Čech 脉

Čech 脉是范畴论中的一种构造. 其想法来自于几何学中, 为计算空间的上同调, 可以将空间用一些较简单的开集来覆盖, 使得上同调在这些开集上是便于计算的, 再通过研究这些开集两两之交、每三个之交, 等等, 它们各自的上同调及其间的关系, 来最终还原出, 或者说粘出, 原空间的上同调. 这一技术称为 Čech 上同调.

而上述例子只是一般的 $(\infty ,1)$-范畴中粘合问题的一个特例. 事实上, 上同调理论也是人们最早接触这类问题的例子. 上述方法实际上适用于更一般的问题, 即给定空间上的某个 $(\infty ,1)$-层, 如果已知空间的某个开覆盖上该 $(\infty ,1)$-层的取值, 我们想由此得出整个空间上该 $(\infty ,1)$-层的取值. 回忆在普通层论中, 这是层的定义的一部分, 此时实际上只用到 Čech 脉的一个截断, 仅考虑两两相交, 而不必考虑更多个开集相交. 对一般的 $(\infty ,1)$-层而言, 我们则需要考虑任意 $n$ 个开集之交, 因此需要整个 Čech 脉; $(\infty ,1)$-层在 Čech 脉上取值的极限就是它在整个空间上的取值.

1定义

在具有拉回的范畴 $\mathcal{C}$ 中, 态射 $U\to X$ 的 Čech 脉定义为 $\mathcal{C}$ 的单纯对象$$\check{C}(U\to X)=(\cdots U{\times }_{X}U{\times }_{X}UU{\times }_{X}UU).$$

2例子

•	设 $X$ 为拓扑空间, $(U_i{)}_{i\in I}$ 为 $X$ 的开覆盖. 令 $U={\coprod }_i{U}_i$, 则映射 $U\to X$ 的 Čech 脉为单纯拓扑空间$$\check{C}(U\to X)=(\cdots {\coprod }_{i,j,k}{U}_{ijk}{\coprod }_{i,j}{U}_{ij}{\coprod }_i{U}_i).$$其中 $U_{ij}=U_i\cap U_j$ 等等.

3相关概念

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Čech 上同调

术语翻译

Čech 脉 • 英文 Čech nerve