任意的 $k \in Z$ , 对任意的 $P \in GL (p; A), Q \in GL (q; A)$ 和 $M \in M_{p, q} (A)$ , 如下等式成立: $c_{k} (M) = c_{k} (P \cdot M \cdot Q) .$

证明. 首先证明

c_{k} (M \cdot Q) \subset c_{k} (M)

. 考察

M \cdot Q

中由前

k

行和前

k

列所给的余子式: 令

M (k)

为

M

的前

k

行所构成的

k \times q

的矩阵,

Q (k)

为

Q

的前

k

列所构成的

q \times k

的矩阵, 根据 Cauchy-Binet 公式, 上述余子式为

det (M (k) \cdot Q (k)) = \underline{j} \sum det (M (k)_{\underline{j}}) det (Q (k)_{\underline{j}}) \subset c_{k} (M) .

对于

M \cdot Q

的其它余子式也可类似讨论, 这就证明了

c_{k} (M \cdot Q) \subset c_{k} (M)

. 由于

Q

是可逆矩阵, 我们还有

c_{k} (M) = c_{k} (M \cdot Q \cdot Q^{- 1}) \subset c_{k} (M \cdot Q) .

所以,

c_{k} (M) = c_{k} (M \cdot Q)

. 对于

P

自然可以同样讨论.

$□$

Smith 标准型唯一性的证明. 对于

P \cdot M \cdot Q^{- 1} = ⎝ ⎛ a_{1} a_{2} ⋱ a_{r} 0 ⎠ ⎞

我们显然有

c_{k} (P \cdot M \cdot Q^{- 1}) = (a_{1} \dots a_{k}) = c_{k} (M)

, 这表明

a_{1} a_{2} \dots a_{k}

完全被

M

决定. 由于每个主理想的生成元在伴随的意义下唯一, 所以

a_{1}, a_{1} a_{2}, \dots, a_{1} a_{2} \dots a_{r}

被唯一决定. 通过相除,

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}

是唯一的.

$□$

推论 4.5.20 (线性映射版本). $A$ 是主理想整环, $M$ 和 $N$ 是有限生成的自由 $A$ -模, $φ : M \to N$ 是 $A$ -模同态并且 $M ≃ A^{q}, N ≃ A^{p}$ . 那么, 存在 $M$ 的基 $u_{1}, \dots, u_{q}$ 和 $N$ 的基 $v_{1}, \dots, v_{p}$ 以及 $a_{1}, \dots, a_{r} \in A$ , 其中, $r ⩽ min (p, q)$ , 使得 $(a_{1}) \supset (a_{2}) \supset \dots \supset (a_{r}), φ (u_{i}) = {a_{i} v_{i}, i ⩽ r; 0, i > r .$

证明. 任选

M

和

N

的基

e_{1}, \dots, e_{q}

和

N

的基

f_{1}, \dots, f_{p}

, 在这组基下模同态

φ

的矩阵可以表示为

M

. 则存在

(P, Q) \in GL (p; A) \times GL (q; A)

, 使得

P \cdot M \cdot Q^{- 1} = ⎝ ⎛ a_{1} ⋱ a_{r} 0 ⋱ 0 0 ⎠ ⎞

其中, 不妨假设

p ⩽ q

. 那么,

{v_{1} = Q \cdot e_{1}, \dots, v_{q} = Q \cdot e_{q}}, {v_{1} = P \cdot f_{1}, \dots, v_{p} = P \cdot f_{p}}

为所求的基.

$□$

命题 4.5.21 (主理想整环上自由模的子模). $A$ 为主理想整环, $M ≃ A^{n}$ 是有限生成的自由 $A$ -模, $N \subset M$ 为其子模, 则 $N$ 是自由的 $A$ -模. 进一步, 存在 $M$ 的基 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ , $r ⩽ n$ 和 $a_{1}, \dots, a_{r} \in A$ , 使得 $(a_{1}) \supset (a_{2}) \supset \dots \supset (a_{r})$ 并且 $a_{1} e_{1}, \dots, a_{r} e_{r}$ 是 $N$ 的基.

证明. 根据命题 4.5.10 以及注记 4.5.11,

N

是有限生成的

A

-模, 所以存在

m ⩽ n

以及

A

-模同态

φ : A^{m} ↠ N \subset M ≃ A^{n},

其中,

Im (φ) = N

. 对

φ

用上一推论, 则存在

A^{m}

的基

u_{1}, \dots, u_{m}

和

M

的基

v_{1}, \dots, v_{n}

以及

a_{1}, \dots, a_{r}

, 其中,

r ⩽ min (p, q)

, 使得

(a_{1}) \supset (a_{2}) \supset \dots \supset (a_{r}), φ (u_{i}) = {a_{i} v_{i}, i ⩽ r; 0, i > r .

此时,

{a_{1} v_{1}, \dots, a_{r} v_{r}}

是

N

的基.

$□$

定理 4.5.22 (主理想整环上有限生成模的结构). $A$ 是主理想整环, $M$ 有限生成的 $A$ -模, 则存在 $r, s \in Z_{⩾ 0}$ 和 $a_{1}, \dots, a_{s} \in A$ , 使得 $(a_{1}) \supset (a_{2}) \supset \dots \supset (a_{s})$ 并且 $M ≃ A^{r} \oplus A ╱ (a_{1}) \oplus A ╱ (a_{2}) \oplus \dots \oplus A ╱ (a_{s}) .$ 进一步, 以上的 $a_{1}, \dots, a_{s}$ 在伴随的意义下唯一.

注记 4.5.23. 我们称 $r$ 为 $M$ 的秩并记作 $rank (M)$ .

证明. 由于

M

是有限生成的, 所以存在满射的

A

-模同态

φ : N \to M

, 其中,

N

是有限成的自由

A

-模. 特别地,

M ≃ N ╱ Ker (φ)

. 根据命题 4.5.21, 存在

N

的基

e_{1}, \dots, e_{n}

, 使得

Ker (φ) ≃ A \cdot a_{1} e_{1} \oplus \dots \oplus A \cdot a_{s} e_{s},

其中,

s ⩽ n

并且

(a_{1}) \supset (a_{2}) \supset \dots \supset (a_{s})

, 并且

a_{s} \neq = 0

. 令

r = n - s

, 那么,

M ≃ A^{n} ╱ A \cdot a_{1} e_{s} \oplus \dots \oplus A \cdot a_{s} e_{s} ≃ A^{r} \oplus A ╱ (a_{1}) \oplus A ╱ (a_{2}) \oplus \dots \oplus A ╱ (a_{s}) .

着给出了主理想整环上有限生成模的结构定理的存在性部分的证明.

$□$

注记 4.5.24. 现在证明唯一性部分, 即若有 $r^{'}, s^{'} \in Z_{⩾ 0}$ 和 $a_{1}^{'}, \dots, a_{s^{'}}^{'} \in A$ , 使得 $(a_{1}^{'}) \supset \dots \supset (a_{s^{'}}^{'})$ 且 $M ≃ A^{r^{'}} \oplus A ╱ (a_{1}^{'}) \oplus \dots \oplus A ╱ (a_{s^{'}}^{'}) .$ 那么, $r = r^{'}, s = s^{'}$ 且 $a_{i}$ 与 $a_{i}^{'}$ 伴随.

$x \in M$ , 如果存在 $a \in A - {0}$ , 使得 $a \cdot x = 0$ , 就称 $x$ 是挠元素. 不难看出, 挠元素的全体 $T (M)$ 是 $M$ 的子模. 特别地, 根据以上两个关于 $M$ 的分解, 我们有 $T (M) ≃ A ╱ (a_{1}) \oplus \dots \oplus A ╱ (a_{s}), T (M) ≃ A ╱ (a_{1}^{'}) \oplus \dots \oplus A ╱ (a_{s^{'}}^{'}),$ 以及 $A^{r} ≃ M ╱ T (M), A^{r^{'}} ≃ M ╱ T (M) .$ 从而, $A^{r} ≃ A^{r^{'}}$ . 根据命题 4.5.12, $r = r^{'}$ .

通过考虑 $T (M)$ 的分解, 我们以下假设 $r = r^{'} = 0$ . 对于任意 $a \in A$ , 假设 $a = u p_{1}^{α_{1}} \dots p_{k}^{α_{k}}, α_{i} ⩾ 1, u \in A^{\times},$ 为其素因子的分解, 其中, $p_{1}, \dots, p_{k}$ 为两两不同的不可约元素. 那么, 理想 ${(p_{u}^{α_{i}})}_{1 ⩽ i ⩽ k}$ 两两互素. 根据中国剩余定理, 就有 $A ╱ (a) ≃ A ╱ (p_{1}^{α_{1}}) \times \dots \times A ╱ (p_{k}^{α_{k}}) .$ 以上是环同构, 它自然给出了 $A$ -模的同构: $A ╱ (a) ≃ A ╱ (p_{1}^{α_{1}}) \oplus \dots \oplus A ╱ (p_{k}^{α_{k}}) .$ 据此, 我们对 $M ≃ A ╱ (a_{1}) \oplus A ╱ (a_{2}) \oplus \dots \oplus A ╱ (a_{s})$ 和 $M ≃ A ╱ (a_{1}^{'}) \oplus A ╱ (a_{2}^{'}) \oplus \dots \oplus A ╱ (a_{s^{'}}^{'})$ 的每个直和分量进行分解, 得到 $M ≃ i = 1 ⨁ m (j = 1 ⨁ n_{i} A ╱ (p_{i}^{d_{i, j}})), M ≃ i = 1 ⨁ m^{'} ⎝ ⎛ j = 1 ⨁ n_{i}^{'} A ╱ (q_{i}^{d_{i, j}^{'}}) ⎠ ⎞$ 我们证明 $m = m^{'}$ , (通过调整顺序) $p_{i}$ 与 $q_{i}$ 伴随, $n_{i} = n_{i}^{'}$ , $d_{i, j} = d_{i, j}^{'}$ . 由于 $a_{i}$ 与 $a_{i}^{'}$ 可由 $p_{i}, q_{i}, d_{i, j}$ 与 $d_{i, j}^{'}$ 唯一决定 ², 这就将完成唯一性部分的证明.

首先证明 $m = m^{'}$ 且 $p_{i}$ 与 $q_{i}$ 伴随, 其中, $i = 1, \dots, m$ . 实际上, 对给定的不可约元 $p$ , 令 $M_{p} := {x \in M ∣ 存在 k ⩾ 0 ，使得 p^{k} x = 0,} .$ 对任意的不可约元素 $q$ , 如果 $p$ 与 $q$ 不伴随, 那么, 对 $k, d ⩾ 1$ , 存在 $a, b \in A$ , 使得 $a p^{k} + b q^{d} = 1$ , 从而, $A ╱ (q^{d}) \to A ╱ (q^{d}), x \mapsto p^{k} x,$ 是双射: 其逆映射为 $x \mapsto b x$ . 据此, 根据分解 $M ≃ ⨁_{i = 1}^{m} (⨁_{j = 1}^{n_{i}} A ╱ (p_{i}^{d_{i, j}}))$ , 我们有 $M_{p_{1}} = j = 1 ⨁ n_{1} A ╱ (p_{1}^{d_{1, j}}) .$ 利用第二个分解, 必然存在某个 (不妨设为) $q_{1}$ , 使得 $M_{q_{1}} = j = 1 ⨁ n_{1}^{'} A ╱ (p_{1}^{d_{1, j}^{'}}) .$ 这表明, $q_{1} = p_{1}$ . 利用归纳法, 不难看出 $m = m^{'}$ 且 $p_{i}$ 与 $q_{i}$ 伴随.

最终, 我们假设 $M ≃ j = 1 ⨁ n A ╱ (p^{d_{j}}), M ≃ j = 1 ⨁ n^{'} A ╱ (p^{d_{j}^{'}}) .$ 其中, $d_{1} ⩽ \dots ⩽ d_{n}, d_{1}^{'} ⩽ \dots ⩽ d_{n^{'}}^{'}$ 只要证明 $n = n^{'}, d_{j} = d_{j}^{'}$ 即可.

不妨假设 $l = d_{n} = \dots = d_{k + 1} > d_{k} ⩾ \dots ⩾ d_{1}$ 并且 $d_{n} ⩾ d_{n}^{'}$ . 注意到映射 $A ╱ (p) \to p^{s - 1} A ╱ (p^{s} A), x \mapsto p^{s - 1} x$ 是同构. 所以, $p^{l - 1} M ≃ j = 1 ⨁ n p^{l} A ╱ (p^{d_{j}}) ≃ j = k + 1 ⨁ n p^{l - 1} A ╱ (p^{l}) ≃ j = k + 1 ⨁ n A ╱ (p) .$ 由于 $A ╱ (p)$ 是域, 通过考察 $dim_{A ╱ (p)} p^{l - 1} M$ , $d_{n^{'}}^{'} = d_{n}$ 并且它们在 ${d_{j}}$ 与 ${d_{j}^{'}}$ 中出现的次数一样多. 通过对 $M$ 的子模 $M^{'} = {x \in M ∣ p^{l} M = 0}$ 进行讨论, 我们就可以用归纳法完成证明.

注记 4.5.25. 由于交换群可被视为 $Z$ -模, 以上定理重新给出有限生成交换群的结构定理, 请参考定理 3.5.11.

应用 (矩阵的标准型). $K$ 是域, $V$ 是有限维 $K$ -线性空间, $T \in End_{K} (V)$ 是 $K$ -线性映射, 则 $V$ 可被视为 $K [X]$ -模: $K [X] \times V \to V, (P (X), v) \mapsto P (T) v,$ 即对 $P (X) = a_{n} X^{n} + \dots + a_{1} X + a_{0} \in K [X]$ , $a_{0}, \dots, a_{n} \in K$ , 定义 $P (X) \cdot v = a_{n} T^{n} (v) + \dots + a_{1} T (v) + a_{0} v .$ 由于 $dim_{K} V < \infty$ , 这显然是有限生成的 $K [X]$ -模. 根据分类定理 4.5.22, 存在非零的首一多项式 $P_{1}, \dots, P_{s} \in K [X]$ , 使得 $(P_{1}) \supset (P_{2}) \supset \dots \supset (P_{s})$ 并且 $V ≃ K [X] ╱ (P_{1} (X)) \oplus K [X] ╱ (P_{2} (X)) \oplus \dots \oplus K [X] ╱ (P_{s} (X)) .$ 我们需要强调的是以上分解为 $K [X]$ -模的直和, 也是 $K$ -线性空间的直和.

以上分解没有自由的部分, 即 $r = 0$ : 根据 Hamilton-Cayley 定理, $P_{T} (T) = 0$ , 其中, $P_{T} (X) \in K [X]$ 是 $T$ 的特征多项式, 从而 $P_{T} (X)$ 乘任何 $v$ 都为 $0$ ; 我们还可以计算线性空间的维数, 若 $r ⩾ 1$ , 则 $dim_{K} K [X] = \infty$ , 与 $dim_{K} V < \infty$ 矛盾.

对于每个 $P_{i} (X)$ , 将它分解为不可约首一的多项式之积 $P_{i} (X) = p_{1} (X)^{d} \dots p_{n} (X)^{d_{n}}$ . 根据中国剩余定理, 我们有 $K [X] ╱ (P_{1} (X)) ≃ K [X] ╱ (p_{1} (X)^{d_{1}}) \times \dots \times K [X] ╱ (p_{n} (X)^{d_{n}}) .$ 这是环同构, 也可被视作 $K [X]$ -模之间的同构: $K [X] ╱ (P_{1} (X)) ≃ K [X] ╱ (p_{1} (X)^{d_{1}}) \oplus \dots \oplus K [X] ╱ (p_{n} (X)^{d_{n}}) .$ 这自然是 $K$ -线性空间之间的同构.

考虑一个因子 $f (X) = p_{i} (X)^{d_{i}}$ , 假设 $f (X) = X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0} .$ 那么, $K [X] ╱ (f (X))$ 作为线性空间的维数为 $n$ 并且 $1, X, \dots, X^{n - 1}$ 为一组基. 此时, 映射 $T$ 对应着 $T : K [X] ╱ (f (X)) \to K [X] ╱ (f (X)), Q (X) \mapsto XQ (X) .$ 从而, $T : 1 \mapsto X, X \mapsto X^{2}, \dots, X^{n - 2} \mapsto X^{n - 1}, X^{n - 1} \mapsto - a_{0} - a_{1} X \dots - a_{n - 1} X^{n - 1} .$ 这个分量对应的矩阵为 $⎝ ⎛ 0101 ⋱ 1 - a_{0} - a_{1} - a_{2} ⋮ - a_{n - 1} ⎠ ⎞$ 以上是所谓的 Frobenius 标准型.

如果 $K = C$ (或更一般地假设 $K$ 为代数封闭域) , 根据代数基本定理, $C [X]$ 中每个不可约多项式均形如 $X - λ$ , 其中, $λ \in C$ . 以上的分解就给出了如下的直和: $V ≃ 有限和 \prod C [X] ╱ ((X - λ)^{d}) .$ 我们现在研究 $T$ 在一个直和项上的作用: $T : C [X] ╱ ((X - λ)^{d}) \to C [X] ╱ ((X - λ)^{d}), Q (X) \mapsto X \cdot Q (X) .$ 此时, 我们选取 $1, X - λ, \dots, (X - λ)^{d - 1}$ 作为 $C$ -线性空间 $C [X] ╱ ((X - λ)^{d})$ 的基: 这 $d$ 个向量显然张成 $C [X] ╱ ((X - λ)^{d})$ ; 它们是线性无关的: 否则, 存在 $a_{0}, \dots, a_{d - 1}$ 使得在 $C [X] ╱ ((X - λ)^{d})$ 中 $a_{0} + a_{1} (X - λ) + \dots + c_{d - 1} (X - λ)^{d - 1} = 0,$ 即 $a_{0} + a_{1} (X - λ) + \dots + c_{d - 1} (X - λ)^{d - 1} \in ((X - λ)^{d}) .$ 所以, $(X - λ)^{d}$ 整除 $a_{0} + a_{1} (X - λ) + \dots + c_{d - 1} (X - λ)^{d - 1}$ . 通过观察次数, 我们得到 $a_{0} = \dots = a_{d - 1} = 0$ . 在这组基 ${e_{1} = 1, e_{2} = X - λ, \dots, e_{d} = (X - λ)^{d - 1}}$ 下, 此时, $T$ 的作用为 $X \cdot e_{1} = e_{2} + λ e_{1}, X \dots e_{2} = e_{3} + λ e_{2}, \dots, X \cdot e_{d} = λ e_{d} .$ 它对应的矩阵是 $⎝ ⎛ λ 1 λ 1 ⋱ λ 1 λ ⎠ ⎞$ 以上是所谓的 Jordan 标准型.

1.	^ 这里要求 $q ⩾ 2$ . 当 $q = 1$ 时, 命题显然成立.
2.	^ 请参考注记 3.5.15 中的证明

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4.5. 主理想整环上的有限生成模

有限生成模与 Noether 性

主理想整环上有限生成模的分类定理