Yoneda 嵌入

Yoneda 嵌入 (也称 Yoneda 函子, 或米田嵌入、米田函子) 是由范畴 $\mathcal{C}$ 嵌入其预层范畴 $\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 的函子$$\begin{array}{rl}y:\mathcal{C}& \to \mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}),\\ c& \mapsto \mathcal{C}(-,c).\end{array}$$通过这一函子, 范畴的对象可自然视作该范畴上预层.

Yoneda 引理说明 Yoneda 嵌入确实是嵌入, 即全忠实函子.

1定义

定义 1.1 (Yoneda 嵌入). 设 $\mathcal{C}$ 是局部小范畴, 记 $\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 为 $\mathcal{C}$ 到集合范畴的所有反变函子构成的函子范畴. 这个范畴也被称为 $\mathcal{C}$ 上预层的范畴. 函子$$\begin{array}{rl}y:\mathcal{C}& \to \mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}),\\ c& \mapsto \mathcal{C}(-,c)\end{array}$$称为 Yoneda 嵌入. 它把每个元素 $c\in \mathcal{C}$ 映到一个函子 $y(c)=\mathcal{C}(-,c)$, 通常记为$$h_c:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set},$$称为被 $c$ 表出的函子, 或被 $c$ 表出的预层.

命题 1.2. 在定义 1.1 中, Yoneda 嵌入 $y$ 确实是嵌入, 即全忠实函子.

证明. 设 $c,d\in \mathcal{C}$. 对预层 $h_d$ 使用 Yoneda 引理, 得到自然同构$$\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})(h_c,h_d)\simeq h_d(c)\simeq \mathcal{C}(c,d).$$$\square$

定义 1.3 (反变 Yoneda 嵌入). 在定义 1.1 中, 对偶范畴 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}$ 的 Yoneda 嵌入常记为$$\begin{array}{rl}y:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}& \to \mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Set}),\\ c& \mapsto h^c=\mathcal{C}(c,-),\end{array}$$称为 $\mathcal{C}$ 的反变 Yoneda 嵌入.

2变体

对充实范畴

(...)

对 $(\infty ,1)$-范畴

对于 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$, Yoneda 嵌入可以通过以下方式描述:
考虑由 $(\infty ,1)$-范畴变为其某个对象的俯范畴的函子 ${\mathcal{C}}_{/-}:\mathcal{C}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$. 对于每个 $c\in \mathcal{C}$, 都有投影函子 ${\mathcal{C}}_{/c}\to \mathcal{C}$. 因此接下来尝试说明 ${\mathcal{C}}_{/-}$ 给出提升 ${\mathcal{C}}_{/-}:\mathcal{C}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{C}}$. 为具体构造这一提升, 只需观察到对于全体 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{D}$ 以及 $d\in \mathcal{D}$, 都有范畴等价 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},{\mathcal{D}}_{/y})\simeq \mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D}{)}_{\underline{y}}$. 此处 $\underline{y}$ 是指常值函子. 由于推出纤维化保持拉回, 因此对应任意 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$, 都有 $p_2:\mathcal{D}\times \mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 为推出纤维化, 而对其进行直化给出函子 $\underline{\mathcal{D}}:\mathcal{C}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$. 因此再结合直化定理给出范畴等价$$\mathsf{Fun}(\mathcal{C},{\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{C}})\simeq \mathsf{Fun}(\mathcal{C},{\mathsf{Cat}}_{\infty }{)}_{/\underline{\mathcal{C}}}\simeq \mathsf{Cocart}(\mathcal{C}{)}_{/p_2:\mathcal{C}\times \mathcal{C}\to \mathcal{C}}$$而后观察到有 $\mathsf{Cocart}(\mathcal{C})$ 中的交换图表$$\mathsf{Ar}(\mathcal{C})\mathcal{C}\times \mathcal{C}\mathcal{C}(s,t)t{p}_2$$此处 $\mathsf{Ar}(\mathcal{C})$ 为箭头范畴, 这说明 ${\mathcal{C}}_{/-}$ 确实可以提升到 ${\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{C}}$. 而 ${\mathcal{C}}_{/c}\to \mathcal{C}$ 对于每个 $x\in \mathcal{C}$ 均为右纤维化. 从而 ${\mathcal{C}}_{/-}$ 穿过 $\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani})\simeq \mathsf{Right}(\mathcal{C})\subset {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{C}}$. 由此可以给出 $(\infty ,1)$-版本的 Yoneda 嵌入.

定义 2.1. 设 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴, 则函子$$y:\mathcal{C}\stackrel{{\mathcal{C}}_{/-}}{\to }\mathsf{Right}(\mathcal{C})\stackrel{直化}{\to }\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani}),$$为 Yoneda 嵌入. 它将每个对象 $c\in \mathcal{C}$ 映为函子 $y(c)=\mathcal{C}(-,c)$.

注 2.2. 可以利用指数律恢复出 Hom 函子, 即 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani}))\simeq \mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{C},\mathsf{Ani})$. 这给出扭箭头范畴作为右纤维化的定义.

3相关概念

•	Yoneda 引理
•	可表函子
•	$(\infty ,1)$-范畴 Yoneda 引理

术语翻译

Yoneda 嵌入 • 英文 Yoneda embedding • 德文 Yoneda-Einbettung (f) • 法文 plongement de Yoneda (m)