13.3. 紧合基变换的应用

命题 13.3.0.1 (相对上同调维数). 若紧合概形映射 $f:X\to Y$ 满足纤维维数 $\le n$, 则对所有挠层 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 都有当 $q>2n$ 时 $R^q{f}_{\ast }\mathcal{F}=0$.

证明. 当 $n=0$ 时, 因为紧合且拟有限, 则 $f$ 有限, 故命题由推论 8.0.6 得到.

当 $n>0$ 时, 只需要证明茎为零即可. 对几何点映射运用紧合基变换 13.2.0.4 和上同调维数的结果 12.0.3 即可得到结论.

$\square$

引理 13.3.0.2. 设概形 $X$ 拟紧拟分离, 设 $\mathcal{E}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 且 $A\in \mathrm{AbGrps}$, 则$$R\Gamma (X,\mathcal{E}{\otimes }_{\mathbb{Z}}^{\mathbb{L}}\underline{A})=R\Gamma (X,\mathcal{E}){\otimes }_{\mathbb{Z}}^{\mathbb{L}}A.$$

证明. 更一般的情况考虑 Tag 0F0E. 参照上述 Tag 里的证明, 可以不妨设 $A$ 是平坦 $\mathbb{Z}$-模. 因此只需证明当 $A$ 是平坦 $\mathbb{Z}$-模时有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(X,\mathcal{E}{\otimes }_{\mathbb{Z}}^{\mathbb{L}}\underline{A})=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(X,\mathcal{E}){\otimes }_{\mathbb{Z}}^{\mathbb{L}}A$. 根据一个有趣的代数结论, 即平坦模都可以写成有限自由模的滤余极限 (Lazard 定理, 参考 Tag 058G), 故而不妨设 $A$ 是有限自由 $\mathbb{Z}$-模, 而此时结论显然成立.

$\square$

命题 13.3.0.3. 假设 $f:X\to Y$ 紧合, 对任何挠层 $\mathcal{E}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 和层 $\mathcal{G}\in \mathrm{Ab}(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ (对 $D^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 内挠上同调的 $\mathcal{E}$ 和 $D^{+}(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 内的 $\mathcal{G}$ 也行), 我们有$$R{f}_{\ast }\mathcal{E}{\otimes }_{\mathbb{Z}}^{\mathbb{L}}\mathcal{G}=R{f}_{\ast }(\mathcal{E}{\otimes }_{\mathbb{Z}}^{\mathbb{L}}{f}^{-1}\mathcal{G}).$$

证明. 更一般的情况考虑 Tag 0F0F. 映射不难由伴随性给出, 因此只需要在茎上验证. 首先注意到$$(\mathcal{E}{\otimes }_{\mathbb{Z}}^{\mathbb{L}}{f}^{-1}\mathcal{G}){\otimes }_{\mathbb{Z}}^{\mathbb{L}}\mathbb{Q}=(\mathcal{E}{\otimes }_{\mathbb{Z}}^{\mathbb{L}}\mathbb{Q}){\otimes }_{\mathbb{Q}}^{\mathbb{L}}(f^{-1}\mathcal{G}{\otimes }_{\mathbb{Z}}^{\mathbb{L}}\mathbb{Q})=0,$$则满足紧合基变换的条件, 因此运用定理 13.2.0.4 和引理 13.3.0.2 即可.

$\square$

注 13.3.0.4. 对挠环 $\Lambda$ 和 $\mathcal{E}\in D(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 和 $\mathcal{G}\in D(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 也对, 参考 Tag 0F0G.