Galois 环

约定. 在本文中,

• ${\mathbb{Z}}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 指 $n$ 个元素的循环群.

在代数学中, Galois 环 $\mathrm{GR}(p^n,r)$ 是指剩余类环 ${\mathbb{Z}}_{p^n}$ 的 $r$ 次 Galois 扩张, 其中 $p$ 是一个素数, 而 $n,r$ 是正整数. Galois 环是特征为 $p^n$ 且有 $p^{nr}$ 个元素的交换环.

Galois 环最简单也是最重要的两种特殊情况:

•	Galois 环 $\mathrm{GR}(p^n,1)$ 就是剩余类环 ${\mathbb{Z}}_{p^n}$.

•	Galois 环 $\mathrm{GR}(p,r)$ 就是有限域 ${\mathbb{F}}_{p^r}$.

一个不那么平凡的例子是 Galois 环 $\mathrm{GR}(4,3)$. 它的特征为 $4$ 且有 $4^3=64$ 个元素. 一种构造方式是 $\mathbb{Z}[x]/(4,x^3+2x+x-1)$. 另一种等价的方式是 ${\mathbb{Z}}_4[\xi ]$, 其中 $\xi$ 是多项式 $f(x)=x^3+2x^2+x-1$ 的根.

1定义

定义 1.1 (Galois 环). Galois 环 $\mathrm{GR}(p^n,r)$ 是剩余类环 ${\mathbb{Z}}_{p^n}$ 的 $r$ 次 Galois 扩张, 其中 $p$ 是一个素数, 而 $n,r$ 是正整数.

定义 1.2 (构造性定义). Galois 环可以定义为商环$$\mathrm{GR}(p^n,r)\cong \mathbb{Z}[x]/(p^n,f(x)),$$其中 $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$ 是 $r$ 次首一多项式且在 ${\mathbb{Z}}_p$ 上不可约. 在同构的意义下, 这个环只与 $p,n,r$ 有关, 而与构造中的 $f$ 的选取无关.

2性质

命题 2.1 (局部性). Galois 环都是局部环. 唯一的极大理想是主理想 $(p)=p\mathrm{GR}(p^n,r)$. 剩余域 $\mathrm{GR}(p^n,r)/(p)\cong {\mathbb{F}}_{p^r}$.

命题 2.2 (理想). Galois 环的所有理想都是主理想, 它们分别是 $(0),(p^{n-1}),\cdots ,(p),(1)$.

命题 2.3 (子环). 对任意整除 $r$ 的 $s$, Galois 环 $\mathrm{GR}(p^n,r)$ 有且只有一个同构于 $\mathrm{GR}(p^n,s)$ 的子环, 而且 $\mathrm{GR}(p^n,r)$ 只有这些子环.

命题 2.4 (Galois 群). 只要 $r$ 是 $s$ 的倍数, $\mathrm{GR}(p^n,r)$ 就是 $\mathrm{GR}(p^n,s)$ 的 Galois 扩张, 其 Galois 群同构于域扩张 ${\mathbb{F}}_{p^r}/{\mathbb{F}}_{p^s}$ 的 Galois 群.

术语翻译

Galois 环 • 英文 Galois ring