cd 结构

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

cd 结构是由 Vladimir Voevodsky 引入的一种范畴论结构. 被这种结构诱导的 Grothendieck 拓扑其层公理比较容易检验. “cd” 表示 “completely decomposable”, 即 “可完全分解”.

1定义

定义 1.1. 小范畴 $\mathcal{C}$ 上的 cd 结构是其一族方形交换图表. 严格地说, $\mathcal{C}$ 上的一个 cd 结构是一个满子范畴 $\chi \subseteq \mathsf{Fun}([1{]}^2,\mathcal{C})$.

定义 1.2. 设 $\chi$ 是范畴 $\mathcal{C}$ 上的 cd 结构. 则 $\mathbf{\chi }$ 诱导的 Grothendieck 拓扑, 记作 ${\tau }_{\chi }$, 指的是对 $\chi$ 中每个交换图表$$WVUX$$令 $(U\to X,V\to X)$ 为覆盖族, 生成的 Grothendieck 拓扑.

定义 1.3. 设 $\mathcal{C}$ 是小范畴, $\mathcal{D}$ 是完备范畴, $\chi$ 是 $\mathcal{C}$ 上的 cd 结构, $F:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{D}$ 是函子. 称 $F$ 满足 $\mathbf{\chi }$-切除, 意思是 $F$ 把 $\chi$ 中的图表都变成 $\mathcal{D}$ 中的拉回图表. 称 $F$ 满足 $\mathbf{\chi }$-下降, 意思是 $F$ 是 ${\tau }_{\chi }$-层.

注 1.4. 以下将会对小范畴 $\mathcal{C}$ 及其 cd 结构 $\chi$ 提如下条件:

1.	$\mathcal{C}$ 有所有的拉回且 $\chi$ 对拉回封闭. 这里指的是对任意$$Q=WVUX\in \chi$$及映射 $Y\to X$, 都有$$Q{\times }_{X}Y=W{\times }_{X}YV{\times }_{X}YU{\times }_{X}YY\in \chi .$$
2.	在 1 的基础上, $\chi$ 由拉回图表构成; 对任意$$Q=WVUX\in \chi ,$$存在整数 $n$ 使得 $U\to X$ 和 $V\to X$ 都是 $n$-截断映射, 而且$$WVW{\times }_{U}WV{\times }_{X}V{\Delta }_{W/U}{\Delta }_{V/X},WW{\times }_{V}WUU{\times }_{X}U{\Delta }_{W/V}{\Delta }_{U/X}\in \chi .$$

2性质

定理 2.1 (Voevodsky). 设 $\chi$ 是范畴 $\mathcal{C}$ 上的 cd 结构. 如它满足注 1.4.1, 则 $\chi$-切除推出 $\chi$-下降. 如它满足注 1.4.2, 则 $\chi$-切除与 $\chi$-下降等价.

证明. 对每个$$Q=WVUX\in \chi ,$$考虑预层范畴 $\mathsf{P}(\mathcal{C})$ 中的两个自然映射$$e_Q:h_U{\bigsqcup }_{h_W}{h}_V\to h_X,c_Q:\underset{n\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}}{\mathrm{colim}}(h_U\bigsqcup h_V{)}^{{\times }_{h_X}(n+1)}\to h_X,$$其中 $h_X$ 表示 Yoneda 预层. 记$$E_{\chi }=\{e_Q\mid Q\in \chi \},C_{\chi }=\{c_Q\mid Q\in \chi \},$$我们需要比较 $\mathsf{P}(\mathcal{C})$ 关于这两族映射的 Bousfield 局部化. 以 $\overline{E_{\chi }}$, $\overline{C_{\chi }}$ 记在相应的 Bousfield 局部化之后可逆的映射之族, 则它们分别包含 $E_{\chi }$, $C_{\chi }$ 且对余极限封闭. 考察交换图$$(h_U{\bigsqcup }_{h_W}{h}_V){\times }_{h_X}{\mathrm{colim}}_{n\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}}(h_U\bigsqcup h_V{)}^{{\times }_{h_X}(n+1)}{h}_U{\bigsqcup }_{h_W}{h}_V{\mathrm{colim}}_{n\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}}(h_U\bigsqcup h_V{)}^{{\times }_{h_X}(n+1)}{h}_X\sim f_Q{e}_Q{c}_Q$$注意上边的映射是同构, 因为它是映射 $h_U\bigsqcup h_V\to h_X$ 的 Čech 脉基变换到 $h_U$, $h_V$, $h_W$ 然后作推出, 而这三个基变换都有截面, Čech 脉都是同构. 故 $e_Q\in \overline{C_{\chi }}$ 当且仅当 $f_Q\in \overline{C_{\chi }}$, $c_Q\in \overline{E_{\chi }}$ 当且仅当 $f_Q\in \overline{E_{\chi }}$.

注意 $f_Q$ 是 $e_Q$ 沿着一些可表映射的基变换的余极限. 如 $\chi$ 满足注 1.4.1, 则这些基变换也都属于 $E_{\chi }$, 故 $f_Q\in \overline{E_{\chi }}$, 从而 $c_Q\in \overline{E_{\chi }}$.

设 $\chi$ 满足注 1.4.2. 我们来对整数 $n,m\ge -2$ 归纳证明, 若 $U\to X$ 为 $m$-截断, $V\to X$ 为 $n$-截断, 则 $e_Q\in \overline{C_{\chi }}$. 由前面的分析, 这等价于证明 $f_Q\in \overline{C_{\chi }}$. $m$ 或 $n$ 等于 $-2$ 时为显然, 因为此时 $e_Q$ 是同构. 现设它们大于 $-2$. 考察交换图$$WW{\times }_{V}WWUU{\times }_{X}UU{\Delta }_{W/V}{\mathrm{pr}}_1{\Delta }_{U/X}{\mathrm{pr}}_1$$注意其右方块就是 $Q$ 沿 $U\to X$ 的基变换 $Q_U$. 由条件, 左方块属于 $\chi$; 而映射 ${\Delta }_{U/X}$ 比映射 $U\to X$ 更截断, 故由归纳假设, 左方块的映射 $e$ 是同构. 换言之, 左方块在 Yoneda 嵌入并层化之后是推出方块, 而大方块在 Yoneda 嵌入之后显然是推出方块, 故右方块在 Yoneda 嵌入并层化之后也是推出方块, 即 $e_{Q_U}\in \overline{C_{\chi }}$. 同理 $e_{Q_V}\in \overline{C_{\chi }}$. 由于 $\chi$ 对基变换封闭, 我们可对上面的交换图沿任何映射 $Y\to U$ 基变换然后做同样的论证, 所以只要映射 $Y\to X$ 穿过 $U$ 或者 $V$, 就有 $e_{Q_Y}\in \overline{C_{\chi }}$. 而 $f_Q$ 正是这样一些 $e_{Q_Y}$ 的余极限, 故 $f_Q\in \overline{C_{\chi }}$, 从而 $e_Q\in \overline{C_{\chi }}$.

所以, 如 $\chi$ 满足注 1.4.1, 则 $\mathsf{P}(\mathcal{C})$ 关于 $C_{\chi }$ 的 Bousfield 局部化穿过其关于 $E_{\chi }$ 的 Bousfield 局部化; 如 $\chi$ 满足注 1.4.2, 则两个 Bousfield 局部化一样. 这显然推出定理, 因为预层 $F:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{D}$ 可视为连续函子 $F:\mathsf{P}(\mathcal{C}{)}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{D}$, 而依定义它满足 $\chi$-切除当且仅当它穿过 $\mathsf{P}(\mathcal{C})$ 关于 $E_{\chi }$ 的 Bousfield 局部化, 它满足 $\chi$-下降当且仅当它穿过 $\mathsf{P}(\mathcal{C})$ 关于 $C_{\chi }$ 的 Bousfield 局部化.

$\square$

3相关概念

•	Nisnevich 拓扑
•	cdh 拓扑

术语翻译

cd 结构 • 英文 cd-structure

切除 • 英文 excision

下降 • 英文 descent