全子范畴

在范畴论中, 一个范畴的全子范畴 (也称满子范畴) 是由该范畴的一部分对象及其间的所有态射组成的范畴. 例如, 在集合范畴中, 所有有限集及其间的映射就构成全子范畴.

全子范畴的概念满足等价原理, 而子范畴的概念则不满足. 这是因为若 $\mathcal{D}$ 是 $\mathcal{C}$ 的全子范畴, 而 ${\mathcal{C}}^{\prime }$ 等价于 $\mathcal{C}$, 则也可以找到 ${\mathcal{C}}^{\prime }$ 中相应的全子范畴 ${\mathcal{D}}^{\prime }$, 它等价于 $\mathcal{D}$. 而子范畴并不满足这一性质. 因此, 全子范畴是更自然的 “范畴的一部分” 的概念.

全子范畴与全忠实函子几乎是等价的概念, 因为在相差范畴等价的意义下, 全忠实函子就是全子范畴的嵌入. 换言之, 全忠实函子就是到某个全子范畴的范畴等价.

1定义

定义 1.1 (全子范畴). 范畴 $\mathcal{C}$ 的子范畴 $\mathcal{D}$ 称为全子范畴, 如果满足以下条件:

•	对任意 $x,y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ 及 $f\in \mathcal{C}(x,y)$, 若 $x,y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{D})$, 则有 $f\in \mathcal{D}(x,y)$.

换言之, 含入函子 $\mathcal{D}\hookrightarrow \mathcal{C}$ 是全忠实函子.

2相关概念

术语翻译

全子范畴 • 英文 full subcategory • 德文 volle Unterkategorie (f) • 法文 sous-catégorie pleine (f)