群化定理

群化定理是高阶代数中的定理, 由 Dusa McDuff 和 Graeme Segal 于 1976 年证明. 此定理给出了在满足一定条件时, ${\mathbb{E}}_k$-幺半群的群化的具体构造, 从而证明了代数 $K$ 理论的 Quillen $+$ 构造正是群化, 也就是 Grothendieck 群的高阶代数版本.

1${\mathbb{E}}_1$ 情形

本节设 $M$ 是 ${\mathbb{E}}_1$-幺半群, $R$ 是 ${\mathbb{E}}_1$-环. 以 $M^{\text{gp}}$ 记 $M$ 的群化, 以 $R[M]$ 记幺半群环 $R{\otimes }_{\mathbb{S}}{\Sigma }_{+}^{\infty }M$, 以 ${\pi }_M$ 记 $\mathrm{im}({\pi }_0(M)\to {\pi }_0(R[M]))$, 是 ${\pi }_0(R[M])$ 的乘性子集.

定理 1.1. $R[M^{\text{gp}}]$ 是范畴$$\{R[M]\to A\mid A\in {\mathsf{Ring}}_{{\mathbb{E}}_1},\mathrm{im}({\pi }_M)\subseteq {\pi }_0(A{)}^{\times }\}$$的始对象.

证明. 对 ${\mathbb{E}}_1$-$R$-代数 $A$ 计算$$\begin{array}{rl}& \{f\in {\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Ring}}_{{\mathbb{E}}_1/R}}(R[M],A)\mid f({\pi }_M)\subseteq {\pi }_0(A{)}^{\times }\}\\ & =\{f\in {\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Mon}}_{{\mathbb{E}}_1}}(M,A)\mid f({\pi }_0(M))\subseteq {\pi }_0(A{)}^{\times }\}\\ & ={\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Mon}}_{{\mathbb{E}}_1}}(M,A^{\times })\\ & ={\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Grp}}_{{\mathbb{E}}_1}}(M^{\text{gp}},A^{\times })\\ & ={\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Ring}}_{{\mathbb{E}}_1/R}}(R[M^{\text{gp}}],A),\end{array}$$即得结论.

$\square$

推论 1.2. 设乘性子集 ${\pi }_R\subseteq {\pi }_{\ast }(R[M])$ 满足左 Ore 条件, 比如 ${\pi }_R$ 包含于 ${\pi }_{\ast }(R[M])$ 的中心. 则 ${\pi }_{\ast }(R[M^{\text{gp}}])={\pi }_R^{-1}{\pi }_{\ast }(R[M])$, 即 $R[M^{\text{gp}}]={\mathrm{colim}}_{m\in M}{m}^{-1}R[M]$ 作为右 $R[M]$-模, 其中 $m^{-1}R[M]$ 是一元生成自由模, 生成元叫 $m^{-1}$, 转移映射如记号所描述.

证明. 这是 [HA], 7.2.3.20.

$\square$

2${\mathbb{E}}_{\infty }$ 情形

本节设 $M$ 是 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群. 仍以 $M^{\text{gp}}$ 记 $M$ 的群化. 取 ${\pi }_0(M)$ 的一组生成元 $\{m_i{\}}_{i\in I}$, 其中指标集 $I$ 是序数. 把这些 ${\pi }_0(M)$ 的元素提升到 $M$, 仍记为 $m_i$. 对 $i\le I$ 归纳定义$$M_i=\{\begin{array}{ll}M,& i=0;\\ \mathrm{colim}(M_j\stackrel{m_j}{\to }{M}_j\stackrel{m_j}{\to }\cdots ),& i=j+1;\\ {\mathrm{colim}}_{j<i}{M}_j,& \text{i>0 为极限序数};\end{array}$$然后记 $M_{\infty }=M_I$. 由于 $M$ 是 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群, 被 $M$ 左作用的空间到自身的左乘映射是左等变的. 由此可把 $M_{\infty }$ 做成被 $M$ 左作用的空间, 带左等变自然映射 $M\to M_{\infty }$, 且 ${\pi }_0(M_{\infty })={\pi }_0(M{)}^{\text{gp}}$, ${\pi }_n(M_{\infty })={\mathrm{colim}}_{m\in {\pi }_0(M)}{\pi }_n(M,m)$, 对 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$. 对 $i\le I$ 归纳, 不难定义自然映射 $M_{\infty }\to M^{\text{gp}}$, 使得复合 $M\to M_{\infty }\to M^{\text{gp}}$ 是群化定义中的映射. 如果该自然映射给出 $M_{\infty }=M^{\text{gp}}$, 那么 $M^{\text{gp}}$ 就比较显式了. 可惜事与愿违:

例 2.1. 对 $n\in \mathbb{N}$, 以 ${\mathfrak{S}}_n$ 记 $n$ 元对称群. 令 $M={⨆}_{n\in \mathbb{N}}B{\mathfrak{S}}_n$ 为一元生成自由 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群, 则 ${\pi }_0(M)=\mathbb{N}$. 取 $m\in B{\mathfrak{S}}_1\subseteq M$, 作出$$M_{\infty }=\mathrm{colim}(M\stackrel{m}{\to }M\stackrel{m}{\to }\cdots )=\underset{n\in \mathbb{Z}}{⨆}B{\mathfrak{S}}_{\infty },$$其中 ${\mathfrak{S}}_{\infty }={\mathrm{colim}}_{n\in \mathbb{N}}{\mathfrak{S}}_n$. 然而 $M^{\text{gp}}$ 是一元生成自由 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群, 也就是 ${\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast$; 于是其同伦群是球谱的稳定同伦群, 与 $M_{\infty }$ 只在零阶、一阶非零的同伦群大相径庭.

如将 ${\mathfrak{S}}_{\infty }$ 看作 ${\mathbb{Z}}_{+}$ 的一些置换, 则 $M_{\infty }$ 上的乘以 $m$ 相当于把无交并处的下标平移 $1$, 然后把置换变成各个数加一, $1\in {\mathbb{Z}}_{+}$ 保持不动的置换, 因为 $M$ 中的乘以 $m$ 由自然含入 ${\mathfrak{S}}_1\times {\mathfrak{S}}_n\to {\mathfrak{S}}_{n+1}$ 诱导. 显然这并非同构, 这从另一方面说明 $M_{\infty }\ne M^{\text{gp}}$.

于是我们来刻画 $M_{\infty }$ 何时等于 $M^{\text{gp}}$.

命题 2.2. 以下几条等价:

1.	$M$ 在 $M_{\infty }$ 以同构作用, 即每个 $m\in M$ 在 $M_{\infty }$ 的作用都是同构.
2.	$M_{\infty }$ 是 $M$ 打到的被 $M$ 以同构作用的空间中初始者.
3.	$M_{\infty }=M^{\text{gp}}$, 作为带 $M$ 作用的空间.
4.	${\pi }_1(M_{\infty })$ 交换.
5.	${\pi }_1(M_{\infty })$ 亚交换.
6.	对任意 $i\in I$, 存在 $n>1$ 使得自然映射$${\mathfrak{S}}_n\to {\pi }_1(M,m_i^n)\to {\pi }_1(M_{\infty },m_i^n)$$的核包含 $n$ 阶轮换.

证明.

1 推 2	由 $M_{\infty }$ 的构造不难发现, 只要空间 $X$ 被 $M_{\infty }$ 以同构作用, 就有 ${\mathrm{Hom}}_M(M,X)={\mathrm{Hom}}_M(M_{\infty },X)$, 由此即得结论.
2 推 3	只需证 $M^{\text{gp}}$ 满足条件 2 中万有性质. 为此设 $X$ 被 $M$ 以同构作用, 且给定等变映射 $M\to X$, 亦即给定 $x\in X$. 以同构作用, 相当于作用由映射 $M\to \mathrm{Aut}(X)$ 给出; 由群化的定义, 它自然延拓为 $M^{\text{gp}}\to \mathrm{Aut}(X)$, 即 $M^{\text{gp}}$ 作用在 $X$ 上. 那么给定的 $x\in X$ 就给出 $M^{\text{gp}}\to X$. 这里每一步都是唯一的, 所以 $M^{\text{gp}}$ 满足条件 2 的万有性质.
3 推 4	${\mathbb{E}}_{\infty }$-群的基本群当然交换.
4 推 5	交换群当然亚交换.
5 推 6	取 $n=5$, 则交错群 ${\mathfrak{A}}_5$ 是完美群. 由 $M_{\infty }$ 的构造, 其所有的连通分支伦型都一样, 所以 ${\pi }_1(M_{\infty },m_i^5)$ 为亚交换群. 于是 ${\mathfrak{A}}_5$ 在映射的核中, 而五阶轮换在 ${\mathfrak{A}}_5$ 中.
6 推 1	只需证能够生成 ${\pi }_0(M)$ 的这些 $\{m_i{\}}_{i\in I}$ 在 $M_{\infty }$ 作用都可逆. 为此先对任意 $m\in M$ 以及带 $M$ 作用的空间 $X$ 观察构造$$X_m=\mathrm{colim}(X\stackrel{m}{\to }X\stackrel{m}{\to }\cdots ).$$一般地, $m^{\prime }\in M$ 在 $X_m$ 的作用由图表$$XXX\cdots XXX\cdots m{m}^{\prime }m{m}^{\prime }\tau m{m}^{\prime }\tau \tau mmm$$给出, 其中 $\tau =\tau (m,m^{\prime })$ 是交换 $m$ 和 $m^{\prime }$ 的 $2$-态射. 注意当 $m^{\prime }=m$ 时, $\tau$ 由自然映射 ${\mathfrak{S}}_2\to {\pi }_1(M,m^2)$ 下非平凡元素的像给出. 此时把上面映射复合一个图表平移, 得映射$$XXX\cdots XXX\cdots mmmm\tau mm\tau mmm$$注意只要 $\tau ={\mathrm{id}}_{m^2}$, 上面的图表映射的余极限就是 $\mathrm{id}$, 再上面那个图表映射的余极限就是同构. 但其实: ∘ 不需要 $\tau ={\mathrm{id}}_{m^2}$, 因为可以把上图每 $n-1$ 个平行四边形合为一个, 这样 $n-1$ 个 $2$-态射合起来就是 $n$ 阶轮换在映射 ${\mathfrak{S}}_n\to {\pi }_1(M,m^n)$ 下的像给出的态射, 从而只需这个是 ${\mathrm{id}}_{m^n}$. ∘ 也不需要它本身是 ${\mathrm{id}}_{m^n}$, 只需要在余极限 $X_m$ 上等于 ${\mathrm{id}}_{m^n}$, 上图的余极限就是同构. ∘ 同样, 由于我们只关心在 $M_{\infty }$ 是不是同构, 所以只需要 $n$ 阶轮换在映射 ${\mathfrak{S}}_n\to {\pi }_1(M_{\infty },m^n)$ 下的像是 ${\mathrm{id}}_{m^n}$, 而这就是条件 6. $\square$

推论 2.3. 如 $M$ 每个连通分支的同伦群都亚交换, 则 $M_{\infty }=M^{\text{gp}}$.

证明. 条件保证了命题 2.2 的条件 6 成立.

$\square$

最后我们用 $+$ 构造来较显式地写出 $M^{\text{gp}}$. 注意 $+$ 构造保持有限乘积, 所以 $M^{+}$ 自然从 $M$ 继承 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群结构. 由于 ${\pi }_0(M)={\pi }_0(M^{+})$, 可用完全相同的元素作 $(M^{+}{)}_{\infty }$.

定理 2.4. $(M_{\infty }{)}^{+}=(M^{+}{)}_{\infty }=M^{\text{gp}}$.

证明. 先证第一个等号. 由推论 2.3, $(M^{+}{)}_{\infty }=(M^{+}{)}^{\text{gp}}$, 故其基本群交换. 于是由 $+$ 构造的万有性质, 只需对基本群亚交换的空间 $X$ 证明 $\mathrm{Hom}(M_{\infty },X)=\mathrm{Hom}((M^{+}{)}_{\infty },X)$. 为此先对一个元素 $m\in M$ 观察$$M_m=\mathrm{colim}(M\stackrel{m}{\to }M\stackrel{m}{\to }\cdots ).$$注意$$\begin{array}{rl}\mathrm{Hom}(M_m,X)& =\lim (\cdots \stackrel{m}{\to }\mathrm{Hom}(M,X)\stackrel{m}{\to }\mathrm{Hom}(M,X))\\ & =\lim (\cdots \stackrel{m}{\to }\mathrm{Hom}(M^{+},X)\stackrel{m}{\to }\mathrm{Hom}(M^{+},X))\\ & =\mathrm{Hom}((M^{+}{)}_m,X);\end{array}$$将此计算超限迭代, 即可得到 $\mathrm{Hom}(M_{\infty },X)=\mathrm{Hom}((M^{+}{)}_{\infty },X)$.

再证第二个等号. 由推论 2.3, 只需证 $M^{\text{gp}}=(M^{+}{)}^{\text{gp}}$. 由于 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群各个连通分支的基本群都交换, 用 $+$ 构造的万有性质及其保持 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群结构不难得到结论.

$\square$

推论 2.5. ${\pi }_1(M_{\infty })$ 的换位子群完美.

证明. 这是因为 ${\pi }_1(M_{\infty })$ 商掉极大完美子群之后等于 ${\pi }_1((M_{\infty }{)}^{+})={\pi }_1(M^{\text{gp}})$, 为交换群.

$\square$

例 2.6. 记号承例 2.1. 则 $\mathbb{Z}\times (B{\mathfrak{S}}_{\infty }{)}^{+}=(M_{\infty }{)}^{+}=M^{\text{gp}}={\Omega }^{\infty }{\Sigma }_{+}^{\infty }\ast ={\Omega }^{\infty }\mathbb{S}$, 为球谱的无穷环路空间. 此即 Barratt–Priddy–Quillen 定理.

例 2.7. 令 $M$ 为有限维复线性空间关于直和构成的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群 ${⨆}_{n\in \mathbb{N}}B{\mathrm{GL}}_n(\mathbb{C})\simeq {⨆}_{n\in \mathbb{N}}BU(n)$, 取 $m\in BU(1)$ 作 $M_{\infty }$. 则由 $U(n)$ 都连通, $M$ 的各个连通分支基本群都平凡, 得 $M_{\infty }=M^{\text{gp}}$, 容易算出它等于 ${⨆}_{n\in \mathbb{Z}}B\mathrm{U}$, 其中 $\mathrm{U}={\mathrm{colim}}_{n\in \mathbb{N}}U(n)$. 常把这个 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群记作 $\mathrm{ku}$.

例 2.8. 设 $R$ 是环, 令 $M$ 为有限生成投射 $R$-模关于直和构成的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群, 即 ${⨆}_{P}B\mathrm{Aut}(P)$, 其中 $P$ 取遍有限生成投射模的同构类. 则不难算出 $M_{\infty }=K_0(R)\times B\mathrm{GL}(R)$, 其中 $\mathrm{GL}(R)={\mathrm{colim}}_{n\in \mathbb{N}}{\mathrm{GL}}_n(R)$. 所以 $M^{\text{gp}}=(M_{\infty }{)}^{+}=K_0(R)\times B{\mathrm{GL}(R)}^{+}$. 所以 Quillen $+$ 构造实际上就是群化.

3相关概念

•	$+$ 构造
•	Quillen $+$ 构造
•	Ore 条件
•	亚交换群

4参考文献

•	Jacob Lurie (2017). Higher Algebra. (pdf)

术语翻译

群化定理 • 英文 group completion theorem • 法文 théorème de symétrisation • 拉丁文 theorema de catervificatione • 古希腊文 θεώρημα ὁμαδισοῦ