13.7. 特化和余特化映射

这里我们给这些映射一个简要介绍和构造. 参考 Tag 0GJ2, Tag 0GJM 和 Tag 0GJT.

定义 13.7.0.1 (局部零调). 设 $f:X\to S$ 是概形映射, 取几何点 $\bar{x}\to X$ 和 $\bar{s}=f(\bar{x})$. 取几何点 $\bar{t}\to \mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{S,\bar{s}}^{\mathrm{sh}}$, 我们有交换图:我们称 $F_{\bar{x},\bar{t}}$ 是 $f$ 在 $\bar{x}$ 的 vanishing cycle. 取 $K\in D(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 根据定理 6.5.0.2 得到 $K_{\bar{x}}=R\Gamma (\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{X,\bar{x}}^{\mathrm{sh}},K)$, 故得到映射$${\alpha }_{K,\bar{x},\bar{t}}:K_{\bar{x}}\to R\Gamma (F_{\bar{x},\bar{t}},K).$$我们称 $f$ 在 $\bar{x}$ 关于 $K$ 局部零调, 如果 ${\alpha }_{K,\bar{x},\bar{t}}$ 是同构.

定义 13.7.0.2. 设 $f:X\to S$ 是概形映射, 取几何点 $\bar{x}\to X$ 和 $\bar{s}=f(\bar{x})$. 取几何点 $\bar{t}\to \mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{S,\bar{s}}^{\mathrm{sh}}$ 和 $K\in D^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$. 假设 $f$ 关于 $K$ 局部零调. 考虑伴随性给出 ${\beta }_{K,\bar{s},\bar{t}}:p^{-1}K\to R{h}_{\ast }(q^{-1}K)$. 可以证明此时 $i^{-1}{\beta }_{K,\bar{s},\bar{t}}$ 是同构 (见 Tag 0GJU), 故我们有余特化映射$$\begin{array}{rl}\mathrm{cosp}:R\Gamma (X_{\bar{t}},q^{-1}K)& =R\Gamma (X{\times }_S\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{S,\bar{s}}^{\mathrm{sh}},R{h}_{\ast }(q^{-1}K))\\ & \stackrel{i^{-1}}{⟶}R\Gamma (X_{\bar{s}},i^{-1}R{h}_{\ast }(q^{-1}K))\\ & \stackrel{(i^{-1}{\beta }_{K,\bar{s},\bar{t}}{)}^{-1}}{⟶}R\Gamma (X_{\bar{s}},i^{-1}{p}^{-1}K)\\ & =R\Gamma (X_{\bar{s}},r^{-1}K).\end{array}$$

定义 13.7.0.3. 取几何点 $\bar{s}=f(\bar{x})$ 和 $\bar{t}\to \mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{S,\bar{s}}^{\mathrm{sh}}$, 取 $K\in D^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$. 则显然可以诱导特化映射 $\mathrm{sp}:K_{\bar{s}}\to K_{\bar{t}}$.

命题 13.7.0.4. 设 $f:X\to S$ 是概形映射, 取几何点 $\bar{x}\to X$ 和 $\bar{s}=f(\bar{x})$. 取几何点 $\bar{t}\to \mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{S,\bar{s}}^{\mathrm{sh}}$ 和 $K\in D^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$. 假设 $f$ 关于 $K$ 局部零调且拟紧拟分离.

(i) 有交换图

(ii) 若 $f$ 紧合且 $K\in D_{\mathrm{tor}}^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 则上图映射 $\mathrm{sp}$ 和 $\mathrm{cosp}$ 皆为同构.

证明. 证明见 Tag 0GJT.

$\square$

注 13.7.0.5. 命题 25.2.0.2 证明了光滑情况下用光滑基变换得到局部零调性, 于是紧合且光滑会得到特化和余特化同构, 这个会用到证明定理 13.6.0.1. 当然这里有循环论证嫌疑 (因为很多都是从局部零调证明光滑基变换的), 但 [26] 未使用局部零调来证明光滑基变换, 因此不存在这个嫌疑. 这个侧面得到局部零调和光滑基变换的等价性, 直接证明都十分困难.