开覆盖

拓扑学中, 开覆盖指拓扑空间的一族开子集, 其并集是全空间.

层论中使用拓扑空间时其实只使用开覆盖的信息; 故作为拓扑空间概念的抽象, Grothendieck 拓扑保留开覆盖而放弃了所有其它结构.

1定义

定义 1.1. 设 $X$ 是拓扑空间. $X$ 的开覆盖指其开子集族 $\mathcal{U}=\{U_i\subseteq X{\}}_{i\in I}$, 其中 $I$ 是集合, 满足$$X=\bigcup _{i\in I}{U}_i.$$

定义 1.2 (子覆盖、加细). 设 $\mathcal{U}=\{U_i\subseteq X{\}}_{i\in I}$ 为开覆盖.

•	如子集 $J\subseteq I$ 给出的子族 $\{U_i\subseteq X{\}}_{i\in J}$ 仍是开覆盖, 即$$X=\bigcup _{i\in J}{U}_i,$$则称 $\{U_i\subseteq X{\}}_{i\in J}$ 为 $\mathcal{U}$ 的子覆盖.
•	如开覆盖 $\mathcal{V}=\{V_j\subseteq X{\}}_{j\in J}$ 和映射 $\phi :J\to I$ 满足对任意 $j\in J$, $V_j\subseteq U_{\phi (j)}$, 则称 $(\mathcal{V},\phi )$ 为 $\mathcal{U}$ 的加细, 也称 $\mathcal{V}$ 加细 $\mathcal{U}$.

显然, 子覆盖都是加细.

定义 1.3 (有限性). 设 $\mathcal{U}=\{U_i\subseteq X{\}}_{i\in I}$ 为开覆盖.

•	称 $\mathcal{U}$ 有限、可数, 分别指 $\mathcal{U}$ 有限、至多可数, 当然也就是 $I$ 有限、至多可数.
•	称 $\mathcal{U}$ 局部有限, 指对任意 $x\in X$, 存在开集 $U\ni x$, 使得$$\{i\in I\mid U\cap U_i\ne \varnothing \}$$有限, 即 $\mathcal{U}$ 中只有有限个开集与 $U$ 交集非空.

术语翻译

开覆盖 • 英文 open cover

子覆盖 • 英文 subcover

加细 (名词) • 英文 refinement

加细 (动词) • 英文 refine