群化

群化是群范畴到幺半群范畴的遗忘函子之左伴随, 存在性可由伴随函子定理推出. 它可用来定义 Grothendieck 群和一些 $K$ 理论.

1经典情形

这里 “经典” 指的是限于 $1$-范畴, 没有高阶同伦. 我们先介绍相对简明的交换情形, 再介绍一般情形.

交换幺半群

定义 1.1. 交换幺半群的群化指交换群范畴到交换幺半群范畴的遗忘函子之左伴随, 可具体构造如下: 交换幺半群 $(A,+)$ 的群化为$$A^{\text{gp}}=\{a-b\mid a,b\in A\}/\sim ,$$附带自然映射 $A\to A^{\text{gp}}$, $a\mapsto a-0$; 其中 $-$ 仅仅是形式记号, $a-b$ 应当视为 $(a,b)$ 的别称; 而 $a-b\sim c-d$ 指的是存在 $t\in A$ 使得 $a+d+t=b+c+t$.

一般幺半群

定义 1.2. 幺半群的群化指群范畴到幺半群范畴的遗忘函子之左伴随, 可具体构造如下: 幺半群 $(M,\cdot )$ 的群化为$$M^{\text{gp}}=\{a_1{b}_1^{-1}\cdots a_n{b}_n^{-1}\mid n\in \mathbb{N},a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n\in M\}/\sim ,$$附带自然映射 $M\to M^{\text{gp}}$, $a\mapsto a{1}^{-1}$; 同样 ${}^{-1}$ 也是形式记号; 而等价关系由 $a{a}^{-1}\sim 1$, $b^{-1}b\sim 1$, $1^{-1}\sim 1$ 及其左右同乘元素生成.

2高阶情形

定义 2.1. 设 $k\in {\mathbb{Z}}_{+}\cup \{\infty \}$. ${\mathbb{E}}_k$-幺半群 (又叫 ${\mathbb{E}}_k$-空间) 的群化指 ${\mathbb{E}}_k$-群 (又叫群状 ${\mathbb{E}}_k$-空间) 范畴到 ${\mathbb{E}}_k$-幺半群范畴的遗忘函子之左伴随.

注 2.2. ${\mathbb{E}}_k$-幺半群的群化可用杠构造实现, 准确地说即 $X^{\text{gp}}=\Omega BX$, 或严格按照 [HA], 5.2.6 的记号记作 $\mathrm{Cobar}(\mathrm{Bar}(X))$, 其中 $\mathrm{Bar}:{\mathsf{Mon}}_{{\mathbb{E}}_k}\to {\mathsf{Mon}}_{{\mathbb{E}}_{k-1}}$ 是杠构造, $\mathrm{Cobar}$ 是其右伴随, 在底空间上是环路空间函子 $\Omega$. 这是因为:

•	依定义, $\mathrm{Bar}$ 把 ${\mathbb{E}}_k$-幺半群打到连通 ${\mathbb{E}}_{k-1}$-幺半群.
•	$\mathrm{Cobar}:{\mathsf{Mon}}_{{\mathbb{E}}_{k-1}}\to {\mathsf{Mon}}_{{\mathbb{E}}_k}$ 的本质像是 ${\mathsf{Grp}}_{{\mathbb{E}}_k}$, 且限制在连通 ${\mathbb{E}}_{k-1}$-幺半群的范畴上是范畴等价 $({\mathsf{Mon}}_{{\mathbb{E}}_{k-1}}{)}_{\ge 1}\to {\mathsf{Grp}}_{{\mathbb{E}}_k}$.

3例子

例 3.1. $\mathbb{N}$ 的群化是 $\mathbb{Z}$. 一般地, 自由幺半群的群化是同样多生成元的自由群.

例 3.2. 群的群化是自身.

例 3.3. 环 $R$ 的 Grothendieck 群 $K_0(R)$ 定义为有限生成投射 $R$-模的同构类关于直和构成的交换幺半群的群化. 空间 $X$ 的拓扑 $K_0$ 群定义为 $X$ 上有限维复向量丛的同构类关于直和构成的交换幺半群的群化.

例 3.4. 上例可推广到高阶. 环 $R$ 上的有限生成投射模关于同构构成群胚, 又关于直和构成 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群, 其群化就是 $R$ 的代数 $K$ 理论 $K(R)$. 这是 Quillen $+$ 构造的现代叙述. 类似地, 把空间 $X$ 上有限维复向量丛组成的 $\mathsf{Top}$-充实群胚视为 $\infty$-群胚, 然后考虑其关于直和构成的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群, 则其群化就是 $K_{\ge 0}(X)$.

例 3.5. 一般地, 对于对称幺半 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$, $\infty$-群胚 $\mathrm{Obj}(\mathcal{C})$ 关于 $\mathcal{C}$ 的幺半结构构成 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群, 其群化称为 $\mathcal{C}$ 作为对称幺半范畴的 $K$ 理论. 注意当 $\mathcal{C}$ 是稳定 $\infty$-范畴, 幺半结构取成直和时, 这并非 $\mathcal{C}$ 的代数 $K$ 理论; 后者的信息丰富得多.

4相关概念

•	Grothendieck 群
•	群化定理
•	$\mathrm{KU}$
•	代数 $K$ 理论

5参考文献

•	Jacob Lurie (2017). Higher Algebra. (pdf)

术语翻译

群化 • 英文 group completion • 法文 symétrisation (f) • 拉丁文 catervificatio (f) • 古希腊文 ὁμαδισμός (m)