Lazard 环

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.
• 所有形式群律都指一维交换形式群律.

Lazard 环由 Michel Lazard 引入, 是形式群律的分类环, 换言之其上有个万有的形式群律. 它不典范地是整数环上可数个变元的多项式环. 由 Milnor–Quillen 定理, 它典范同构于复配边环.

1定义

定义 1.1. Lazard 环, 通常记作 $L$, 是形式群律的分类环. 具体地说, 取自由变元 $\{c_{i,j}{\}}_{i,j\in {\mathbb{Z}}_{+}}$, 记$$F(x,y)=x+y+\sum _{i,j}{c}_{i,j}{x}^i{y}^j\in \mathbb{Z}[c_{i,j}][[x,y]];$$比较等式 $F(x,F(y,z))=F(F(x,y),z)$ 及 $F(x,y)=F(y,x)$ 两边的各项系数, 可得环 $\mathbb{Z}[c_{i,j}]$ 中的一族等式; $L$ 就是 $\mathbb{Z}[c_{i,j}]$ 商去这些等式给出的关系. 依定义, 对交换环 $R$, $$\mathrm{Hom}(L,R)=\{R上形式群律\}.$$

注 1.2. 在 $F(x,y)=x+y+{\sum }_{i,j}{c}_{i,j}{x}^i{y}^j$ 中约定 $x,y$ 均为 $-1$ 次, $c_{i,j}$ 为 $i+j-1$ 次, 则 Lazard 环定义中的关系均为齐次等式, 于是 Lazard 环自然地是分次环.

2计算

本节计算 Lazard 环的结构, 即证明以下定理:

定理 2.1 (Lazard). 作为分次环, $$L\cong \mathbb{Z}[t_n{]}_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}},$$其中 $t_n$ 为 $n$ 次.

证明. 考虑分次环 $\mathbb{Z}[b_n{]}_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}$, 其中 $b_n$ 为 $n$ 次. 作万有坐标变换$$g(x)=x+\sum _n{b}_n{x}^{n+1}\in \mathbb{Z}[b_n][[x]].$$以 $g^{-1}$ 记 $g$ 的反函数, 则 $g(g^{-1}(x)+g^{-1}(y))$ 显然是形式群律. 由 $L$ 的定义, 这给出分次环同态 $\phi :L\to \mathbb{Z}[b_n{]}_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}$. 分别以 $I$ 和 $J$ 记 $L$ 和 $\mathbb{Z}[b_n{]}_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}$ 的正次数元组成的理想, 则 $\phi (I)\subseteq J=(b_n{)}_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}$. 对分次模 $M$, 以 $M_n$ 记 $M$ 的 $n$ 次部分. 于是由引理 2.2, 可取一列 $t_n\in I$, 使得 $t_n$ 为 $n$ 次, 且被 $\phi$ 诱导的映射 $(I/I^2{)}_n\to (J/J^2{)}_n=\mathbb{Z}{b}_n$ 打到$$\{\begin{array}{ll}p{b}_n,& n=p^d-1,p为素数;\\ b_n,& 其它;\end{array}$$那么 $(I/I^2{)}_n=\mathbb{Z}{t}_n$. 考虑从多项式环出发的映射 $\theta :\mathbb{Z}[t_n{]}_{n\in \mathbb{Z}}\to L$, 下证 $\theta$ 是同构.

满

对 $n\in \mathbb{N}$ 归纳证明 $\theta$ 在 $n$ 次部分满. $n=0$ 时显然, 因为由定义 1.1 立得 $L_0=\mathbb{Z}$. $n>0$ 时需证 $I_n$ 被映满. 由归纳假设, $(I^2{)}_n$ 已经被低次元素的乘积映满, 故只需证 $(I/I^2{)}_n$ 被映满, 而这由构造显然.

单

只需证 $\phi \circ \theta$ 单. 由于 $\mathbb{Z}[t_n{]}_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}$ 和 $\mathbb{Z}[b_n{]}_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}$ 都无挠, 只需证 $\phi \circ \theta$ 基变换到 $\mathbb{Q}$ 之后单. 由于在 $\mathbb{Q}$ 上 $p{b}_n$ 可以生成 $b_n$, 重复上面 $\theta$ 满的证明即可推出 $(\phi \circ \theta {)}_{\mathbb{Q}}$ 满. 而 $\mathbb{Q}[t_n{]}_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}$ 和 $\mathbb{Q}[b_n{]}_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}$ 在各个次数上都是有限维线性空间, 且维数相同, 所以这就推出 $(\phi \circ \theta {)}_{\mathbb{Q}}$ 单. $\square$

引理 2.2. 对任意正整数 $n$, $\phi$ 诱导的映射 $(I/I^2{)}_n\to (J/J^2{)}_n=\mathbb{Z}{b}_n$ 是单射, 像集为$$\{\begin{array}{ll}p\mathbb{Z}{b}_n,& n=p^d-1,p为素数;\\ \mathbb{Z}{b}_n,& 其它.\end{array}$$

证明. 我们沿 Yoneda 对应理解 $(I/I^2{)}_n$; 换言之, 任取交换群 $M$, 考察 $\mathrm{Hom}((I/I^2{)}_n,M)$. 为此作分次环 $\mathbb{Z}\oplus M$, 其中 $M$ 集中在 $n$ 次, 任两个 $M$ 中元素乘积为 $0$. 于是由于 $L_0=\mathbb{Z}$, 不难发现$$\mathrm{Hom}((I/I^2{)}_n,M)=\mathrm{Hom}(L,\mathbb{Z}\oplus M)=\{\mathbb{Z}\oplus M上齐次形式群律\}.$$展开定义, 知 $\mathbb{Z}\oplus M$ 上齐次形式群律都形如$$F(x,y)=x+y+\sum _{i=1}^n{m}_i{x}^i{y}^{n+1-i},$$其中$$m_i=m_{n+1-i},\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1-i}{j}\right)m_i=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1-j}{i}\right)m_j.$$另一方面, 对 $m\in M$, 考虑映射 $(J/J^2{)}_n\to M$, $b_n\mapsto m$. 依定义, 它与 $\phi$ 诱导的映射 $(I/I^2{)}_n\to (J/J^2{)}_n$ 之复合对应于形式群律$$((x-m{x}^{n+1})+(y-m{y}^{n+1}))+m((x-m{x}^{n+1})+(y-m{y}^{n+1}){)}^{n+1}=x+y+\sum _{i=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{i})m{x}^i{y}^{n+1-i}.$$也就是说, 在 Yoneda 对应下, 映射 $(I/I^2{)}_n\to (J/J^2{)}_n$ 把 $m\in M=\mathrm{Hom}((J/J^2{)}_n,M)$ 打到 ${\left(m_i=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{i}\right)m\right)}_{i=1}^n$. 以下对每个素数 $p$, 用 Kummer 定理考察该映射在 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ 上的行为, 即设 $M$ 为 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$-模. 对 $n$ 分类讨论:

$n+1=p^d$

此时 $m_{p^{d-1}}$ 决定所有 $m_i$. 这是因为对 $i\le n+1-p^{d-1}$, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1-i}{p^{d-1}}\right)\in {\mathbb{Z}}_{(p)}^{\times }$, 而对 $i>n+1-p^{d-1}$, 总有 $n+1-i\le n+1-p^{d-1}$. 注意 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{p^{d-1}}\right)\in p{\mathbb{Z}}_{(p)}^{\times }$, 所以映射 $(I/I^2{)}_n\to (J/J^2{)}_n$ 在 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ 上是单射, 像集为 $p{\mathbb{Z}}_{(p)}{b}_n$.

$n+1\ne p^d$

记 $k=v_p(n+1)$, 则 $m_{p^k}$ 决定所有 $m_i$. 首先它决定所有 $m_{p^{\ell }}$, $\ell >k$, 因为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1-p^{\ell }}{p^k}\right)\in {\mathbb{Z}}_{(p)}^{\times }$. 其次对任意 $i\in \{1,\dots ,n\}$, $i$ 和 $n+1-i$ 中至少有一个的 $p$ 进制展开中 $p^{\ell }$ 项非零, 对某个 $\ell \ge k$, 不妨设 $n+1-i$ 如此; 这样就有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1-i}{p^{\ell }}\right)\in {\mathbb{Z}}_{(p)}^{\times }$, 即 $m_{p^{\ell }}$ 决定 $m_i$. 注意 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{p^k}\right)\in {\mathbb{Z}}_{(p)}^{\times }$, 所以映射 $(I/I^2{)}_n\to (J/J^2{)}_n$ 在 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ 上是同构.

合起来即得欲证.

$\square$

由定理 2.1 的证明立得

推论 2.3. ${\phi }_{\mathbb{Q}}$ 是同构. 换言之, 对 $\mathbb{Q}$-代数 $R$ 及其上形式群律 $F$, 存在唯一 $f(x)\in R[[x]]$, 首项为 $x$, 使得$$F(x,y)=f(f^{-1}(x)+f^{-1}(y)).$$也就是说 $\mathbb{Q}$-代数上的形式群律都典范同构于 $\widehat{{\mathbb{G}}_a}$.

定理 2.1 还有如下不平凡的推论:

推论 2.4. 形式群律可沿满射提升. 具体地说, 对环满射 $q:R\to S$ 以及 $S$ 上形式群律 $F$, 存在 $R$ 上形式群律 $\tilde{F}$, 使得 $q(\tilde{F})=F$.

3相关概念

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复配边谱

术语翻译

Lazard 环 • 英文 Lazard ring