Zermelo–Fraenkel 集合论

Zermelo–Fraenkel 集合论, 简称 ZF 集合论, 是一种公理化集合论. 它 (以及再加上一条选择公理的 ZFC 集合论) 是绝大部分现代数学的基石.

ZFC 集合论可以用一阶语言写出.

1历史

现代集合论的研究在 19 世纪 70 年代由 George Cantor 和 Richard Dedekind 开始. 从在朴素集合论中发现 Russell 悖论以来, 人们便希望能有个免于悖论的严格集合论.

1908 年, Ernst Zermelo 提出了首个公理集合论, Zermelo 集合论. 然而 Abraham Fraenkel 在其 1921 年给 Zermelo 的信中指出, 有些被当时集合论学家广泛接受的集合和基数, 如 ${\aleph }_{\omega }$ 与 $\{\omega ,\mathcal{P}(\omega ),\mathcal{P}(\mathcal{P}(\omega )),\dots \}$, Zermelo 集合论无法说明其存在性 (ZF 中的替换公理才保证其存在). 此外, Zermelo 集合论还引用了语句的「确定性」概念, 彼时尚没有操作性的定义. 1922 年, Fraenkel 和 Thoralf Skolem 独立给出了其操作性定义, 说这就是基本语句只有属于和等于的那些良定一阶语句. 他们还独立提出 Zermelo 的分出公理应换为替换公理. 在 Zermelo 集合论中加入替换公理和由 John von Neumann 提出的良基公理, 便得到 ZF 集合论. 再加上选择公理就得到 ZFC 集合论.

2语言

ZFC 集合论的语言只有一个谓词, 为属于, 是二元的, 记作 $\in$. 可像通常的理论一样加入二元谓词等于即 $=$, 也可不加入 $=$ 而用以下外延公理定义之.

3公理

以下列举 ZFC 集合论的公理.

外延公理

$$\forall x\forall y(x=y\leftrightarrow \forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y))$$可以认为这定义了谓词 $=$. 它表达的是两个集合元素一样便是一样的, 即集合由其外延决定.

空集公理

$$\exists x\forall y(\neg y\in x)$$即空集存在. 由外延公理, 它唯一, 记作 $\varnothing$. $\neg y\in x$ 也写作 $y\notin x$.

二元集公理

$$\forall x\forall y\exists z\forall w(w\in z\leftrightarrow (w=x\vee w=y))$$即对任意 $x,y$ 都存在集合 $z$ 恰包含 $x$ 和 $y$. 同样由外延公理, 这样的 $z$ 唯一, 记作 $\{x,y\}$, $x=y$ 时记作 $\{x\}$.

并公理

$$\forall x\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow \exists w(w\in x\wedge z\in w))$$即每一族集合都有并. 以上语句中 $x$ 即是要并的集族. 由外延公理以上 $y$ 唯一, 记作 $\cup x$ 或 ${\bigcup }_{w\in x}w$. 当 $x=\{a,b\}$ 时也记作 $a\cup b$.

幂集公理

如集合 $a,b$ 满足 $\forall x(x\in a\to x\in b)$, 即 $a$ 的元素都是 $b$ 的元素, 则称 $a$ 为 $b$ 的子集, 记作 $a\subseteq b$. 幂集公理为$$\forall x\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow z\subseteq x)$$即幂集存在. 同样以上 $y$ 唯一, 记作 $\mathcal{P}(x)$.

分出公理模式

对公式 $P(x,w)$, 只要变量 $u$ 在 $P$ 中不出现, 就有一条分出公理, 是公式$$\exists u\forall x(x\in u\leftrightarrow (x\in w\wedge P(x,w)))$$的全称闭包. ($P$ 中可以有其他自由变量.) 由外延公理, 以上 $u$ 唯一, 记作 $\{x\in w\mid P(x,w)\}$.

用分出公理模式可以定义交集: 对满足 $\exists xP(x)$ 的语句 $P(x)$, 取 $a$ 使 $P(a)$ 成立, 定义 $\cap P=\{y\in a\mid \forall x(P(x)\to y\in x)\}$, 显然这和 $a$ 的选取无关. 这也记作 ${\bigcap }_{P(x)}x$. 当 $P(x)$ 为 $x=a\vee x=b$ 时也记作 $a\cap b$.

替换公理模式

对公式 $Q(x,y,w)$, 只要变量 $z,u$ 在 $Q$ 中不出现, 就有一条替换公理, 是公式$$(\forall x\forall y\forall z((Q(x,y)\wedge Q(x,z))\to y=z))\to \exists u\forall y(y\in u\leftrightarrow \exists x(x\in w\wedge Q(x,y,w)))$$的全称闭包. ($Q$ 中可以有其他自由变量.) 满足 $\forall x\forall y\forall z((Q(x,y)\wedge Q(x,z))\to y=z)$ 的 $Q(x,y)$ 是映射的形式表达, 其定义在 $\exists yQ(x,y)$ 的 $x$ 上. 替换公理模式说的无非就是, 在能用公式表达出的映射之下, 集合的像仍是集合.

以上两个公理模式常被简称作公理. 实际上替换公理能推出分出公理: 取 $Q(x,y,w)$ 为 $P(x,w)\wedge y=x$ 即可. 但习惯上仍保留分出公理在 ZF 中.

良基公理

$$\forall x(x=\varnothing \vee \exists y(y\in x\wedge y\cap x=\varnothing ))$$该公理不太直观. 它大致在说所有的集合都在 von Neumann 宇宙中. 一般在实际做数学时并不用到它, 因为实际数学中做出的具体集合通常本就在 von Neumann 宇宙中.

无穷公理

$$\exists x(\varnothing \in x\wedge \forall y(y\in x\to y\cup \{y\}\in x\}))$$这保证自然数集存在. 自然数集定义为所有满足上式的 $x$ 的交, 按之前引入的记号即 $\mathbb{N}=\bigcap (\varnothing \in x\wedge \forall y(y\in x\to y\cup \{y\}\in x\}))$.

只有上面这些公理而无以下选择公理的理论称为 ZF 集合论.

选择公理

在陈述选择公理之前要先在 ZFC 中表达集合间的映射, 为此又得先介绍有序对.

用二元集公理定义有序对 $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$, 并对 $a,b$ 定义 $a\times b$ 为 $\{(x,y)\mid x\in a\wedge y\in b\}$, 严格按之前引入的记号写即 $\{z\in \mathcal{P}(\mathcal{P}(a\cup b))\mid \exists x\exists y(x\in a\wedge y\in b\wedge z=(x,y))\}$.

映射 $f:a\to b$ 指的是 $f\subseteq a\times b$ 满足 $\forall x(x\in a\to \exists !y(y\in b\wedge (x,y)\in f))$, 其中 $\exists !yP(y)$ 即存在唯一, 是 $\exists yP(y)\wedge \forall y\forall z((P(y)\wedge P(z))\to y=z)$ 的简写. 也就是说, 映射指的是它的图像. 当然, 对于 $x\in a$, $f(x)$ 指的就是那个 $y$, 满足 $(x,y)\in f$.

那么选择公理就是$$\forall x(\varnothing \notin x\to \exists f((f:x\to \cup x)\wedge \forall y(y\in x\to f(y)\in y)))$$即每个由非空集组成的族都有选择函数. 该公理众所周知, 更多相关内容参见词条选择公理.

4基本构造

序数

(...)

基数

(...)

模型

(用 ZFC 中的集合给一阶语言以语义)

(...)

5元数学

类与 NBG 集合论

类在 ZFC 中指的是带一个自由变元的语句, 形如 $P(x)$. 如存在集合 $p$, $\forall x(P(x)\leftrightarrow x\in p)$, 则称类 $P$ 为集合, 否则称为真类. ZFC 中类不被量化. ZFC 有个保守扩张 NBG 集合论, 将类也作为被量化的讨论对象. NBG 与 ZFC 的另一个不同点是其只有有限条公理 (ZFC 中有公理模式, 实际上是无穷条公理).

相容性

•	Gödel 不完备性定理
•	(...) ($\mathrm{Con}(\text{ZF}-\text{良基})\to \mathrm{Con}(\text{ZF})\to \mathrm{Con}(\text{ZF}+\mathbf{V}=\mathbf{L})$)

不可决定的命题

•	连续统假设
•	Martin 公理
•	Whitehead 问题
•	(...)

6相关概念

术语翻译

Zermelo–Fraenkel 集合论 • 英文 Zermelo–Fraenkel set theory • 德文 Zermelo–Fraenkel-Mengenlehre • 法文 Théorie des ensemble de Zermelo–Fraenkel