合成列

在群论以及更一般的抽象代数中, 合成列可用于将数学对象拆分为更简单的成分 (例如单群) .

1定义

定义 1.1 (群的合成列). 令 $G$ 是一个群, 则 $G$ 的一个合成列意谓以下资料:

•	一个有限长的子群列$$G=G_0⊋G_1⊋G_2⊋...⊋G_n=\left\{e\right\}$$
•	以下命题成立 1. $\forall 0\le i\le n-1$, $G_{i+1}$ 均是 $G_i$ 的正规子群 2. 诸商群 $G_i/G_{i+1},i\in \mathbb{N}$ 均是单群

2例子

例 2.1. 令 $G=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}=\left\{[0],[1],[2],[3],[4],[5]\right\}$, 则$$\left\{[0],[1],[2],[3],[4],[5]\right\}⊋\left\{[0],[3]\right\}⊋\left\{[0]\right\}$$是一个合成列. 容易验证其中的商群 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 与 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 都是单群.

例 2.2. 容易观察到, 整数群 $\mathbb{Z}$ 不存在合成列. (提示: $\mathbb{Z}$ 的子群均形如 $d\mathbb{Z}$, 其中 $d\in \mathbb{N}$. )

3性质

基本性质

命题 3.1. 有限群均存在合成列.

4相关概念

•	Jordan–Holder 定理
•	可解群

术语翻译

合成列 • 英文 composition series