Segal 运算

约定. 在本文中,

• $\ast$ 指单点集.
• 范畴指 $(\infty ,1)$-范畴.

Segal 运算是 Graeme Segal 引入的一系列上同调运算, 可用于给移送映射 ${\Sigma }_{+}^{\infty }\mathrm{B}{\mathfrak{S}}_p\to {\Sigma }_{+}^{\infty }\ast$ 构造空间层面的截面.

1构造

以 $\mathrm{Fin}$ 记有限集构成的群胚, 亦即 ${⨆}_{n\in \mathbb{N}}\mathrm{B}{\mathfrak{S}}_n$, 其中 $\mathrm{B}$ 指分类空间, ${\mathfrak{S}}_n$ 指 $n$ 元对称群. 对生象 $X$, 考虑生象 ${\mathrm{Fin}}_{/X}=\{(S,f)\mid S\in \mathrm{Fin},f:S\to X\}$, 即 $\mathrm{Fin}$ 沿着自然函子 $\mathrm{Fin}\to \mathsf{Ani}$ 俯于 $X$ 上得到的范畴.

命题 1.1. $({\mathrm{Fin}}_{/X},\bigsqcup )$ 是 $X$ 自由生成的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群. 于是其群化是 ${\Sigma }_{+}^{\infty }X$.

现取 $X=\mathrm{Fin}$. 由于 $\mathrm{Fin}$ 自己是 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群, 其作为生象自由生成的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群自带 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半环结构. 于是 ${\mathrm{Fin}}_{/\mathrm{Fin}}={⨁}_{n\in \mathbb{N}}{\mathrm{Fin}}_{/\mathrm{B}{\mathfrak{S}}_n}$ 是个 $\mathbb{N}$-分次 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半环, 其群化为 $\mathrm{Fin}$ 的幺半群环 ${\Sigma }_{+}^{\infty }\mathrm{Fin}={⨁}_{n\in \mathbb{N}}{\Sigma }_{+}^{\infty }\mathrm{B}{\mathfrak{S}}_n$. 以 $\times$ 记其乘法. 考虑生象映射 $\mathcal{P}:\mathrm{Fin}\to {\mathrm{Fin}}_{/\mathrm{Fin}}$, 把 $S\in \mathrm{Fin}$ 打到幂集 $\mathcal{P}(S)$ 附带遗忘函子 $\mathcal{P}(S)\to \mathrm{Fin}$.

命题 1.2. $\mathcal{P}$ 典范地成为 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群同态 $(\mathrm{Fin},\bigsqcup )\to ({\mathrm{Fin}}_{/\mathrm{Fin}},\times )$, 且在后者的 $0$ 次部分是常函数 $\ast$, 在 $1$ 次部分是 ${\mathrm{id}}_{\mathrm{Fin}}$.

考虑幺半群环 ${⨁}_{n\in \mathbb{N}}{\Sigma }_{+}^{\infty }\mathrm{B}{\mathfrak{S}}_n$ 的分次完备化 ${\prod }_{n\in \mathbb{N}}{\Sigma }_{+}^{\infty }\mathrm{B}{\mathfrak{S}}_n$.

命题 1.3. 设 ${⨁}_{n\in \mathbb{N}}{A}_n$ 为分次 ${\mathbb{E}}_1$-环. 则$${\left(\prod _{n\in \mathbb{N}}{A}_n\right)}^{\times }=A_0^{\times }\times \prod _{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}{A}_n.$$换言之, 分次完备化的可逆元恰为 $0$ 次部分可逆的元素.

于是交换幺半群的自然映射$$(\mathrm{Fin},\bigsqcup )\to ({\mathrm{Fin}}_{/\mathrm{Fin}},\times )\to {\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\mathrm{Fin}=\underset{n\in \mathbb{N}}{⨁}{\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\mathrm{B}{\mathfrak{S}}_n\to \prod _{n\in \mathbb{N}}{\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\mathrm{B}{\mathfrak{S}}_n$$穿过 ${\left({\prod }_{n\in \mathbb{N}}{\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\mathrm{B}{\mathfrak{S}}_n\right)}^{\times }$, 故群化的万有性质给出映射$$\theta :{\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast \to \prod _{n\in \mathbb{N}}{\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\mathrm{B}{\mathfrak{S}}_n,$$把左边的加法映到右边的乘法. 这就是 Segal 运算. 我们也将其单个分量称为 Segal 运算, 记作$${\theta }_n:{\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast \to {\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\mathrm{B}{\mathfrak{S}}_n.$$

2性质

以 ${\varphi }_n$ 记 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群同态$${\mathrm{Fin}}_{/\mathrm{B}{\mathfrak{S}}_n}\to \mathrm{Fin},(S,f)\mapsto S{\times }_{f,\mathrm{B}{\mathfrak{S}}_n}\ast$$(1)的群化, 亦即移送映射 ${\Sigma }_{+}^{\infty }\mathrm{B}{\mathfrak{S}}_n\to {\Sigma }_{+}^{\infty }\ast$.

定义 $\mathbb{N}$-分次 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半环如下: 对任意 $n\in \mathbb{N}$, 其 $n$ 次部分作为加法幺半群都是 $(\mathrm{Fin},\bigsqcup )$; 对 $n$ 次的 $X\in \mathrm{Fin}$ 和 $m$ 次的 $Y\in \mathrm{Fin}$, 定义其乘积为$$X\times Y\times {\mathrm{Hom}}_{保偏序双射}(n\bigsqcup m,n+m),$$其中自然数视为对应基数的全序集, $\bigsqcup$ 表示偏序集范畴的余积, $+$ 表示自然数相加. 容易发现这确实是 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半环. 设其群化为分次 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环 $\Gamma ={⨁}_{n\in \mathbb{N}}{\Gamma }_n$, 则对任意 $n\in \mathbb{N}$, ${\Gamma }_n=\mathbb{S}$, 且对 $n,m\in \mathbb{N}$, 乘积映射 ${\Gamma }_n\otimes {\Gamma }_m\to {\Gamma }_{n+m}$ 可以等同于 $\frac{(n+m)!}{n!m!}:\mathbb{S}\to \mathbb{S}$.

命题 2.1. ${\varphi }_n$ 组成分次 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环同态 $\varphi :{\Sigma }_{+}^{\infty }\mathrm{Fin}\to \Gamma$.

证明. 只需证式 (1) 定义的映射组成 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半环同态. 换言之, 要对带自由 ${\mathfrak{S}}_n$-作用的 $X$ 和带自由 ${\mathfrak{S}}_m$-作用的 $Y$ 给出集合$$Z=X\times Y\times {\mathrm{Hom}}_{保偏序双射}(n\bigsqcup m,n+m)$$的自由 ${\mathfrak{S}}_{n+m}$-作用以及等同$$Z/{\mathfrak{S}}_{n+m}=X/{\mathfrak{S}}_n\times Y/{\mathfrak{S}}_m,$$与两个幺半环的交换律、结合律相容. 这并不困难: 可对 $(x,y,f)\in Z$ 以及 $g\in {\mathfrak{S}}_{n+m}$ 定义$$g(x,y,f)=(hx,ky,f^{\prime }),$$其中 $h\in {\mathfrak{S}}_n$, $k\in {\mathfrak{S}}_m$, $f^{\prime }:n\bigsqcup m\to n+m$ 是保偏序双射, 使得 $g\circ f=f^{\prime }\circ (h\bigsqcup k)$. 容易发现满足条件的 $h,k,f^{\prime }$ 唯一, 而且这样定义出的群作用确实带有所需的商集等同, 且与交换律、结合律相容.

$\square$

引理 2.2. 设 $M$ 是同伦范畴 $\mathrm{h}\mathsf{Ani}$ 中的交换幺半群对象, $m\in {\pi }_{0}M$, 以 $M_{\infty }$ 记图表$$M\stackrel{m}{\to }M\stackrel{m}{\to }\cdots$$的同伦余极限, 则它也是 $\mathrm{h}\mathsf{Ani}$ 中的交换幺半群对象. 设 $A$ 是 $\mathrm{h}\mathsf{Ani}$ 中的交换幺半群对象, 满足$${\underset{m}{\lim }}^1[M,\Omega A]=0,$$其中 $[-,-]$ 表示映射同伦类, 未必保持交换幺半群结构. 则$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{CMon}(\mathrm{h}\mathsf{Ani})}(M_{\infty },A)=\{f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{CMon}(\mathrm{h}\mathsf{Ani})}(M,A)\mid f(m)\in A^{\times }\}.$$

证明. 由 Milnor 短正合列及条件知$$[M_{\infty },A]=\underset{m}{\lim }[M,A].$$考虑那些是幺半群同态的映射. 注意同态 $f:M\to A$ 必须以 $f(m{)}^{-n}f:M\to A$ 的方式穿过 $m^n:M\to M$ 才能在等号左边给出同态, 即知其唯一决定 $M_{\infty }$ 到 $A$ 的同态, 此即欲证.

$\square$

注 2.3. 在参考文献中, Segal 似乎认为上述引理不需要 ${\lim }^1$ 条件. 条目作者不知道此时它还成不成立.

引理 2.4. 设 $X,Y\in \mathsf{Ani}$, $Y$ 是各阶同伦群有限的空间的反向极限. 则 $[X,Y]$ 为投射有限集, 且这关于 $X$ 自然, 即映射 $X\to X^{\prime }$ 都诱导投射有限集的连续映射 $[X^{\prime },Y]\to [X,Y]$.

证明. 写 $X={\mathrm{colim}}_{i\in I}{X}_i$, $Y={\lim }_{j\in J}{Y}_j$, 其中 $X_i$ 只有有限个胞腔, $Y_j$ 只有有限个非平凡同伦群且都是有限群, $I$ 和 $J$ 都是正向系. 则$$\mathrm{Hom}(X,Y)=\underset{i\in I,j\in J}{\lim }\mathrm{Hom}(X_i,Y_j).$$由于 $\mathrm{Hom}(X_i,Y_j)$ 只有有限个非平凡同伦群且都是有限群, 而有限群组成的反向系没有高阶导出极限, 故两边取 ${\pi }_0$ 即得$$[X,Y]=\underset{i\in I,j\in J}{\lim }[X_i,Y_j]$$为投射有限集. 显然 $X={\mathrm{colim}}_{i\in I}{X}_i$ 的写法关于 $X$ 自然, 故映射 $X\to X^{\prime }$ 诱导连续映射 $[X^{\prime },Y]\to [X,Y]$.

$\square$

以下命题算出 ${\varphi }_n\circ {\theta }_n$ 在 ${\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast \in \mathsf{CRing}(\mathrm{h}\mathsf{Ani})$ 的作用.

命题 2.5. 对伦型 $X$ 及 $x\in [X,{\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast ]$, $${\varphi }_n({\theta }_n(x))=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).$$

证明. 以 ${\eta }_n(x)$ 记上式右边. 命题 2.1 与 $\theta$ 把加法映到乘法合起来推出$$\varphi \circ \theta :{\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast \to \prod _{n\in \mathbb{N}}{\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\mathrm{B}{\mathfrak{S}}_n\to \prod _{n\in \mathbb{N}}{\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast$$是左边加法到右边乘法的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-同态. 追定义不难发现这个复合映射也可由 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群同态$$\mathrm{Fin}\to \prod _{n\in \mathbb{N}}\mathrm{Fin},S\mapsto (\{f:n\hookrightarrow S\}{)}_{n\in \mathbb{N}}$$群化得来, 所以容易验证把右边打到 ${\prod }_{n\in \mathbb{N}}{\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast$ 之后, 在第 $n$ 个坐标正是 $x\mapsto {\prod }_{k=0}^{n-1}(x-k)$.

另一方面, Yoneda 引理给出 $\mathrm{h}\mathsf{Ani}$ 中交换幺半群对象的同态$$x\mapsto {\left(\prod _{k=0}^{n-1}(x-k)\right)}_{n\in \mathbb{N}}:{\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast \to \prod _{n\in \mathbb{N}}{\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast ,$$(2)故只需证它和 $\mathrm{h}(\varphi \circ \theta )$ 一样. 为此我们来对 $M=\mathrm{Fin}$, $m=1$, $A={\prod }_{n\in \mathbb{N}}{\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast$ 验证引理 2.2 的条件. 此时由于球的正数阶稳定同伦群有限, $\Omega A$ 满足引理 2.4 的条件, 故 $[M,\Omega A]$ 是投射有限群, 且反向系中的映射连续. 由此可得这个 ${\lim }^1$ 为零, 因为有限群组成的反向系没有高阶导出极限. 现由上一段中的计算, 映射 (2) 和 $\mathrm{h}(\varphi \circ \theta )$ 在限制到 $\mathrm{Fin}$ 之后一样; 于是由引理 2.2, 它们限制到 ${\mathrm{Fin}}_{\infty }$ 之后一样; 最后利用群化定理, 由 $+$ 构造的万有性质即知它们限制到 $({\mathrm{Fin}}_{\infty }{)}^{+}={\mathrm{Fin}}^{\mathrm{gp}}={\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast$ 之后一样, 即它们本身一样.

$\square$

推论 2.6. 设 $p$ 为素数, $d$ 为正整数. 则 ${\varphi }_p\circ {\theta }_p:{\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast \to {\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast$ 在 $d$ 阶同伦群上诱导的映射在 $p$ 处的局部化为同构.

证明. 取 $X=S^d$, 则由它是纬悬不难看出对任意 $x\in {\pi }_d({\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast )\subseteq [S^d,{\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast ]$ 都有 $x^2=0$. 于是 ${\varphi }_p({\theta }_p(x))=(-1{)}^{p-1}(p-1)!x$, 由 $p\nmid (-1{)}^{p-1}(p-1)!$ 即得欲证.

$\square$

推论 2.7 (Kahn–Priddy 分裂). ${\Omega }^{\infty +1}({\varphi }_p{)}_p:{\Omega }^{\infty +1}{\mathbb{S}}_p[\mathrm{B}{\mathfrak{S}}_p]\to {\Omega }^{\infty +1}{\mathbb{S}}_p$ 有截面, 其中下标 $p$ 表示在 $p$ 处局部化.

证明. 由推论 2.6, $\Omega ({\theta }_p{)}_p$ 就是其截面.

$\square$

3参考文献

•	Graeme Segal (1974). Operations in stable homotopy theory. In G. Segal (Ed.), New Developments in Topology (London Mathematical Society Lecture Note Series, pp. 105–110).

术语翻译

Segal 运算 • 英文 Segal operations