Frobenius 同态

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.
• $p$ 为一固定素数.

Frobenius 同态是特征 $p$ 环特有的自同态, 将元素映射到其 $p$ 次方. 该自同态在交换代数、代数数论、代数几何中都十分重要.

本条目侧重于环论. 较为概形论的性质参见条目 Frobenius 态射.

1定义

定义 1.1. $A$ 是 ${\mathbb{F}}_p$-代数. $A$ 的 Frobenius 同态指的是自同态 $a\mapsto a^p$. 其常见的记号有 $\mathrm{Frob}$, $F$, $\phi$, 或需要区分时加个下标 $A$. 在需要与下文的相对 Frobenius 同态区分时, 也会称它为 绝对 Frobenius 同态.

注 1.2. $a\mapsto a^p$ 显然总是乘法幺半群同态. 它是环同态则是因为$$(a+b{)}^p=\sum _{n=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{n})a^n{b}^{p-n}=a^p+b^p,$$其中交叉项的系数都是 $p$ 的倍数, 而 $A$ 中 $p=0$, 它们都消失.

注 1.3. 在一些场合中, 也会将定义 1.1 中同态的 $n$ 次方, 即 $a\mapsto a^q$ 称为 Frobenius 同态, 其中 $q=p^n$. 尤其是在 $A$ 是 ${\mathbb{F}}_q$-代数时, 此时 Frobenius 同态是 ${\mathbb{F}}_q$-代数的同态.

也会谈论相对的 Frobenius 同态.

定义 1.4 (相对 Frobenius 同态). 设 $f:A\to B$ 是 ${\mathbb{F}}_p$-代数的同态, 考虑交换图$$AABA{\otimes }_{F,A}BB{F}_{A}f┘f^{\prime }f{F}_A^{\prime }{F}_B{F}_{B/A}$$其中 $F_A$, $F_B$ 表示 $A$, $B$ 上的 Frobenius 同态. 则有唯一的同态 $A{\otimes }_{F,A}B\to B$ 是此图表交换, 称为相对 Frobenius 同态, 记为 $F_{B/A}$.

等价的说, 相对 Frobenius 同态是满足 $a\otimes b\mapsto a\otimes b^p$ 的唯一同态.

在以上定义中, 在 $A$ 是 ${\mathbb{F}}_p$ 的代数闭包 $\mathbb{F}$, $B$ 形如 $\mathbb{F}{\otimes }_{{\mathbb{F}}_p}R$ 时, 有同构 $\mathbb{F}{\otimes }_{F,\mathbb{F}}\mathbb{F}{\otimes }_{{\mathbb{F}}_p}R\simeq \mathbb{F}{\otimes }_{{\mathbb{F}}_p}R$ (约去中间的 $\mathbb{F}$), 由此得到的映射 $F_A^{\prime }$, $F_{B/A}$ 分别称为算术、几何 Frobenius 同态. 以下的定义将这些构造具体写了出来.

定义 1.5 (算术、几何 Frobenius 同态). 设 $R$ 是 ${\mathbb{F}}_q$-代数, 其中 $q=p^n$. 记 $\mathbb{F}$ 为 ${\mathbb{F}}_q$ 的代数闭包. 定义张量积 $\mathbb{F}{\otimes }_{{\mathbb{F}}_q}R$ 的以下自同态:

•	算术 Frobenius 同态是使得 $\lambda \otimes r\mapsto {\lambda }^q\otimes r$ 的自同态.
•	几何 Frobenius 同态是使得 $\lambda \otimes r\mapsto \lambda \otimes r^q$ 的自同态.

大致来说, 算术 Frobenius 同态作用在系数上, 而几何 Frobenius 同态作用在环的 “主体” 上. 可以看出, 几何 Frobenius 同态是 $\mathbb{F}$-代数的同态.

2性质

命题 2.1 (函子性). 对任一 ${\mathbb{F}}_p$-代数同态 $f:A\to B$, $f\circ {\mathrm{Frob}}_A={\mathrm{Frob}}_B\circ f$.

证明. 环同态保持乘法, 自然也保持 $p$ 次方.

$\square$

命题 2.2 (不动点). 在 ${\mathbb{F}}_p$ 上有多项式等式 $x^p-x={\prod }_{i\in {\mathbb{F}}_p}(x-i)$. 对 ${\mathbb{F}}_p$-代数 $A$ 及其元素 $a$, $\mathrm{Frob}(a)=a$ 当且仅当存在直积分解 $A={\prod }_{i\in {\mathbb{F}}_p}{A}_i$, 满足 $a$ 在 $A_i$ 中的像等于 $i$. 特别地, 如 $A$ 不能写成两个非零环的直积, 比如它是整环, 则 $\mathrm{Frob}(a)=a$ 当且仅当 $a\in {\mathbb{F}}_p$.

证明. 由 Frobenius 映射是环同态立知 ${\mathbb{F}}_p$ 的元素都是其不动点, 换言之, 每个 $i\in {\mathbb{F}}_p$ 都是 $x^p-x$ 的根. 由此立得在 ${\mathbb{F}}_p[x]$ 中有 $x^p-x={\prod }_{i\in {\mathbb{F}}_p}(x-i)$. 命题后一句话中 “当” 为显然, 下证 “仅当”. 设 $a\in A$ 满足 $\mathrm{Frob}(a)=a$ 即 $a^p=a$, 则 ${\prod }_{i\in {\mathbb{F}}_p}(a-i)=0$. 显然对不同的 $i,j\in {\mathbb{F}}_p$, $a-i$ 和 $a-j$ 生成的理想是 $1$. 于是由中国剩余定理, $$A=\prod _{i\in {\mathbb{F}}_p}A/(a-i).$$显然 $a$ 在 $A/(a-i)$ 中的像等于 $i$.

$\square$

命题 2.3 (整同态). Frobenius 同态是整同态.

证明. 依定义显然.

$\square$

命题 2.4 (既约环). ${\mathbb{F}}_p$-代数 $A$ 为既约当且仅当 ${\mathrm{Frob}}_A$ 为单射. 如 $A$ 的幂零根 $I$ 满足 $I^{p^n}=0$, 则 ${\mathrm{Frob}}_A^n$ 穿过既约化 $A_{\text{red}}$, 给出单射 $A_{\text{red}}\to A$.

证明. 如 $A$ 既约, 则一个元素 $p$ 次方为 $0$ 自己就是 $0$, 即 ${\mathrm{Frob}}_A$ 为单射. 如 $A$ 不既约, 则其中必有平方为 $0$ 的元素, 该元素就在 $\ker ({\mathrm{Frob}}_A)$ 中. 如 $A$ 的幂零根 $I$ 满足 $I^{p^n}=0$, 则 $I=\ker ({\mathrm{Frob}}_A^n)$, 所以 ${\mathrm{Frob}}_A^n$ 穿过 $A/I=A_{\text{red}}$, 且给出单射 $A_{\text{red}}\to A$.

$\square$

3例子

•	${\mathbb{F}}_p$ 的 Frobenius 是 $\mathrm{id}$.
•	对有限域 ${\mathbb{F}}_q$, 由其 Frobenius 是单射, 数元素知它是双射. 一般地, Frobenius 是双射的 ${\mathbb{F}}_p$-代数称为完美环.
•	考虑多项式代数 ${\mathbb{F}}_p[x_i{]}_{i\in I}$. 其 Frobenius 是单射, 像为 ${\mathbb{F}}_p[x_i^p{]}_{i\in I}$. ${\mathbb{F}}_p[x_i{]}_{i\in I}$ 作为 ${\mathbb{F}}_p[x_i^p{]}_{i\in I}$-模自由, 一组生成元为$$\left\{\prod _{i\in I}{x}_i^{a_i}|0\le a_i<p,只有有限个非零\right\}.$$故当 $|I|=n\in \mathbb{N}$ 时其秩为 $p^n$, Frobenius 为有限同态; 当 $I$ 无穷时其秩为 $|I|$, Frobenius 仅整而不有限.

4推广

(导出推广.)

(代数数论中它的提升不知要不要在这里写, 还是写在更相关的页面.)

5相关概念

•	Frobenius 态射
•	Frobenius 作用
•	Tate Frobenius
•	Artin 符号
•	Agrawal–Kayal–Saxena 算法

术语翻译

Frobenius 同态 • 英文 Frobenius homomorphism • 德文 Frobeniushomomorphismus • 法文 homomorphisme de Frobenius • 拉丁文 homomorphismus Frobenii