Graßmann 形

Graßmann 形是射影空间的推广: 域 $k$ 上射影空间 $\mathbb{V}$ 是 $k$-线性空间 $V$ 中所有一维子空间构成的空间, 而域上 Graßmann 形 $\mathbf{G}(n,V)$ 则是 $V$ 中所有 $n$ 维子空间构成的空间. 在微分几何和代数几何中, Graßmann 形均可赋予相应的结构, 分别称为 Graßmann 流形和 Graßmann 概形.

Graßmann 形可以嵌入到射影空间中, 称为 Plücker 嵌入, 这使它有良好的几何性质, 例如在域 $k$ 取 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 时它紧, 且在代数几何中它是射影概形.

Graßmann 形上另一个重要构造是 Schubert 胞腔, 它们给出了 Graßmann 形上的胞腔结构, 且在相交下表现良好, 从而通过它们能计算出 Graßmann 形的周环和上同调.

由于向量空间空间的自同构群在 $n$ 维子线性空间上作用传递, Graßmann 形还有齐性空间的结构.

1定义

作为集合

定义 1.1 (Graßmann 形). 给定域 $k$ 和 $k$-向量空间 $V$, Graßmann 形 $\mathbf{G}(n,V)$ 是 $V$ 上所有 $n$ 维线性子空间构成的集合. 当 $V$ 取为 $k^N$ 时, $\mathbf{G}(n,k^N)$ 也记作 $\mathbf{G}(n,N)$. 子空间 $W$ 在 $\mathbf{G}(n,V)$ 中对应的点记作 $[W]$.

例 1.2. 作为最简单的例子, $n=0$ 或 $\dim V$ 时 $\mathbf{G}(n,V)$ 就是一个点. $n=1$ 时 $\mathbf{G}(n,V)$ 就是射影空间 $\mathbb{P}(V)$. $n=\dim V-1$ 时, $\mathbb{G}(n,V)$ 是对偶空间 $V^{\ast }$ 的射影空间 $\mathbb{P}(V^{\ast })$.

作为流形

主条目: Graßmann 流形

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作为概形

主条目: Graßmann 概形

定义 1.3 (Graßmann 概形). 对概形 $S$, Graßmann 概形 $\mathbf{G}(n,N{)}_S$ 是由函子$$\begin{array}{rl}{\mathsf{AffSch}}_{/S}& \to \mathsf{Set}\\ \mathrm{Spec}(A)& \mapsto \{秩n直和项M\subset A^N\}\end{array}$$决定的概形.

2性质

Plücker 嵌入

主条目: Plücker 嵌入

Graßmann 形可以嵌入至射影空间中.

定义 2.1 (Plücker 嵌入). Plücker 嵌入指映射$$\begin{array}{rl}\mathbf{G}(n,V)& \to \mathbb{P}({\wedge }^{n}V)\\ [W]& \mapsto {\wedge }^{n}W.\end{array}$$

在微分几何中此嵌入是闭嵌入, 在代数几何中此嵌入是闭浸入.

Schubert 簇和 Schubert 胞腔

主条目: Schubert 胞腔

Graßmann 形上有自然的胞腔结构.

定义 2.2 (Schubert 簇). 设 $\dim V=N$, 对于 $V$ 中的旗 $\mathcal{V}$ $$0⊊V_1⊊V_2\cdots ⊊V_N=V$$以及满足$$N-n\ge a_1\ge a_2\cdots \ge a_n\ge 0$$的一组自然数 $a=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$, Schubert 簇是 $\mathbf{G}(n,V)$ 的如下子集$${\Sigma }_a(\mathcal{V}):=\left\{[W]\in \mathbf{G}(n,V)\mid \forall i,\dim (V_{N-n+i-a_i}\cap W)\ge i\right\}.$$它们也可看作 $\mathbf{G}(n,V)$ 的闭子概形.

定义 2.3 (Schubert 胞腔). 记号同上, 如下子集$$X_a(\mathcal{V}):={\Sigma }_a(\mathcal{V})\backslash \left(\bigcup _{a^{\prime }\ge a}{\Sigma }_{a^{\prime }}(\mathcal{V})\right)$$被称为一个 Schubert 胞腔, 求并对全体满足 $a_i^{\prime }\ge a_i$ 对一切 $i$ 成立的 $a^{\prime }=(a_i^{\prime }{)}_{i=1}^n$ 进行.

它们也可看作 $\mathbf{G}(n,V)$ 的局部闭子概形.

此定义看似抽象, 实际上就是在模拟矩阵消元. (...)

齐性空间结构

(...)

3相关概念

•	射影空间
•	仿射 Graßmann 形
•	旗簇、旗流形
•	分类空间
•	Schubert 胞腔
•	Fano 概形

术语翻译

Graßmann 形 • 英文 Grassmannian • 法文 Grassmannienne (f)