浸入 (代数几何)

关于其它含义, 请参见 “浸入”.

概形间浸入是开浸入和闭浸入的复合, 对应于微分几何中流形的嵌入. (微分几何中浸入则大致对应于非分歧态射.)

1定义

定义 1.1. 称概形态射 $i:Z\to X$ 为浸入, 如果它可以分解为 $Z\to Y\to X$, 其中 $Z\to Y$ 为闭浸入, $Y\to X$ 为开浸入. 此时 $Z$ 称为 $X$ 的子概形.

注 1.2. 把上述定义中 “开” 和 “闭” 反过来会变得更强, 但在 $i$ 为拟紧或 $Z$ 为既约时两者等价, 见命题 2.5. 这一更强的概念有时称为 “H-浸入”, 其中 H 指 Hartshorne.

与闭子概形类似, 子概形并不能由它的底空间决定. 不过可以对概形的局部闭子空间赋予较为典范的概形结构, 即 “既约子概形”.

定义 1.3 (既约子概形). 对局部闭子空间 $Z\subseteq X$, 取开集 $Y\subseteq X$ 使 $Z$ 在 $Y$ 中闭, 则 $Y$ 典范地成为 $X$ 的开子概形. 称 $Z$ 在 $Y$ 中的既约闭子概形结构为 $Z$ 的既约子概形结构, 不难发现这不依赖 $Y$ 的选取.

2性质

命题 2.1. 浸入关于复合和基变换封闭, 且关于大概形是局部性质.

注 2.2 (子概形的交). 于是对 $X$ 的子概形 $Z$ 和 $Z^{\prime }$, $Z{\times }_X{Z}^{\prime }$ 也是 $X$ 的子概形. 常将其称为 $Z$ 和 $Z^{\prime }$ 的交, 记为 $Z\cap Z^{\prime }$.

命题 2.3. 浸入是

•	概形范畴单态射.
•	非分歧态射.

命题 2.4. 像集闭的浸入是闭浸入.

在 $Z$ 满足一定条件时, 可以把定义中开浸入和闭浸入的顺序反过来.

命题 2.5. 对浸入 $i:Z\to X$, 如 $i$ 拟紧或 $Z$ 既约, 则 $i$ 可分解为 $Z\to \overline{Z}\to X$, 其中 $Z\to \overline{Z}$ 是开浸入, $\overline{Z}\to X$ 是闭浸入, 且为 $i$ 的概形论像.

证明. 如 $i$ 拟紧, 则由浸入总是单态射, 单态射都拟分离, 知其拟紧拟分离. 于是 $i_{\ast }{\mathcal{O}}_Z$ 是 $X$ 上拟凝聚层. 记 $\mathcal{I}=\ker ({\mathcal{O}}_X\to i_{\ast }{\mathcal{O}}_Z)$, 则它是拟凝聚理想层, 取 $\overline{Z}$ 为它对应的闭子概形. 如 $Z$ 既约, 取 $\overline{Z}$ 为其点集闭包的既约闭子概形结构. 不论哪种情况, 都有自然映射 $Z\to \overline{Z}$, 只需证它是开浸入. 为此, 取 $X$ 的开子概形 $Y$, 使 $Z$ 是其闭子概形. 在两种情况下, 都容易发现 $Z=\overline{Z}\cap Y$, 于是 $Z\to \overline{Z}$ 是 $Y\to X$ 的基变换, 也是开浸入.

$\square$

3例子

例 3.1. 浸入最重要的例子是对角态射. 对概形态射 $X\to S$, ${\Delta }_{X/S}:X\to X{\times }_{S}X$ 总是浸入. 为证明此事, 由局部性可设 $S=\mathrm{Spec}R$ 仿射. 然后取 $X$ 的仿射开覆盖 $X={\bigcup }_{i\in I}{U}_i$, $U_i=\mathrm{Spec}{A}_i$. 则 ${\Delta }_{X/S}$ 基变换到 $U_i{\times }_S{U}_i$ 上是环满射 $A_i{\otimes }_R{A}_i\to A_i$ 对应的概形态射, 是闭浸入, 所以 ${\Delta }_{X/S}$ 是闭浸入 $X\to {\bigcup }_{i\in I}{U}_i{\times }_S{U}_i$ 和开浸入 ${\bigcup }_{i\in I}{U}_i{\times }_S{U}_i\to X{\times }_{S}X$ 的复合, 故为浸入.

例 3.2. 对环 $A$ 及其理想 $I$、元素 $f$, 环同态 $A\to (A/I{)}_f$ 诱导的概形态射可以分解为$$\mathrm{Spec}(A/I{)}_f\to \mathrm{Spec}{A}_f\to \mathrm{Spec}A,$$所以是浸入.

例 3.3. 概形范畴的单态射未必是浸入: 取无限域 $k$, 则态射$$\coprod _{a\in k}\mathrm{Spec}k\to \mathrm{Spec}k[x]={\mathbb{A}}_k^1,$$在 $a\in k$ 对应的分量定义为 $k[x]\to k$, $x\mapsto a$, 就是单态射, 但不是浸入.

例 3.4. 拟紧单态射也未必是浸入: 任取域 $k$, 环同态 $k[x,y]/(xy)\to k[x{]}_x\times k[y]$ 诱导的概形映射就是一例.

4相关概念

术语翻译

浸入 • 英文 immersion • 德文 Immersion (f) • 法文 immersion (f) • 拉丁文 immersio (f) • 古希腊文 ἐμβάθυσις (f)

子概形 • 英文 subscheme • 德文 Unterschema (n) • 法文 sous-schéma (m) • 拉丁文 subschema (n) • 古希腊文 ὑπόσχημα (n)