长度 (模论)

模论中, 模的长度指的是其合成列的长度. 这是模论中最基本的一个数值不变量.

以下只对左模陈述定义与性质. 右模的情形当然完全一样.

1定义

定义 1.1. $R$ 是环, $M$ 是左 $R$-模. 称 $M$ 有限长, 指它有合成列, 即存在链$$0=M_0\subset M_1\subset \cdots \subset M_n=M,$$使得对 $i=1,\dots ,n$, $M_i/M_{i-1}$ 为单模. 由 Jordan–Hölder 定理, 这个自然数 $n$ 只依赖于 $M$, 而不依赖于以上模链的选取. 将其称为 $M$ 的长度, 记作 $\ell (M)$ 或 ${\ell }_R(M)$. 当 $M$ 不是有限长时, 称其长度为无穷.

2性质

一般性质

命题 2.1. 对环 $R$ 及其左模短正合列$$0\to N\to M\to Q\to 0,$$$M$ 有限长当且仅当 $N$ 和 $Q$ 都有限长, 且有$$\ell (M)=\ell (N)+\ell (Q).$$

证明. 如 $M$ 有限长, 取其合成列, 将各项与 $N$ 取交, 再删去重复的项, 就会得到 $N$ 的合成列; 同样地, 取各项在 $Q$ 中的像, 再删去重复的项, 就会得到 $Q$ 的合成列. 所以如 $M$ 有限长, 就有 $N$ 和 $Q$ 都有限长.

反过来如 $N$ 和 $Q$ 都有限长, 把 $Q$ 的合成列在 $M$ 中取原像, 再与 $N$ 的合成列相接, 就会得到 $M$ 的合成列. 于是有 $M$ 有限长, 且 $\ell (M)=\ell (N)+\ell (Q)$.

$\square$

命题 2.2. 对环 $R$ 及其左模 $M$, 以下几条等价:

1.	$M$ 为有限长.
2.	$M$ 为 Artin 且 Noether.
3.	$M$ 为 Artin 且有限生成.

此时 $R/\mathrm{Ann}(M)$ 为左 Artin 环.

证明. 以下在 3 推 1 的过程中证明 $R/\mathrm{Ann}(M)$ 左 Artin.

1 推 2	如 $M$ 有限长, 则其任一子模族中长度最小、最大者显然就是族的极小、极大元, 所以 $M$ 为 Artin 且 Noether.
2 推 3	这是因为 Noether 模都有限生成.
3 推 1	商去 $\mathrm{Ann}(M)$ 不改变任何事情, 故可不妨设 $\mathrm{Ann}(M)=0$. 取 $M$ 的生成元 $m_1,\dots ,m_n$, 则映射$$(m_1,\dots ,m_n):R\to M^n$$为单射. 所以 $R$ 作为自己的左模 Artin, 即其为左 Artin 环. 于是由 Hopkins–Levitzki 定理知 $R$ 作为自己的左模有限长. 这样由 $R^n\twoheadrightarrow M$ 知 $M$ 为有限长.

$\square$

命题 2.3. 设 $R$ 是环, $M$ 是有限长左 $R$-模, $f:M\to M$ 是自同态. 则存在唯一 $f$-不变直和分解 $M=N\oplus Q$, 使得 $f:N\to N$ 为幂零, $f:Q\to Q$ 为同构. 特别地, $$f是单射⟺f是满射⟺f是同构⟺N=0.$$

证明. 由命题 2.2, 子模链$$0\subset \ker (f)\subset \ker (f^2)\subset \cdots$$与$$M\supset \mathrm{im}(f)\supset \mathrm{im}(f^2)\supset \cdots$$均终止. 取 $n\in \mathbb{N}$ 使其终止于 $\ker (f^n)$, $\mathrm{im}(f^n)$. 记此二模为 $N,Q$, 下证其满足要求.

首先对 $f^n$ 用同构定理知 $Q\cong M/N$, 于是 $\ell (N)+\ell (Q)=\ell (M)$. 显然 $N,Q$ 皆为 $f$ 不变, 且 $f$ 在 $N$ 上幂零. 由 $f(Q)=f(\mathrm{im}(f^n))=\mathrm{im}(f^{n+1})=Q$ 知 $f$ 在 $Q$ 上是满射. 于是 $N\cap Q=0$, 从而由长度等式知 $M=N\oplus Q$. 最后由 $\ker (f)\subseteq N$ 知 $f$ 在 $Q$ 上是同构.

$\square$

交换代数性质

本小节中的环都是交换环.

命题 2.4. 对 Noether 环 $A$ 及其有限生成模 $M$, 以下几条等价:

1.	$M$ 为有限长.
2.	$M$ 的支集 $\mathrm{Supp}(M)$ 只有极大理想.
3.	$M$ 的结合素理想 $\mathrm{Ass}(M)$ 只有极大理想.

特别地, 如 $A$ 是局部环, 极大理想为 $\mathfrak{m}$, 则$$\ell (M)<\infty ⟺\mathrm{Supp}(M)=\{\mathfrak{m}\}⟺\mathrm{Ass}(M)=\{\mathfrak{m}\}.$$

证明. 首先由结合素理想包含支集中所有极小元, 知 2 与 3 等价.

1 推 2	由于对短正合列$$0\to N\to M\to Q\to 0$$有 $\mathrm{Supp}(M)=\mathrm{Supp}(N)\cup \mathrm{Supp}(Q)$, 将 $M$ 按合成列拆成单模, 只需对单模证. 而单模都形如 $A/\mathfrak{m}$, $\mathfrak{m}$ 为极大理想, 其支集为 $\{\mathfrak{m}\}$, 当然只有极大理想.
2 推 1	由结合素理想的理论, $M$ 有滤链$$0=M_0\subset M_1\subset \cdots \subset M_n=M$$满足 $M_i/M_{i-1}=A/{\mathfrak{p}}_i$, ${\mathfrak{p}}_i$ 为素理想. 由 $M$ 的支集中只有极大理想, 知这些 ${\mathfrak{p}}_i$ 都是极大理想. 于是 $M_i/M_{i-1}$ 都是单模, 以上滤链为合成列, 故 $M$ 有限长.

$\square$

于是 Noether 环上的非零模有限长当且仅当其 Krull 维数是 $0$.

3例子

•	除环上的模是自由模, 长度就是其秩.
•	取定域 $k$. 其上一元多项式环 $k[X]$ 的模 $k[X]/X^n$ 的长度是 $n$.
•	一般地, 对主理想整环 $A$ 及其元素 $a$, $A/a$ 的长度是 $a$ 的素因子个数 (计重数).

4相关概念

•	Artin 模
•	Noether 模
•	Hilbert 多项式

术语翻译

长度 • 英文 length • 德文 Länge (f) • 法文 longueur (f) • 拉丁文 longitudo (f) • 古希腊文 μῆκος (n)