内射模

内射模是模范畴中的内射对象, 即使得函子 ${\mathrm{Hom}}_A(-,I)$ 正合的 $A$-模 $I$.

1定义

定义 1.1 (投射模). 对环 $A$, $A$-模 $I$ 称为内射模, 如果函子 ${\mathrm{Hom}}_A(-,I)$ 正合. 即对任意正合列 $0\to M^{\prime }\to M\to M^{\prime \prime }\to 0$, 有正合列$$0\to {\mathrm{Hom}}_A(M^{\prime \prime },I)\to {\mathrm{Hom}}_A(M,I)\to {\mathrm{Hom}}_A(M^{\prime \prime },I)\to 0.$$

注 1.2. 由于对任意 $A$-模 $M$, 函子 ${\mathrm{Hom}}_A(-,M)$ 是左正合的, 因此内射模定义等价于此函子把单射映至满射.

2性质

命题 2.1 (Baer 判别法). 以下二者等价:

•	$I$ 是内射模.
•	对 $A$ 的任意理想 $\mathfrak{a}$ 以及同态 $f:\mathfrak{a}\to I$, 存在同态 $\tilde{f}:A\to I$ 在 $\mathfrak{a}$ 上限制为 $f$.

命题 2.2 (足够内射对象). 对任意模 $M$, 存在内射模 $I$ 与单射 $M\to I$.

上面两个命题的证明参见条目 Grothendieck Abel 范畴.

命题 2.3 (直积、直和). 内射模的直积内射. 如 $A$ 是左 Noether 环, 内射左 $A$-模的直和内射.

证明. 前一句话是因为 $\mathrm{Hom}$ 和第二个分量的直积交换, 而满射的直积还是满射. 后一句话是因为 Baer 判别法: 左 Noether 环的左理想都有限生成, 有限生成理想到一个直和的映射总穿过其中有限个分量的直和, 而有限直和等于有限直积, 然后用前一句话即可.

$\square$

命题 2.4 (与投射模的关系). 如 $A$ 是域 $k$ 上代数, $M$ 是左 $A$-模且是有限维 $k$-向量空间, 则 $M$ 是投射左 $A$-模当且仅当 ${\mathrm{Hom}}_k(M,k)$ 是内射右 $A$-模, 反之亦然.

命题 2.5 (与平坦模的关系). 对一般的环 $A$, 左 $A$-模 $M$ 平坦当且仅当右 $A$-模 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ 内射.

证明. 左 $A$-模 $M$ 平坦等价于对任意右 $A$-模单射 $N^{\prime }\to N$ 有 $N^{\prime }{\otimes }_{A}M\to N{\otimes }_{A}M$ 单. 由函子 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(-,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ 忠实、正合, 这等价于 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(N{\otimes }_{A}M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\to {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(N^{\prime }{\otimes }_{A}M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ 满, 亦即 ${\mathrm{Hom}}_A(N,{\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}))\to {\mathrm{Hom}}_A(N^{\prime },{\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}))$ 满, 即右 $A$-模 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ 内射.

$\square$

命题 2.6 (与可除模的关系). 如 $A$ 是整环, 其上内射模为可除模. 如 $A$ 是主理想整环, 内射模与可除模二者等价.

证明. 这是 Baer 判别法的立即推论.

$\square$

3例子

•	$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 上内射模.

4相关概念

•	自由模
•	平坦模
•	投射模
•	内射包
•	Grothendieck Abel 范畴

术语翻译

内射模 • 英文 injective module • 德文 Injektiver Modul • 法文 module injectif • 拉丁文 modulus injectivus • 古希腊文 ἑνιετικὸν πρότυπον