Serre 对偶

Serre 对偶是代数几何以及复几何中的定理, 描述紧合光滑代数簇或紧 Kähler 流形的一对上同调群之间的对偶关系. 复几何中的 Serre 对偶可以看作 Poincaré 对偶对全纯向量丛的类比, 从中也能得到 Dolbeault 上同调的关系 (推论 1.3):$$H^{p,q}(X)\simeq H^{n-p,n-q}(X{)}^{\vee }.$$

Serre 对偶可以推广至一般情形 (例如对更一般的概形间映射), 且在许多范畴中也有类似于 Serre 对偶的现象, 即 Serre 函子.

1定理陈述

定理 1.1 (Serre 对偶, 代数几何版本). 设 $X$ 是域 $\mathbb{k}$ 上 $n$ 维紧合光滑代数簇, ${\omega }_X={\Omega }_X^n$ 为 $n$ 阶微分形式层, 称为对偶层. 则有自然同构$${\mathrm{tr}}_X:H^n(X,{\omega }_X)\simeq \mathbb{k},$$称为迹映射. 设 $\mathcal{E}$ 为有限秩局部自由层, 有完美配对 ($0\le k\le n$) $$H^k(X,\mathcal{E})\times H^{n-k}(X,{\mathcal{E}}^{\vee }\otimes {\omega }_X)\to H^n(X,{\omega }_X)\simeq \mathbb{k}.$$如使用导出范畴的语言, 可以将命题等价地陈述为: $$R\Gamma (X,\mathcal{E})\times R\Gamma (X,{\mathcal{E}}^{\vee }\otimes {\omega }_X)[n]\to \mathbb{k}$$是完美配对.

在复几何中也有类似定理:

定理 1.2 (Serre 对偶, 复几何版本). 设 $X$ 是复 $n$ 维紧复流形, ${\omega }_X={\Omega }_X^n$ 为 $n$ 次全纯微分形式, $\mathcal{E}$ 是 $X$ 上全纯向量丛, 则有完美配对$$H^k(X,\mathcal{E})\times H^{n-k}(X,{\mathcal{E}}^{\vee }\otimes {\omega }_X)\to H^n(X,{\omega }_X)\simeq \mathbb{C}.$$这里最后一个映射由$$\frac{1}{(2\pi \mathrm{i}{)}^n}{\int }_X:{\Omega }_X^{n,n}\to \mathbb{C}$$与 Dolbeault 定理诱导.

这里 $(2\pi \mathrm{i}{)}^n$ 即是所谓的周期, 除以它是为了让代数几何版本与复几何版本在 GAGA 下相容.

特别地, 这意味着紧复流形的 Dolbeault 上同调具有类似 Poincaré 对偶的性质:

推论 1.3. 设 $X$ 是复 $n$ 维紧复流形, $\mathcal{E}$ 是 $X$ 上全纯向量丛. 则有 Dolbeault 上同调的完美配对$$H^{p,q}(X,\mathcal{E})\times H^{n-p,n-q}(X,\mathcal{E})\to \mathbb{C}.$$特别地, 令 $\mathcal{E}={\mathcal{O}}_X$, 就得到完美配对$$H^{p,q}(X)\times H^{n-p,n-q}(X)\to \mathbb{C}.$$

证明. 由 Dolbeault 定理, 只需对 $\mathcal{E}\otimes {\Omega }^p$ 使用定理 1.2 即可.

$\square$

2证明

代数几何情形

(...)

复几何情形

(...)

3推广

凝聚对偶

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对一般的概形间映射也有类似的对偶关系.

定理 3.1 (凝聚对偶). 设 $X\to Y$ 是有限维 Noether 概形间的紧合态射, 存在函子 $f^{!}$, 满足$$R{f}_{\ast }R{\mathcal{H}om}_X(\mathcal{F},f^{!}\mathcal{G})\simeq R{\mathcal{H}om}_Y(R{f}_{\ast }\mathcal{F},\mathcal{G})$$对满足一定有限性条件的凝聚层构成的复形 $\mathcal{F},\mathcal{G}$ 成立.

特别地, 当 $Y$ 为 $\mathrm{Spec}(k)$, $X$ 为 $k$ 上光滑紧合代数簇时则化归至上述 Serre 对偶.

Serre 函子

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在许多范畴中均有类似于 Serre 对偶的现象, 可总结为如下的 Serre 函子:

定义 3.2. 设 $\mathcal{C}$ 是有限维 $k$-线性空间充实范畴, 函子 $S:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 称为 Serre 函子, 如它是范畴等价, 且对任意的 $X,Y\in \mathcal{C}$, 有 (函子性的) 完美配对$$\mathcal{C}(X,Y)\times \mathcal{C}(Y,SX)\to k.$$

例如, 当 $X$ 为 $k$ 上紧合光滑簇时, 取 $\mathcal{C}={\mathcal{D}}^b\mathsf{Coh}(X)$, $S=(-)\otimes {\omega }_X[n]$ 则化为原来的 Serre 对偶.

4相关概念

•	凝聚对偶
•	Verdier 对偶
•	Serre 函子

术语翻译

Serre 对偶 • 英文 Serre duality • 德文 Serre-Dualität • 法文 dualité de Serre