von Neumann 宇宙

集合论中, von Neumann 宇宙是 ZF 集合论里的所有集合构成的类, 带有 von Neumann 层级结构. 通常将其记作 $V$ 或 $\mathbf{V}$. 逻辑上, 它是在 ZF 集合论的框架下定义的; 认知上, 它则是 ZF 集合论的直观解释.

1定义

定义 1.1 (von Neumann 层级). 对序数 $\alpha$ 归纳定义集合 $V_{\alpha }$ 如下:

•	$V_0=\varnothing$.
•	$V_{\alpha +1}=\mathcal{P}(V_{\alpha })$, 其中 $\mathcal{P}$ 表示幂集.
•	对极限序数 $\alpha$, $V_{\alpha }={\bigcup }_{\beta <\alpha }{V}_{\beta }$.

由于 $y\subseteq x$ 推出 $\mathcal{P}(y)\subseteq \mathcal{P}(x)$, 不难归纳证明对 $\beta \le \alpha$ 有 $V_{\beta }\subseteq V_{\alpha }$. 这些 $V_{\alpha }$ 称为 von Neumann 层级.

定义 1.2 (von Neumann 宇宙). 定义类 $V={\bigcup }_{\alpha \in \text{Ord}}{V}_{\alpha }$, 称为 von Neumann 宇宙.

定义 1.3 (层级). 如集合 $x$ 属于 $V_{\alpha +1}$ 但不属于 $V_{\alpha }$, 换言之其包含于 $V_{\alpha }$ 但对任意 $\beta <\alpha$ 都不包含于 $V_{\beta }$, 则称 $x$ 的层级为 $\alpha$, 记作 $\mathrm{rank}(x)=\alpha$. 由以下定理 2.1 可以看到, 每个集合都有层级.

2性质

以下定理是其最基本的性质, 说明 von Neumann 层级的确穷尽 ZF 集合论中的所有集合. 它需要用到良基公理.

定理 2.1. 对任意集合 $x$ 都存在序数 $\alpha$ 使得 $x\in V_{\alpha }$.

证明. 以集合归纳法的形式使用良基公理. 记 $P(x)=\exists \alpha (\alpha \in \text{Ord}\wedge x\in V_{\alpha })$, 只需证$$\forall x(\forall y(y\in x\to P(y))\to P(x)).$$如 $x$ 的每个元素都属于某个 $V_{\alpha }$, 取这些 $\alpha$ 中最大者可设它们属于同一个 $V_{\alpha }$. 此时依定义 $x\in V_{\alpha +1}$, 命题得证.

$\square$

注 2.2. 反过来, 如从 $\text{ZF}-\text{WF}$ 即 ZF 去掉良基公理出发, 作 von Neumann 层级构造, 由以下命题 2.4 不难发现在所得 von Neumann 宇宙中良基公理成立. 由此可见$$\mathrm{Con}(\text{ZF}-\text{WF})⟹\mathrm{Con}(\text{ZF}).$$

命题 2.3. 每个 $V_{\alpha }$ 都是传递集合.

证明. 用归纳法. 由一族传递集合之并仍传递, 可得极限序数情形. 至于后继序数情形, 注意 $x\in V_{\alpha +1}$ 推出 $x\subseteq V_{\alpha }\subseteq V_{\alpha +1}$, 即得结论.

$\square$

命题 2.4. 对 $y\in x$ 有 $\mathrm{rank}(y)<\mathrm{rank}(x)$. 事实上有更强的命题: $$\mathrm{rank}(x)=\min \{\alpha \in \text{Ord}\mid \forall y(y\in x\to \mathrm{rank}(y)<\alpha )\}.$$

证明. 如 $y\in x$, $\mathrm{rank}(x)=\alpha$, 则由 $x\subseteq V_{\alpha }$ 知 $y\in V_{\alpha }$ 从而 $\mathrm{rank}(y)<\alpha$. 反过来如序数 ${\alpha }^{\prime }$ 满足对任意 $y\in x$ 都有 $\mathrm{rank}(y)<{\alpha }^{\prime }$ 即 $y\in V_{{\alpha }^{\prime }}$, 就有 $x\subseteq V_{{\alpha }^{\prime }}$ 从而 $\mathrm{rank}(x)\le {\alpha }^{\prime }$.

$\square$

推论 2.5. 对任意序数 $\alpha$, $\mathrm{rank}(\alpha )=\alpha$, $V_{\alpha }\cap \text{Ord}=\alpha$.

证明. 前半句话自然来自$$\min \{{\alpha }^{\prime }\in \text{Ord}\mid \forall \beta (\beta \in \alpha \to \beta <{\alpha }^{\prime })\}=\alpha ,$$因为序数 $\in$ 和 $<$ 是一回事. 后半句话来自前半句话和 $\mathrm{rank}$ 的定义.

$\square$

还有一些简单的模型论性质.

命题 2.6. $V_{\omega }$ 是 $\text{ZF}-\infty +\neg \infty$ 即 ZF 把无穷公理换成其否定的模型. 特别地, $$\text{ZF}⊢\mathrm{Con}(\text{ZF}-\infty +\neg \infty ).$$

命题 2.7. 对极限序数 $\alpha >\omega$, $V_{\alpha }$ 是 $\text{ZF}-\text{R}$ 即 ZF 去掉替换公理模式的模型.

3哲学观点

关于 von Neumann 宇宙和 ZF 公理系统, 大致有两种不同的哲学观点, 一种认为后者是数学世界而前者是其中定义出的对象, 一种认为前者是实在的对象而后者是其性质的总结. 采用哪种看法是个主观选择, 且对数学实践毫无影响. 编者在此采用前一种, 正如在一阶语言词条中认为一阶逻辑比集合论更基本.

4相关概念

•	不可达基数
•	Gödel 可构造宇宙
•	Grothendieck 宇宙
•	Boole 值 von Neumann 宇宙
•	高德纳箭头

术语翻译

von Neumann 宇宙 • 英文 von Neumann universe • 德文 von Neumann-Universum (n) • 法文 univers de von Neumann (m)

von Neumann 层级 • 英文 von Neumann hierarchy • 德文 von Neumann-Hierarchie (f) • 法文 hiérarchie de von Neumann (f)