Artin L 函数

Artin $\mathbf{L}$ 函数是一类 $L$ 函数, 给出了 Galois 群 $G$ 上线性表示的信息. 通过类域论, 它与 Hecke $L$ 函数密切联系.

1定义

定义 1.1. 给定数域的 Galois 扩张 $L/K$, Galois 群为 $G$, $(\rho ,V)$ 是 $G$ 的一个复线性表示, 定义 Artin $L$ 函数为$$L(s,\rho ,L/K)=\prod _{\mathfrak{p}\subset {\mathcal{O}}_K}\frac{1}{\det \left(I-N(\mathfrak{p}{)}^{-s}\rho ({\mathrm{Frob}}_{\mathfrak{P}})\mid V^{I_{\mathfrak{P}}}\right)}.$$其中求积跑遍 $K$ 中的素理想, $N(\mathfrak{p})$ 是理想范, $\mathfrak{P}$ 是 $\mathfrak{p}$ 上的任一素理想, 而 $V^{I_{\mathfrak{P}}}$ 是 $V$ 中被惯性群 $I_{\mathfrak{P}}$ 固定的元素.

注 1.2. 注意当 $\rho$ 是平凡表示时, $$L(s,\rho ,L/K)={\zeta }_K(s)$$是 Dedekind $\zeta$ 函数. 这也给出了它们之间的关系: $${\zeta }_L(s)={\zeta }_K(s)\prod _{1\ne \rho \in \mathrm{Irr}(G)}L(s,\rho ,L/K).$$

2性质

通过 Brauer 定理, 我们可以把对一般 Artin $L$ 函数的研究转为 Abel 扩张上的 Artin $L$ 函数的研究.

通过 Artin 互反律:$$\begin{array}{rl}{K}^{\times }\backslash {\mathbb{I}}_K/N_{L/K}({\mathbb{I}}_L)& \to \mathrm{Gal}(L/K)\\ [\mathfrak{p}]& \mapsto {\mathrm{Frob}}_{\mathfrak{p}}\end{array}$$我们可以把 Abel 扩张意义下的 Artin $L$ 函数的研究转为对 Hecke $L$ 函数的研究.

而 Hecke $L$ 函数的性质是较为明朗的.

解析延拓与函数方程

记号. 我们记:

•	取局部 Artin $L$ 因子为$$L_v(s,\rho ,L/K)={\Gamma }_{\mathbb{C}}(s{)}^{\dim \rho },K_v=\mathbb{C}$$与$$L_v(s,\rho ,L/K)={\Gamma }_{\mathbb{R}}(s{)}^{n_{+}}{\Gamma }_{\mathbb{R}}(s+1{)}^{n_{-}},K_v=\mathbb{R},$$其中 $n_{+}$ 与 $n_{-}$ 分别是复共轭 (如果存在的话) 的 $1$-特征空间与 $(-1)$-特征空间的维数.
•	取 ${\mathfrak{f}}_{\rho }$ 为表示 $\rho$ 的 Artin 导子.
•	取 Artin $L$ 函数的完备化为$$\Lambda (s,\rho ,L/K)=|{\Delta }_{K/\mathbb{Q}}{|}^{\frac{s}{2}\cdot \dim \rho }N({\mathfrak{f}}_{\rho }{)}^{\frac{s}{2}}\prod _{v\in K_{\infty }}{L}_v(s,\rho ,L/K)L(s,\rho ,L/K).$$

定理 2.1. 对于 $G$ 的任一表示 $\rho$, $\Lambda (s,\rho ,L/K)$ 延拓成 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数, 并且满足函数方程$$\Lambda (s,\rho ,L/K)=W(\rho )\Lambda (s,{\rho }^{\vee },L/K),$$其中 $|W(\rho )|=1$ 为常数.

零点与极点

函子性

定理 2.2. 设 $K\subseteq M\subseteq L$ 是数域, $L/K$ 为 Galois 扩张, $G=\mathrm{Gal}(L/K)$, $H=\mathrm{Gal}(L/M)$.

•	如 $\rho ,{\rho }^{\prime }$ 是 $G$ 的复表示, 则$$L(s,\rho \oplus {\rho }^{\prime },L/K)=L(s,\rho ,L/K)L(s,{\rho }^{\prime },L/K).$$
•	设 $M/K$ 也是 Galois 扩张, 即 $H⊴G$. 如 $\rho$ 是 $G/H$ 的复表示, 也以 $\rho$ 记该表示复合商映射 $G\to G/H$, 则$$L(s,\rho ,L/K)=L(s,\rho ,M/K).$$
•	设 $\pi$ 是 $H$ 的复表示, 则$$L(s,{\mathrm{Ind}}_H^G\pi ,L/K)=L(s,\pi ,L/M).$$

注 2.3. 由定理 2.2, 对于数域 $K$, 可对其绝对 Galois 群 $G_K$ 的连续复表示 $\rho$ 定义 Artin $L$ 函数 $L(s,\rho )$: 由连续性, $\rho$ 必然定义在某个 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 上; 定理 2.2 保证了 $L(s,\rho ,L/K)$ 与 $L$ 无关. 此外对数域 $F\subseteq K$, 由定理 2.2 知 $L(s,{\mathrm{Ind}}_{G_K}^{G_F}\rho )=L(s,\rho )$.

3应用

Chebotarev 密度定理

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4例子

5相关概念

•	Hecke $L$ 函数
•	自守 $L$ 函数
•	类域论
•	Langlands 纲领

术语翻译

Artin $L$ 函数 • 英文 Artin $L$-function • 法文 fonction $L$ d’Artin