Sierpiński 空间

Sierpiński 空间是一个拓扑空间, 它只有两个点, 其中一个点是开集, 而另一个点不是.

1定义

定义 1.1 (Sierpiński 空间). Sierpiński 空间是拓扑空间 $S=\{0,1\}$, 其所有开集是 $\varnothing ,\{1\},\{0,1\}$.

Sierpiński 空间可以画成如下的样子:其中, 点 $0$ 画得比较清晰, 因为它是闭点; 点 $1$ 画得比较模糊, 因为它是一般点.

2例子

•	任何离散赋值环的谱都同胚于 Sierpiński 空间.

3性质

命题 3.1. 设 $X$ 是拓扑空间, $U\subset X$ 是其子集. 则 $U$ 是开集当且仅当映射$$\begin{array}{rl}{\chi }_U:X& \to S,\\ x& \mapsto \{\begin{array}{ll}1,& x\in U,\\ 0,& x\notin U\end{array}\end{array}$$是连续映射, 其中 $S$ 是 Sierpiński 空间. 从而, 对任意拓扑空间 $X$, 有一一对应$$\begin{array}{rl}\{X\text{ 中的开集}\}& \simeq \mathsf{Top}(X,S),\\ U& \leftrightarrow {\chi }_U.\end{array}$$

命题 3.2. Sierpiński 空间上取值于范畴 $\mathcal{C}$ 的层其实就是 $\mathcal{C}$ 的一个态射.

4相关概念

•

有限拓扑空间

术语翻译

Sierpiński 空间 • 英文 Sierpiński space • 德文 Sierpiński-Raum • 法文 espace de Sierpiński