Atiyah–Singer 指标定理

Atiyah–Singer 指标定理是说, 对紧流形上向量丛上的椭圆微分算子 $D$ 而言, 其以下两种指标相等:

•	解析指标: 即 $D$ 的核与余核维数之差.
•	拓扑指标: 由流形的某些 (与 $D$ 有关的) 示性类的积分给出.

以下的著名定理都可以看作 Atiyah–Singer 指标定理的特例:

•	Gauß–Bonnet 定理, 及其推广陈–Gauß–Bonnet 定理.
•	Riemann–Roch 定理, 及其推广 Hirzebruch–Riemann–Roch 定理.
•	Hirzebruch 符号差定理.

Atiyah–Singer 指标定理也可以从量子场论的角度来解释, 算子的指标可以视作流形环路空间上的一个路径积分. 这一观点也导致指标定理的一个基于热核的严格证明 [Berline–Getzler–Vergne 1992].

1陈述

对椭圆微分算子

定理 1.1 (Atiyah–Singer 指标定理). 设

•	$X$ 是紧定向光滑流形.
•	$E,F$ 是 $X$ 上的光滑向量丛.
•	$D:\Gamma (E)\to \Gamma (F)$ 是椭圆微分算子, 其中 $\Gamma (-)$ 表示光滑截面的空间.

则$$\mathrm{ind}(D)={\int }_X\mathrm{ch}(D)\mathrm{td}(X),$$其中

•	$\mathrm{ind}(D)=\dim \ker D-\dim \mathrm{coker}D$ 是 $D$ 的解析指标.
•	$\mathrm{ch}(D)$ 是某种陈特征.
•	$\mathrm{td}(X)$ 是 $X$ 的复化切丛的 Todd 类.

对 Dirac 算子

Dirac 算子的指标定理是椭圆微分算子的指标定理的特例.

定理 1.2 (Atiyah–Singer 指标定理). 设

•	$X$ 是 $2n$ 维紧定向光滑流形.
•	$E$ 是 $X$ 上的光滑复超向量丛, 带有 Hermite 度量.
•	$D:\Gamma (E)\to \Gamma (E)$ 是奇的自伴 Dirac 算子. 此时, 它能拆成两部分的和: $$D^{\pm }:\Gamma (E^{\pm })\to \Gamma (E^{\mp }),$$其中 $E^{\pm }$ 表示 $E$ 的奇偶部分, 并且 $D^{-}$ 是 $D^{+}$ 的伴随.

则$$\mathrm{ind}(D)=\frac{1}{(2\pi \mathrm{i}{)}^n}{\int }_X\hat{A}(X)\mathrm{ch}(E/S),$$其中

•	$\mathrm{ind}(D)=\dim \ker D^{+}-\dim \ker D^{-}$ 是 $D$ 的指标.
•	$\hat{A}(X)$ 是 $X$ 的 $\hat{A}$ 类.
•	$\mathrm{ch}(E/S)$ 局部上定义为向量丛 $E/S$ 的陈特征, 其中 $S$ 是局部的旋量丛, 而 $E\simeq E/S\otimes S$.

2推论

(...)

3族指标定理

(...)

4与物理的联系

(...)

参考文献

Atiyah 与 Singer 在此文中最初发表了指标定理, 但未给出详细证明:

•	Michael F. Atiyah, Isadore M. Singer (1963). “The Index of Elliptic Operators on Compact Manifolds”. Bull. Amer. Math. Soc. 69 (3), 422–433. (doi) (zbMATH)

在以下一系列论文中, Atiyah、Segal、Singer 证明了指标定理, 并给出了各种变形:

•	Michael F. Atiyah, Isadore M. Singer (1968). “The Index of Elliptic Operators I”. Ann. Math. 87 (3), 484–530. (doi) (zbMATH)

•	Michael F. Atiyah, Graeme B. Segal (1968). “The Index of Elliptic Operators II”. Ann. Math. 87 (3), 531–545. (doi) (zbMATH)

•	Michael F. Atiyah, Isadore M. Singer (1968). “The Index of Elliptic Operators III”. Ann. Math. 87 (3), 546–604. (doi) (zbMATH)

•	Michael F. Atiyah, Isadore M. Singer (1971). “The Index of Elliptic Operators IV”. Ann. Math. 93 (1), 119–138. (doi) (zbMATH)

•	Michael F. Atiyah, Isadore M. Singer (1971). “The Index of Elliptic Operators V”. Ann. Math. 93 (1), 139–149. (doi) (zbMATH)

Dirac 算子的指标定理可以通过量子场论来给出 (半严格的) 证明, 见:

•	Paul Windey (1984). “Supersymmetric quantum mechanics and the Atiyah–Singer index theorem”. Acta Phys. Pol. B15 (5), 435–451. (pdf)

这一想法可以通过热核来写成严格的证明, 见:

•	Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne (1992). Heat kernels and Dirac operators. Grundlehren Math. Wiss. 298. Springer. (zbMATH)

术语翻译

Atiyah–Singer 指标定理 • 英文 Atiyah–Singer index theorem • 德文 Atiyah-Singer-Indexsatz (m) • 法文 théorème de l’indice d’Atiyah-Singer (m)