陈特征

在代数拓扑中, 陈特征是对复向量丛定义的示性类, 通过陈类而定义. 陈特征与陈类的区别在于, 陈类满足 Whitney 乘积公式$$c(E\oplus F)=c(E)c(F),$$而陈特征 $\mathrm{ch}$ 则同时满足加性和乘性:$$\begin{array}{rl}\mathrm{ch}(E\oplus F)& =\mathrm{ch}(E)+\mathrm{ch}(F),\\ \mathrm{ch}(E\otimes F)& =\mathrm{ch}(E)\mathrm{ch}(F).\end{array}$$

1定义

定义 1.1 (陈特征). 设 $X$ 是仿紧空间, $E\to X$ 是复向量丛. 定义 $E$ 的陈特征$$\mathrm{ch}(E)\in \prod _{k=0}^{\infty }{H}^{2k}(X;\mathbb{Q})$$为$$\mathrm{ch}(E)=\mathrm{rank}(E)+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k!}\left|\begin{array}{ccccc}{c}_1& 1& 0& \cdots & 0\\ 2c_2& c_1& 1& \ddots & ⋮\\ 3c_3& c_2& c_1& \ddots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & 1\\ k{c}_k& c_{k-1}& \cdots & c_2& c_1\end{array}\right|,$$这里 $\mathrm{rank}(E)$ 是 $E$ 的秩, $c_i$ 代表 $c_i(E)$. 式中的行列式来自 Newton 恒等式: 若将 $c_i$ 视为第 $i$ 个初等对称多项式, 则该行列式 (不含系数 $1/k!$) 就是第 $k$ 个幂方和.

对 $k\ge 0$, 我们也记$${\mathrm{ch}}_k(E)\in H^{2k}(X;\mathbb{Q})$$为 $\mathrm{ch}(E)$ 中次数 $2k$ 的部分.

上述定义可以如下理解. 如果 $E$ 是 $n$ 个线丛的直和 $E\simeq L_1\oplus \cdots \oplus L_n$, 则 $E$ 的陈特征为$$\mathrm{ch}(E)={\mathrm{e}}^{c_1(L_1)}+\cdots +{\mathrm{e}}^{c_1(L_n)},$$这里指数的含义是形式幂级数. 对一般的 $E$, 我们可以由分裂原理及上述关系定义其陈特征, 得到的定义与定义 1.1 是相同的.

例如, 我们有$$\begin{array}{rl}{\mathrm{ch}}_0(E)& =\mathrm{rank}(E),\\ {\mathrm{ch}}_1(E)& =c_1(E),\\ {\mathrm{ch}}_2(E)& =\frac{1}{2}{c}_1(E{)}^2-c_2(E),\\ {\mathrm{ch}}_3(E)& =\frac{1}{6}{c}_1(E{)}^3-\frac{1}{2}{c}_1(E)c_2(E)+\frac{1}{2}{c}_3(E),\end{array}$$如此等等.

2性质

命题 2.1. 陈特征同时满足加性和乘性. 对仿紧空间 $X$ 和复向量丛 $E,F\to X$, 有$$\begin{array}{rl}\mathrm{ch}(E\oplus F)& =\mathrm{ch}(E)+\mathrm{ch}(F),\\ \mathrm{ch}(E\otimes F)& =\mathrm{ch}(E)\mathrm{ch}(F).\end{array}$$因此, 陈特征的定义可以延拓到 $X$ 的拓扑 $K$ 理论 $K(X)$ 上, 得到映射$$\mathrm{ch}:K(X)⟶H^{\bullet }(X;\mathbb{Q}),$$并且它是环同态.

证明. [Karoubi 1978, 定理 V.3.23、定义 V.3.24].

$\square$

命题 2.2. 若 $X$ 是紧空间, 则$$\mathrm{ch}:K(X)\otimes \mathbb{Q}⟶H^{2\bullet }(X;\mathbb{Q}),$$是同构, 这里 $H^{2\bullet }(X;\mathbb{Q})$ 指的是所有偶次上同调群的直积.

证明. [Karoubi 1978, 定理 V.3.25].

$\square$

3参考文献

以下教材的 V.3 节阐述了陈特征与 $K$ 理论的联系.

•	Max Karoubi (1978). $K$-theory. An introduction. Grundlehren Math. Wiss. 226. Springer-Verlag. (zbMATH)

4相关概念

术语翻译

陈特征 • 英文 Chern character