非分歧态射

在代数几何中, 非分歧态射是一类概形态射, 是指没有分歧点的态射, 是微分几何中流形之间浸入的类比.

例如, 考虑态射 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, 定义为$$f(z)=z^n,$$其中 $n\ge 2$. 则 $f$ 有一个分歧点 $z=0$, 但除此之外没有别的分歧点. 因此, $f{|}_{\mathbb{C}\setminus \{0\}}$ 是非分歧态射. 事实上, 该限制不仅非分歧, 还是平展态射. 又例如, 闭浸入都是非分歧态射, 但一般不平展.

在代数–几何对应下, 非分歧态射对应于环之间的非分歧同态.

1定义

定义 1.1 (非分歧态射). 称概形态射 $f:X\to Y$ 为非分歧态射, 如果下列等价条件成立.

1.	$f$ 局部有限型, 且 Kähler 微分层 ${\Omega }_{X/Y}=0$.
2.	对任意 $x\in X$, 存在仿射开集 $x\in U\simeq \mathrm{Spec}A$ 及 $f(x)\in V\simeq \mathrm{Spec}R$, 使得 $f(U)\subset V$, 且诱导的环同态 $R\to A$ 是非分歧同态.
3.	对任意仿射开集 $U\simeq \mathrm{Spec}A\subset X$ 及 $V\simeq \mathrm{Spec}R\subset Y$, 若 $f(U)\subset V$, 则诱导的环同态 $R\to A$ 是非分歧同态.
4.	$f$ 局部有限型、形式非分歧.
5.	$f$ 局部有限型, 且对任意 $y\in Y$, 纤维 $X_y$ 是若干离散点, 每个点是剩余域 $\kappa (y)$ 的一个有限可分扩张的素谱.
6.	$f$ 局部有限型, 且对任意 $y\in Y$, 几何纤维 $X_{\overline{y}}$ 是若干离散点, 每个点都同构于 $\mathrm{Spec}\overline{\kappa (y)}$, 其中 $\overline{\kappa (y)}$ 是剩余域 $\kappa (y)$ 的代数闭包.

注 1.2. 在文献中, 有时要求 $f$ 局部有限表现, 而不是上面定义中的局部有限型. 在环的非分歧同态的定义中, 也有此区分. 但当 $Y$ 局部 Noether 时, 两者等价.

2性质

命题 2.1. 非分歧态射的复合、基变换仍是非分歧态射.

证明. 由非分歧同态的相应性质可得.

$\square$

命题 2.2. 概形间的开浸入、闭浸入、浸入都是非分歧态射.

证明. 由于非分歧是局部性质, 而开浸入是局部同构, 故开浸入非分歧. 闭浸入对应环满射, 而满射都是非分歧同态, 故闭浸入非分歧. 浸入是开浸入与闭浸入的复合, 故非分歧.

$\square$

命题 2.3. 态射 $f:X\to Y$ 非分歧, 当且仅当它局部有限型, 且对角态射 ${\Delta }_f:X\to X{\times }_{Y}X$ 是开浸入.

证明. 由非分歧同态的相应性质可得.

$\square$

3相关概念

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非分歧同态

术语翻译

非分歧态射 • 英文 unramified morphism • 法文 morphisme non-ramifié (m)