对角态射

对范畴 $\mathcal{C}$ 中的对象 $X$, 其对角态射是形如$$\begin{array}{rl}{\Delta }_X:X& ⟶X\times X,\\ x& ⟼(x,x)\end{array}$$的态射. 对角态射是对角映射在范畴论中的推广.

1定义

定义 1.1 (对象的对角线). 设范畴 $\mathcal{C}$ 有有限积, $X\in \mathcal{C}$. 则 $X$ 的对角态射, 或称对角线, 指的是态射$${\Delta }_X:X\to X\times X,$$由以下图表唯一确定: $$XX\times XXX\text{ ,}{\Delta }_X{1}_X{1}_X{p}_2{p}_1$$其中 $p_1,p_2:X\times X\to X$ 是向各分量的投影.

定义 1.2 (态射的对角线). 设范畴 $\mathcal{C}$ 有纤维积, $f:X\to Y$ 是 $\mathcal{C}$ 中态射. 则 $f$ 的对角态射, 或称对角线, 指的是态射$${\Delta }_f:X\to X{\times }_{Y}X,$$由以下图表唯一确定: $$XX{\times }_{Y}XXXY\text{ .}{\Delta }_f{1}_X{1}_X{p}_2{p}_1┌ff$$态射 ${\Delta }_f$ 也常常记为 ${\Delta }_{X/Y}$.

注 1.3. 映射 $f:X\to Y$ 的对角线就是 $f$ 作为俯范畴 ${\mathcal{C}}_{/Y}$ 的对象的对角线, 因为 ${\mathcal{C}}_{/Y}$ 中的二元积就是 $\mathcal{C}$ 中在 $Y$ 上的纤维积. 反之如 $\mathcal{C}$ 有终对象 $\ast$, 则对象 $X\in \mathcal{C}$ 的对角线就是映射 $X\to \ast$ 的对角线.

2性质

本节中总是假设所需的积、纤维积存在.

命题 2.1. 对角态射总是单态射. 一个态射是单态射当且仅当其对角态射是同构.

证明.

证明. 注意往任一分量的投影都是对角态射的左逆, 立得对角态射总是单. 至于后一句话, 由于一个态射是单射 (同构) 当且仅当对任一对象 $c$ 把 $\mathrm{Hom}(c,-)$ 作用上去之后是集合单射 (同构), 而命题只涉及极限构造, 故作用 $\mathrm{Hom}(c,-)$, 可化归到集合范畴. 此时具体写出元素, 结论便是显然的.

$\square$

以下命题将对角线、乘积、纤维积三者联系起来. 它被 Ravi Vakil 称为 “魔法图表”.

命题 2.2. $\mathcal{C}$ 是范畴, $f:X\to Z$, $g:Y\to Z$ 是 $\mathcal{C}$ 中态射. 则$$X{\times }_{Z}YZX\times YZ\times Zf\times g\mathrm{id}\times \mathrm{id}{\Delta }_{Z}f\times g$$是拉回图表.

证明.

证明. 依定义, 一个图表是拉回当且仅当对任一 $c\in \mathcal{C}$, 其在作用 $\mathrm{Hom}(c,-)$ 之后是集合范畴的拉回. 而命题中所有东西都是极限, 都和 $\mathrm{Hom}(c,-)$ 交换, 所以只需在集合范畴中验证. 这样由集合纤维积的定义命题显然.

$\square$

以下元定理在代数几何中比较常用.

定理 2.3. $\mathcal{C}$ 是范畴, $\mathcal{P}$ 是 $\mathcal{C}$ 中态射的一个性质, 对复合和基变换封闭. $f:X\to Y$ 和 $g:Y\to S$ 是 $\mathcal{C}$ 中映射. 如复合态射 $gf$ 满足 $\mathcal{P}$, 对角线 ${\Delta }_g$ 也满足 $\mathcal{P}$, 则有映射 $f$ 满足 $\mathcal{P}$.

证明. 把 $f$ 分解为图像态射 ${\Gamma }_f:X\to X{\times }_{S}Y$ 和投影 $\pi :X{\times }_{S}Y\to Y$ 的复合. $\pi$ 是 $gf$ 的基变换, 所以它满足 $\mathcal{P}$; 对 ${\mathcal{C}}_{/S}$ 中态射 $f$, ${\mathrm{id}}_Y$ 用命题 2.2, 知 ${\Gamma }_f$ 沿图表$$XYX{\times }_{S}YY{\times }_{S}Yf{\Gamma }_f{\Delta }_{g}f\times \mathrm{id}$$是 ${\Delta }_g$ 的基变换, 所以它也满足 $\mathcal{P}$; 所以它们的复合 $f$ 满足 $\mathcal{P}$.

$\square$

3无穷范畴中的对角线

(定义. 关于 $n$-截断. 如有 ${\Delta }_{!}={\Delta }_{\ast }$ 则有 $f_{!}\to f_{\ast }$. 从而要求对角线满足某性质是更基本的要求.)

4相关概念

•	单态射
•	分离态射

术语翻译

对角态射 • 英文 diagonal morphism • 德文 diagonaler Morphismus • 法文 morphisme diagonal • 拉丁文 morphismus diagonalis • 古希腊文 διαγώνιος μορφισμός