Yoneda 嵌入

Yoneda 嵌入 (也称 Yoneda 函子, 或米田嵌入、米田函子) 是由范畴 $\mathcal{C}$ 嵌入其预层范畴 $\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 的函子$$\begin{array}{rl}y:\mathcal{C}& \to \mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}),\\ c& \mapsto \mathcal{C}(-,c).\end{array}$$通过这一函子, 范畴的对象可自然视作该范畴上预层.

Yoneda 引理说明 Yoneda 嵌入确实是嵌入, 即全忠实函子.

1定义

定义 1.1 (Yoneda 嵌入). 设 $\mathcal{C}$ 是局部小范畴, 记 $\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 为 $\mathcal{C}$ 到集合范畴的所有反变函子构成的函子范畴. 这个范畴也被称为 $\mathcal{C}$ 上预层的范畴. 函子$$\begin{array}{rl}y:\mathcal{C}& \to \mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}),\\ c& \mapsto \mathcal{C}(-,c)\end{array}$$称为 Yoneda 嵌入. 它把每个元素 $c\in \mathcal{C}$ 映到一个函子 $y(c)=\mathcal{C}(-,c)$, 通常记为$$h_c:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set},$$称为被 $c$ 表出的函子, 或被 $c$ 表出的预层.

命题 1.2. 在定义 1.1 中, Yoneda 嵌入 $y$ 确实是嵌入, 即全忠实函子.

证明. 设 $c,d\in \mathcal{C}$. 对预层 $h_d$ 使用 Yoneda 引理, 得到自然同构$$\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})(h_c,h_d)\simeq h_d(c)\simeq \mathcal{C}(c,d).$$$\square$

定义 1.3 (反变 Yoneda 嵌入). 在定义 1.1 中, 对偶范畴 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}$ 的 Yoneda 嵌入常记为$$\begin{array}{rl}y:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}& \to \mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Set}),\\ c& \mapsto h^c=\mathcal{C}(c,-),\end{array}$$称为 $\mathcal{C}$ 的反变 Yoneda 嵌入.

2变种

对充实范畴

(...)

对 $\infty$-范畴

(...)

术语翻译

Yoneda 嵌入 • 英文 Yoneda embedding • 德文 Yoneda-Einbettung (f) • 法文 plongement de Yoneda (m)