Huber 环

Huber 环是 $p$ 进几何中的概念, 它是 “带有 $p$ 进拓扑的环” 这一直观的具体实现: 形式幂级数环 ${\mathbb{Z}}_p[[T]]$ 和 Tate 代数 ${\mathbb{Q}}_p⟨T⟩$ 都是它的特例. 以此为基础, 可以定义进制空间的概念, 它是 $p$ 进几何中较为方便的空间模型.

1定义

定义 1.1 (Huber 环). Huber 环是拓扑环 $A$, 使得存在 $A$ 的开子环 $A_0$ 和 $A_0$ 的理想 $I$, 满足 $A_0$ 的子空间拓扑与 $I$ 进拓扑相同. 此时称 $A_0$ 为 $A$ 的定义环.

定义 1.2 (Huber 对). Huber 对是二元组 $(A,A^{+})$, 其中 $A$ 是 Huber 环, $A^{+}$ 是它的开子环, 且在 $A$ 中整闭.

定义 1.3 (态射).

•	Huber 环之间的态射指连续环同态.
•	Huber 对 $(A,A^{+})$, $(B,B^{+})$ 之间的态射指连续环同态 $f:A\to B$, 满足 $f(A^{+})\subset B^{+}$.

2例子

•	如环 $A$ 的拓扑为它的某个理想 $I$ 的 $I$ 进拓扑, 则它是 Huber 环: 取 $A_0=A$ 即可. 此时 $(A,A)$ 是 Huber 对. 由此, ${\mathbb{Z}}_p[[T]]$, $A_{\text{inf}}$ 等都是 Huber 环.

•	Tate 代数 $A={\mathbb{Q}}_p⟨T_1,\cdots ,T_n⟩$ 是 Huber 环: 可以取 $A_0={\mathbb{Z}}_p⟨T_1,\cdots ,T_n⟩$, $I=(p)$. 仿射胚代数在类似的构造下也是 Huber 环. 事实上, 由于 $p$ 在 $A$ 中是拓扑幂零可逆元, 此 Huber 环是 Tate 环.

3性质

4相关概念

术语翻译

Huber 环 • 英文 Huber ring • 法文 anneau de Huber