Hilbert 符号

约定. 在本文中,

• $K$ 是整体域, $v\in |K|$ 是 $K$ 的赋值.
• ${\mu }_n(K_v)$ 表示 $K_v$ 中 $n$ 次单位根群, $n$ 是与 $\mathrm{char}k$ 互素的正整数.

Hilbert 符号是 $(K_v^{\times }/K_v^{\times n})\times (K_v^{\times }/K_v^{\times n})$ 到 ${\mu }_n(K_v^{\times })$ 的非退化, 双乘性映射, 可以通过它来研究高次互反律.

1定义

定义 1.1. 对 $a,b\in K_v^{\times }$, 定义$$(a,b{)}_{K_v}=\{\begin{array}{ll}+1,& a{x}^2+b{y}^2=1\text{有非零解};\\ -1,& \text{其余情况}.\end{array}$$也简记为 $(a,b{)}_v$.

注 1.2. 可以发现 $(a,b{)}_v=1$ 当且仅当存在 $a^{\prime }\in K_v(\sqrt{b})$ 中, 使得 $a=\mathrm{Nm}(a^{\prime })$, 从而可以定义高次的 Hilbert 符号.

一般地, 如果 $K_v$ 包含本原 $n$ 次单位根,

定义 1.3. 对 $a,b\in K_v^{\times }$, 定义$$(a,b{)}_v=\frac{{\varphi }_{K_v}(b)(a^{\frac{1}{n}})}{a^{\frac{1}{n}}},$$其中 ${\varphi }_{K_v}=(K_v^{\times }/K_v^{\times n})\to \mathrm{Gal}(K_v^{\mathrm{ab}}/K_v)$ 是 局部互反映射. 从中可以看出 Hilbert 符号的取值为单位根.

2等价刻画

通过循环代数

对 $a,b\in K_v^{\times }$ 可以定义四元代数$$H(a,b)=⟨\mathrm{i},\mathrm{j}⟩/⟨{\mathrm{i}}^2=a,{\mathrm{j}}^2=b,\mathrm{ij}=-\mathrm{ji}⟩,$$它是 $K_v$ 上的中心单代数.

定义 2.1. 对 $a,b\in K_v^{\times }$, 定义$$(a,b{)}_v=\{\begin{array}{ll}+1,& H(a,b)\simeq M_2(K_v);\\ -1,& H(a,b)\text{是可除代数}.\end{array}$$

注 2.2. $(a,b{)}_v$ 也可以定义为 $(-1{)}^{-2\mathrm{inv}([H(a,b)])}$ 其中 $\mathrm{inv}$ 是 Brauer 群 $\mathrm{Br}(K_v)$ 上的不变映射.

同样, 也可以用中心单代数的理论定义高次 Hilbert 符号. 给定 $\zeta \in K_v$ 是本原 $n$ 次单位根, 考虑循环代数$$A(a,b)=⟨x,y⟩/⟨x^n=a,y^n=b,xy=\zeta yx⟩.$$

定义 2.3. 对 $a,b\in K_v^{\times }$, 定义$$(a,b{)}_v={\zeta }^{-n\mathrm{inv}([A(a,b)])}.$$

通过群上同调

若 $\zeta \in K_v^{\times }$ 是本原 $n$ 次单位根, 令 $G=\mathrm{Gal}(K_v^{\mathrm{sep}}/K_v)$, 考虑 Kummer 正合列$$1\to {\mu }_n\to K_v^{\mathrm{sep}\times }\stackrel{x\mapsto x^n}{\to }{K}_v^{\mathrm{sep}\times }\to 1,$$由此有同构$$\delta :K_v^{\times }/K_v^{\times n}\to H^1(G,{\mu }_n).$$考虑杯积, 我们有配对$$H^1(G,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\times H^1(G,{\mu }_n)\to H^2(G,{\mu }_n)\simeq \frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z},$$具体写出得到 $(\chi ,b)\mapsto \mathrm{inv}(\chi \cup \delta b)$, 其中 $\chi \in \mathrm{Hom}(G,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$, $b\in K_v^{\times }/K_v^{\times n}$. 将映射两边张量 ${\mu }_n$, 得到配对$$(K_v^{\times }/K_v^{\times n})\times (K_v^{\times }/K_v^{\times n})\to {\mu }_n.$$

注 2.4. 通过群上同调理论, 容易得到非退化的配对, 但也能感受到这种方式得到的 Hilbert 符号计算十分困难.

3性质

以下证明只考虑 $n=2$ 的情形.

命题 3.1.

•	对任意 $a,b\in K^{\times }$, 有 $(a,b{)}_v=(b,a{)}_v^{-1}=(b,a{)}_v$.
•	若 $a$ 是平方数, 则对任意 $b$ 有 $(a,b{)}_v=1$.
•	若 $a\ne 0,1$, 有 $(a,1-a{)}_v=1$.

命题 3.2. 对任意 $a,b,c\in K^{\times }$, 有 $(a,b{)}_v(a,c{)}_v=(a,bc{)}_v$.

证明.

证明. 令 $A=H(a,b){\otimes }_{K}H(a,c)$, 利用等价定义, 只需证明 $A\simeq H(a,bc)$. $A$ 有一组生成元 ${\mathrm{i}}_1,{\mathrm{j}}_1,{\mathrm{i}}_2,{\mathrm{j}}_2$, 满足关系 ${\mathrm{i}}_1^2={\mathrm{i}}_2^2=a$, ${\mathrm{j}}_1^2=b$, ${\mathrm{j}}_2^2=c$, ${\mathrm{i}}_k{\mathrm{j}}_k=-{\mathrm{j}}_k{\mathrm{i}}_k$ 以及 ${\mathrm{i}}_k{\mathrm{j}}_l={\mathrm{j}}_l{\mathrm{i}}_k$, 其中 $k\ne l\in \{1,2\}$. 考虑 $A^{\prime }$ 是由 ${\mathrm{i}}_1$ 和 ${\mathrm{j}}_1$ 生成的 $A$ 子代数, $A^{\prime \prime }$ 是由 ${\mathrm{i}}_1^{-1}{\mathrm{i}}_2$ 和 ${\mathrm{j}}_2$ 生成的 $A$ 子代数. 则有$$A^{\prime }\simeq H(a,bc),A^{\prime \prime }\simeq H(1,c).$$由于 $A^{\prime }\otimes A^{\prime \prime }$ 是单代数, 则自然态射 $A^{\prime }\otimes A^{\prime \prime }\to A$ 是同构, 从而$$H(a,b)\otimes H(a,c)\simeq H(a,bc)\otimes H(1,c).$$由命题 3.1 第二条知 $H(1,c)\simeq M_2(K)$, 因此有 $A\simeq H(a,bc)$.

$\square$

命题 3.3. (乘积公式) 对 $a,b\in K_v^{\times }$, 有$$\prod _{v\in |K|}(a,b{)}_v=1.$$

证明. 利用 Hasse 正合列$$0\to \mathrm{Br}(K)\to \underset{v\in |K|}{⨁}\mathrm{Br}(K_v)\stackrel{\Sigma \mathrm{inv}}{\to }\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to 0$$即得.

$\square$

4例子

例 4.1. 取 $K=\mathbb{Q}$, $n=2$, 有

•	$v=\infty$, $(a,b{)}_v=1$ 当且仅当 $a,b$ 之一大于 $0$.
•	$v=2$, 假设 $a=2^{\alpha }u$ 及 $b=2^{\beta }v$ 满足 $u,v$ 是奇数, 有$$(a,b{)}_2=(-1{)}^{ϵ(u)ϵ(v)+\alpha \omega (v)+\beta \omega (u)},$$其中 $ϵ(x)=\frac{x-1}{2}$, $\omega (x)=\frac{x^2-1}{8}$.
•	$v=p\ge 3$, 假设 $a=p^{\alpha }u$ 及 $b=p^{\beta }v$ 满足 $u,v$ 与 $p$ 互素, 有$$(a,b{)}_p=(-1{)}^{\alpha \beta ϵ(p)}{\left(\frac{v}{p}\right)}^{\alpha }{\left(\frac{u}{p}\right)}^{\beta },$$后两项为 Legendre 符号.

5相关概念

•	Steinberg 符号
•	Brauer 群
•	Kummer 理论

术语翻译

Hilbert 符号 • 英文 Hilbert symbol • 法文 Symbole de Hilbert