代数空间

在代数几何中, 代数空间是概形的一种推广. 大致来说, 概形是局部上同构于仿射概形的空间, 也就是由仿射概形在 Zariski 拓扑下粘出来的空间, 而代数空间则是仿射概形在更细的拓扑下, 例如在平展拓扑下, 粘出的空间. 这种更细的拓扑赋予仿射概形更多 “开集”, 因此也就有更多的粘法.

例如, 若有限群 $G$ 作用于概形 $X$, 且该作用是自由作用, 则直观来说, 商空间 $X/G$ 应该在局部上看起来像是 $X$. 但实际上, $X/G$ 不一定是概形, 因为概形的 Zariski 拓扑太粗, 导致这里的 “局部” 并不总能用 Zariski 开集来描述. 但 $X/G$ 总是代数空间, 因为平展拓扑提供了足够多的开集.

1定义

代数空间通常通过函子观点来定义. 也就是说, 为了定义代数空间 $X$, 我们只需对每个概形 $T$ 指定一个态射集 $\mathrm{Hom}(T,X)$, 而 $X$ 的所有信息都由这些态射集给出.

定义 1.1. 设 $S$ 是概形. 则 $S$ 上的代数空间是指函子$$X:({\mathsf{Sch}}_{/S}{)}^{\mathrm{op}}⟶\mathsf{Set},$$即 ${\mathsf{Sch}}_{/S}$ 上的预层, 其中 ${\mathsf{Sch}}_{/S}$ 是概形范畴于 $S$ 上的俯范畴, 也即 $S$ 上的大平展景, 并满足以下条件:

•	该预层关于 ${\mathsf{Sch}}_{/S}$ 的平展拓扑是层, 即构成大平展景上的层.

•	存在 $S$-概形 $U$ 及态射 $\pi :U\to X$, 称为 $X$ 的图册, 它是平展态射、满射.

在上述第二条中, 我们自然地将概形 $U$ 等同于其表出的层 $h_U={\mathsf{Sch}}_{/S}(-,U)$, 而 $\pi$ 是层的态射; 称 $\pi$ 为平展态射、满射, 是说对任意 $S$-概形 $T$ 和任意态射 $T\to X$, 若考虑层范畴中的拉回$$T^{\prime }UTX\text{ ,}{\pi }^{\prime }┌\pi$$则 $T^{\prime }$ 也一定是概形, 且 ${\pi }^{\prime }$ 是概形间的平展态射、满射.

在上述定义中, 可以将 ${\mathsf{Sch}}_{/S}$ 换成其中由仿射概形构成的全子范畴 ${\mathsf{Aff}}_{/S}$, 得到的定义是等价的; 另一方面, 也可以将平展拓扑换成平坦拓扑, 而得到等价的概念.

2参考文献

关于代数空间的详细介绍:

•	The Stacks project.

3相关概念

术语翻译

代数空间 • 英文 algebraic space • 德文 algebraischer Raum (m) • 法文 espace algébrique (m)