自由模

自由模是各生成元没有约束条件的模.

1定义

定义 1.1 (自由模). 对集合 $S$ 和环 $A$, 由 $S$ 生成的自由 $\mathbf{A}$-左模是直和$$A^{\oplus S}=\underset{i\in S}{⨁}A,$$这里将 $A$ 视为自身上的左模. $A$-左模 $M$ 称为自由 $\mathbf{A}$-左模, 如果存在集合 $S$ 使得 $M$ 同构于 $S$ 生成的自由 $A$-左模.

类似地, 可定义自由 $A$-右模. 当 $A$ 为交换环时, 两种概念相同, 称为自由 $A$-模.

定义 1.2 (秩). 上述定义中, $S$ 的势称为 $M$ 的秩.

2性质

命题 2.1 (秩的良定性). 对性质较好的环 (例如交换环, 除环, 有限环, 域上有限维代数), 其上自由模 $M$ 的秩是唯一的. 这样的环称为不变基数环.

命题 2.2 (万有性). 函子 $X\mapsto A^{\oplus X}$ 是 $A$-模范畴到集合范畴的遗忘函子的左伴随函子. 对集合 $S$ 和 $A$-模 $M$, 存在同构$$A\text{-}\mathsf{Mod}(A^{\oplus S},M)\simeq \mathsf{Set}(S,M).$$这是自由–遗忘伴随的一个例子.

命题 2.3 (同调性质). 自由模是投射模, 也是平坦模.

3例子

•	$A$ 本身是其上自由模.

4相关概念

术语翻译

自由模 • 英文 free module • 德文 freier Modul • 法文 module libre • 拉丁文 modulus liber • 古希腊文 ἐλεύθερον πρότυπον