Alexander 亚基定理

Alexander 亚基定理是个点集拓扑定理, 用拓扑空间的亚基直接判别其紧性. 它可以用来证明 Tikhonov 定理.

1陈述与证明

定理 1.1. 设 $X$ 是拓扑空间, $B$ 是其亚基. 如果任意由 $B$ 中开集组成的 $X$ 的开覆盖都有有限子覆盖, 则 $X$ 是紧空间.

证明. 用反证法. 设

X

不紧,

X = ⋃_{i \in I} U_{i}

是其开覆盖, 没有有限子覆盖. 用 Zorn 引理可不妨设它是这样的开覆盖中极大者. 换言之, 如果

X

的开子集

V

和各

U_{i}

不同, 则开覆盖

X = V \cup ⋃_{i \in I} U_{i}

有有限子覆盖. 记

I^{'} = {i \in I ∣ U_{i} \in B},

则由条件

⋃_{i \in I^{'}} U_{i} \neq = X

, 否则就会得到有限子覆盖. 取

x \in X

,

x \in / ⋃_{i \in I^{'}} U_{i}

. 取

i \in I

,

x \in U_{i}

. 由

B

是亚基, 可取

V_{1}, \dots, V_{n} \in B

使得

x \in ⋂_{j = 1}^{n} V_{j} \subseteq U_{i}

. 由

x

的取法,

V_{1}, \dots, V_{n}

都不出现在

{U_{i}}_{i \in I}

中, 于是由前述极大性, 开覆盖

X = ⋃_{i \in I} U_{i}

在加入各

V_{j}

之后都会出现有限子覆盖. 设

X = V_{j} \cup U_{i (j, 1)} \cup \dots \cup U_{i (j, n_{j})}

, 则由

⋂_{j = 1}^{n} V_{j} \subseteq U_{i}

知

X = U_{i} \cup j, k ⋃ U_{i (j, k)},

与

X = ⋃_{i \in I} U_{i}

没有有限子覆盖矛盾! 定理得证.

$□$

•	拓扑基
•	Tikhonov 定理

术语翻译

Alexander 亚基定理 • 英文 Alexander subbase theorem • 德文 Satz von Alexander • 法文 théorème d’Alexander