素谱

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

素谱是交换代数和代数几何中的基本构造. 给定交换环 $A$, 其素谱 $\mathrm{Spec}A$ 是一个拓扑空间, 其中的点对应于 $A$ 的素理想. 素谱也带有自然的几何结构, 即环化空间的结构, 从而成为仿射概形.

在代数–几何对偶下, 交换环 $A$ 作为代数对象, 其对应的几何对象就是其素谱 $\mathrm{Spec}A$. 直观来说, 我们将 $A$ 的元素视为 $\mathrm{Spec}A$ 上的函数, 从而 $\mathrm{Spec}A$ 上的所有函数构成的环恰为 $A$ 自身.

例如, 对域 $k$ 而言, $n$ 元多项式环 $A=k[x_1,\dots ,x_n]$ 的素谱就是 $k$ 上的 $n$ 维仿射空间, $\mathrm{Spec}A={\mathbb{A}}_k^n$, 也就是 $k$ 上的 $n$ 维向量空间 $k^n$ 在代数几何中的样子. 直观地看, $k^n$ 上的所有多项式函数构成的环就是 $n$ 元多项式环 $A$, 这与上述对代数–几何对偶的描述相符. 更严格地看, 若 $k$ 为代数闭域, 则由 Hilbert 零点定理, 知道向量空间 $k^n$ 的元素与 $A$ 的极大理想一一对应, 而 $A$ 的其余素理想则对应了 $\mathrm{Spec}A$ 中的一些 “多余的点”, 即一般点. 这些点虽然看似无用, 但却是现代代数几何中十分重要的工具.

1定义

作为拓扑空间

定义 1.1 (素谱). 设 $A$ 为交换环. 则 $A$ 的素谱, 简称谱, 指的是 $A$ 的所有素理想构成的集合, 记作 $\mathrm{Spec}A$. 它带有以下拓扑, 称为 Zariski 拓扑:

•	对理想 $I\subseteq A$, 定义其零点集为 $\mathrm{Spec}A$ 的子集$$V(I)=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A\mid I\subseteq \mathfrak{p}\}.$$我们规定, 子集 $S\subset \mathrm{Spec}A$ 是闭集, 当且仅当 $S$ 是某个理想 $I$ 的零点集, 即 $S=V(I)$.

这的确定义出拓扑, 因为:

•	$V(1)=\varnothing$, 即空集是闭集.

•	对理想 $I,J$, 由素理想的性质有 $V(IJ)=V(I)\cup V(J)$, 即两个闭集之并是闭集.

•	对一族理想 $(I_{\lambda }{)}_{\lambda \in \Lambda }$, $$\bigcap _{\lambda \in \Lambda }V(I_{\lambda })=V\left(\sum _{\lambda \in \Lambda }{I}_{\lambda }\right),$$即闭集的任意交是闭集.

我们称 $V(I)$ 为零点集, 因为可以将 $A$ 的元素视为 $\mathrm{Spec}A$ 上的函数, 故理想 $I$ 可视为 $\mathrm{Spec}A$ 上的一族函数. 子集 $V(I)$ 就是这些函数的公共零点构成的集合.

对 $a\in A$, 也以 $V(a)$ 记 $V((a))$, 即 $a$ 生成的主理想 $(a)$ 的零点集.

定义 1.2 (主开集). 对 $a\in A$, 记$$D(a)=\mathrm{Spec}A\setminus V(a),$$它是 $\mathrm{Spec}A$ 中开集, 称为 $a$ 对应的主开集.

作为环化空间

我们在拓扑空间 $\mathrm{Spec}A$ 上定义环层 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A}$, 从而将 $\mathrm{Spec}A$ 视为局部环化空间.

定义 1.3. 定义 $\mathrm{Spec}A$ 上的环层 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A}$ 如下:

•	对 $a\in A$, 在主开集 $D(a)$ 上, 定义$${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A}(D(a))=A[a^{-1}]$$为 $A$ 关于 $a$ 的局部化.

•	若 $D(b)\subseteq D(a)$, 则可验证 $a$ 在 $A[b^{-1}]$ 中可逆, 故有自然的限制映射 $A[a^{-1}]\to A[b^{-1}]$.

由以下命题 3.2, 主开集构成 $\mathrm{Spec}A$ 的拓扑基. 可以验证这里的定义了该拓扑基上的拓扑基上层, 从而给出了 $\mathrm{Spec}A$ 上的层.

可以验证 $(\mathrm{Spec}A,{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A})$ 为局部环化空间, 称为 $A$ 的素谱, 也即 $A$ 对应的仿射概形.

注意到以下特例.

•	${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A}$ 的整体截面环为 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A}(\mathrm{Spec}A)=A$, 因为 $\mathrm{Spec}A=D(1)$.

2例子

•	域 $k$ 的素谱是单点空间, $\mathrm{Spec}k=\{0\}$.

•	离散赋值环 $(R,\mathfrak{m})$ 的素谱是两个点 $0$ 与 $\mathfrak{m}$, $\{0\}$ 为开, $\{\mathfrak{m}\}$ 为闭, $\{0\}$ 的闭包包含 $\mathfrak{m}$.

•	整数环 $\mathbb{Z}$ 的素谱是$$\{(2),(3),(5),(7),\dots ,0\},$$其中开集为包含 $0$、补集有限的集合, 或者空集.

•	域上一元多项式环, 或一般的主理想整环的素谱, 都与上例类似, 包含各个非零素理想以及 $0$, 开集亦为包含 $0$、补集有限的集合, 或者空集.

•	$\mathbb{Z}[x]$ 的素谱就比较复杂. 它大体上有三层: 极大理想、主素理想、$0$. 每一层的点的闭包都只会包含自己以及前面的层的点. 换言之, 其 Krull 维数是 $2$.

•	Boole 环的素谱是其 Stone 空间. 更一般地, 如有紧 Hausdorff 完全不连通空间 $X$ 以及域 $k$, 环$$C(X,k)=\{\text{X 到 k 的局部常值函数}\}$$的素谱是 $X$.

3性质

拓扑性质

命题 3.1. 素谱总是 ${\text{T}}_0$, 但未必 ${\text{T}}_1$. $\mathrm{Spec}A$ 中, 点 $\mathfrak{p}$ 的闭包是$$\{\mathfrak{q}\in \mathrm{Spec}A\mid \mathfrak{q}\supseteq \mathfrak{p}\}.$$所以一个点是闭点当且仅当它是极大理想.

命题 3.2. 有限个主开集的交仍是主开集, 且主开集构成素谱的拓扑基.

命题 3.3. 素谱是紧空间, 且其中开集为紧当且仅当是有限个主开集之并, 亦即是有限生成理想的零点集之补.

命题 3.4. 对素谱 $\mathrm{Spec}A$ 的任一不可约闭子集 $Z$, 存在唯一一点 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$ 使得 $Z=\overline{\{\mathfrak{p}\}}$ 是其闭包, 此 $\mathfrak{p}$ 称为 $Z$ 的一般点. 换言之, 素谱都是朴实空间.

奇妙的是, 拓扑空间能否成为素谱, 刻画并不复杂:

定理 3.5 (Hochster). 拓扑空间 $X$ 是某个环的素谱, 当且仅当:

•	$X$ 是朴实空间.
•	$X$ 是紧空间.
•	$X$ 有紧开子集组成的拓扑基, 对有限交封闭.

证明. 证明复杂, 参见条目谱空间.

$\square$

作为位象

素谱作为拓扑空间视为位象, 可以无需提到素理想而描述.

命题 3.6. 沿用前文记号, $\mathrm{Spec}A$ 的开区域由一族元素 $D(f)$ 在有限交和任意并下自由生成, 其中 $f\in A$, 满足对于任何自然数 $n$ 都有$$\begin{array}{rl}D\left(\sum _{i=1}^n{f}_n\right)& \le \underset{i=1}{\overset{n}{\bigvee }}D(f_n),\\ D\left(\prod _{i=1}^n{f}_n\right)& =\underset{i=1}{\overset{n}{\bigwedge }}D(f_n).\end{array}$$

这些关系下自由生成的开区域与根式理想一一对应, 而这个位象的点集 $1\to \mathrm{Spec}A$ 与素理想一一对应. 因此这也可以作为使用素理想定义素谱的动机之一.

可以证明拓扑空间 $\mathrm{Spec}A$ 看作位象之后与该定义得到的位象同胚. 事实上当 $A$ 是多项式环时 —— 或者更一般的 Jacobson 环 —— 拓扑空间 $\mathrm{MaxSpec}A$ 对应的位象也如此. 由此可见素谱也可以看作是极大谱的朴实化. 此事的证明基本就是 Jacobson 环的零点定理.

因为位象是意象的去范畴化, 我们可以考虑这个位象对应的景. 其底预序的元素与 $A$ 的元素一一对应, 但是写作 $D(f),f\in A$ 以示区分. $D(f)\le D(g)$ 当且仅当 $\exists n\in \mathbb{N},h\in A,f^n=gh$. 一族元素 $D(f_i)$ 覆盖 $D(g)$ 当且仅当理想 $\sqrt{(f_1,\dots ,f_n)}=\sqrt{(g)}$. 这种表述与其他表述不同的是不涉及 $A$ 的幂集, 因此便于在直谓数学中使用.

4相关概念

•	极大谱
•	朴实空间
•	仿射概形
•	Zariski 景

术语翻译

素谱 • 英文 prime spectrum • 德文 Primspektrum • 法文 spectre premier • 拉丁文 spectrum primum • 古希腊文 πρῶτον φάσμα

主开集 • 英文 principal open • 德文 Hauptoffene • 法文 ouvert principal • 拉丁文 aperta principalis • 古希腊文 κύριον ἀνοικτόν