计数测度

在测度论中, 计数测度是一种定义在任何集合上的测度. 集合的计数测度就是集合的元素个数, 即势.

1定义

定义 1.1 (计数测度). 设 $A$ 是集合, 考虑可测空间 $(A,2^A)$. 对任意 $E\subset A$, 定义$$\mu (E)=\{\begin{array}{ll}|E|,& E\text{ 是有限集},\\ \infty ,& E\text{ 是无限集},\end{array}$$它是该可测空间上的测度, 称为计数测度.

2性质

•	带有计数测度的空间 $(A,2^A,\mu )$ 是 $\sigma$-有限测度空间等价于 $A$ 是可数集.

•	对任何函数 $f:A\to [0,\infty ]$, 可定义$$\nu (E)=\sum _{x\in E}f(x),E\subset A,$$它是可测空间 $(A,2^A)$ 上的测度. 在求和式中, 不可数个元素的求和按如下方式确定:$$\sum _{y\in Y}y:=\underset{E\subset Y,|E|<\infty }{\sup }\left(\sum _{y\in E}y\right).$$如果令 $f$ 是恒为 $1$ 的函数, 则得到计数测度 $\mu$. 另外, 还有$$\nu (E)={\int }_{E}f\mathrm{d}\mu .$$

3相关概念

术语翻译

计数测度 • 英文 counting measure • 德文 Zählmaß • 法文 mesure de comptage • 日文 数え上げ測度 (かぞえあげそくど)