代数叠

代数叠 (又称为 Artin 叠) 是一种叠, 是在代数几何的意义下, 带有几何结构的叠.

直观来说, 代数叠是看起来像概形, 但更一般的空间. 其与概形的主要区别在于, 代数叠中的点可以有非平凡的自同构群. 例如, 对代数群 $G$ , 其解环群胚 $[* / G]$ 具有代数叠的结构, 也称为 $G$ -主丛的分类叠. 该叠只有一个点, 但该点具有非平凡的自同构群 $G$ .

代数叠是 Deligne–Mumford 叠的推广. 大致说, 在代数叠中, 点的自同构群可以是任何代数群, 但在 Deligne–Mumford 叠中, 点的自同构群一定是离散的有限群. 而两者又都是代数空间的推广. 在代数空间中, 不允许点具有非平凡的自同构群.

1定义

设 $S$ 是概形, 记 $Sch_{S}$ 为 $S$ -概形的范畴. 选取下列几种 Grothendieck 拓扑之一, 以将 $Sch_{S}$ 视为景:

我们称景 $Sch_{S}$ 上的叠为 “ $S$ -叠”.

当然, 选取不同的拓扑将会得到不同的 $S$ -叠的概念, 但最后定义出的代数叠的概念其实是相同的, 见 [Laumon–Moret-Bailly 2000, §9].

定义 1.1 (可表态射). 称 $S$ -叠的态射 $f : X \to Y$ 为可表态射, 如果对任何 $S$ -概形 $U$ , 及任何 $S$ -叠的态射 $U \to Y$ , $S$ -叠的纤维积 $U \times_{Y} X$ 都是 $S$ 上的代数空间.

直观来说, 我们把可表态射想成是纤维都是代数空间 (而不是叠) 的态射.

概形态射的某些性质, 例如光滑等, 被拉回保持. 这些性质可以自然推广到 $S$ 上代数空间的态射, 进而自然推广到 $S$ -叠的可表态射:

定义 1.2 (可表态射性质). 设 $P$ 是一种代数空间态射性质, 例如光滑等, 并假设 $P$ 被拉回保持.

称 $S$ -叠的可表态射 $f : X \to Y$ 具有性质 $P$ , 如果对任何 $S$ -概形 $U$ , 及任何 $S$ -叠的态射 $U \to Y$ , 将 $f$ 沿之拉回得到的代数空间态射 $U \times_{Y} X \to U$ 都具有性质 $P$ .

定义 1.3 (代数叠). 设 $S$ 是概形, 在 $Sch_{S}$ 上选取上述一种拓扑. 定义 $S$ 上的代数叠为景 $Sch_{S}$ 上的叠 $X$ , 满足以下条件:

•	存在 $S$ -概形 $U$ , 以及可表态射 $π : U \to X$ , 称为 $X$ 的图册, 它在定义 1.2 的意义下光滑、满.

直观来说, 上述定义中的额外条件表明, 与一般的 $S$ -叠相比, 代数叠还应具有类似概形的几何结构: 正如流形可以被 Euclid 空间覆盖, 代数叠总可以被概形覆盖.

注 1.4. 在多数文献中, 还要求代数叠 $X$ 满足下列性质:

•	对角态射 $Δ_{X / S} : X \to X \times_{S} X$ 是可表态射.

此性质是为了保证任何从概形出发的态射 $π : U \to X$ 都是可表态射. 然而, 我们的定义假设了 $X$ 具有可表的图册, 这蕴涵了上述条件, 因此不必加入该条件.

另外, 有的文献中, 还要求代数叠 $X$ 满足下列性质:

•	对角态射 $Δ_{X / S}$ 是拟紧态射. 换言之, $X$ 拟分离.

•	对角态射 $Δ_{X / S}$ 是分离态射.

我们采取更一般的定义, 不要求代数叠满足这些性质, 正如我们一般也不假定所有概形都拟分离.

以下设 $S$ 是概形, $X$ 是 $S$ 上的代数叠.

•	对角态射 $Δ_{X / S} : X \to X \times_{S} X$ 是可表态射.

•

(...)

经典的教科书:

•	Gérard Laumon, Laurent Moret-Bailly (2000). Champs algébriques. Ergeb. Math. Grenzgeb., 3. Folge 39. Springer. (zbMATH)

从例子出发的介绍文章:

•	Tomás L. Gómez (2001). “Algebraic stacks”. Proc. Indian Acad. Sci., Math. Sci. 111 (1), 1–31. arXiv: math/9911199 [math.AG]. (doi) (zbMATH)