半范环

半范环是带半范数的环.

1定义

定义 1.1. 半范环指环 $R$ 附带函数$$|\cdot |:R\to {\mathbb{R}}_{\ge 0},$$称为半范, 满足:

•	$|0|=0$, $|-1|\le 1$.
•	对 $x,y\in R$, $|x+y|\le |x|+|y|$, $|xy|\le |x||y|$.

如有歧义, 可将 $R$ 的半范 $|\cdot |$ 记作 $|\cdot {|}_R$.

半范环的同态指环同态 $f:R\to S$, 满足对任意 $x\in R$, $|f(x){|}_S\le |x{|}_R$.

注 1.2. 由于 $1=(-1)(-1)$, $|-1|\le 1$ 推出 $|1|\le 1$, 但反之不然, 故这里要求 $|-1|\le 1$. 当然也可以要求 $|1|\le 1$ 以及 $|-x|=|x|$, 这是等价的.

不要求 $|1|=1$ 是为了包含零环. 但如 $|1|<1$, 则由 $|1x|\le |1||x|$ 便知每个元素的半范都是 $0$.

定义 1.3 (非 Archimedes 性). 称半范环 $R$ 为非 Archimedes, 或称非阿, 指它满足如下超距不等式: 对 $x,y\in R$, $$|x+y|\le \max \{|x|,|y|\}.$$

2例子

例 2.1. 每个环都按如下离散范数构成半范环: $$|x|=\{\begin{array}{ll}0,& x=0;\\ 1,& x\ne 0.\end{array}$$

例 2.2. Banach 环是完备的半范环.

例 2.3. 对交换半范环 $R$ 以及非负实数 $r$, 可作半范环 $R[T{]}_r$, 它作为环就是多项式环 $R[T]$, 半范定义为$$|a_0+a_{1}T+\cdots +a_n{T}^n|=|a_0{|}_R+|a_1{|}_{R}r+\cdots +|a_n{|}_R{r}^n.$$在交换半范 $R$-代数的范畴中, 它余表示函子$$S\mapsto \{x\in S:|x|\le r\}.$$

3性质

命题 3.1. 交换半范环的范畴有所有余极限, 可描述如下:

•	始对象是整数环 $\mathbb{Z}$, 半范是绝对值.
•	对半范环同态 $B\leftarrow A\to C$, 其推出是环的张量积 $B{\otimes }_{A}C$, 半范定义为$$|x|=\inf \left\{\sum _{i=1}^n|b_i{|}_B|c_i{|}_C:n\in \mathbb{N},x=\sum _{i=1}^n{b}_i\otimes c_i\right\}.$$
•	对半范环的滤图表 $(A_i{)}_{i\in I}$, 其滤余极限是环的滤余极限 ${\mathrm{colim}}_{i\in I}{A}_i$, 半范定义为$$|x|=\inf \{|a_i{|}_{A_i}:a_i\mapsto x\}.$$

命题 3.2. 交换半范环构成紧聚集范畴, 生成元可取为 $(\mathbb{Z}[T{]}_r{)}_{r\in \mathbb{Q}}$, 紧态射生成族可取为 $(\mathrm{id}:\mathbb{Z}[T{]}_r\to \mathbb{Z}[T{]}_s{)}_{r>s}$.

注 3.3. 上面两个命题中的范畴论性质不需要交换, 对结合半范环或其它一些半范代数对象也成立.

注 3.4. 命题 3.2 推出交换半范环有所有极限. 这也可以具体描述如下: 半范环图表 $(A_i{)}_{i\in I}$ 的极限是$$\left\{(a_i{)}_{i\in I}\in \underset{i\in I}{\lim }{A}_i:\underset{i\in I}{\sup }|a_i{|}_{A_i}<\infty \right\},$$这里 ${\lim }_{i\in I}{A}_i$ 表示环范畴中的极限; $(a_i{)}_{i\in I}$ 的半范为 ${\sup }_{i\in I}|a_i{|}_{A_i}$. 换言之, 半范环取底集不保持极限, 但对每个 $r\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}$, 函子$$R\mapsto \{x\in R:|x|\le r\}$$保持极限.

命题 3.5. 对交换半范环 $R$, 以下几条等价:

1.	$R$ 非阿.
2.	存在绝对值大于 $1$ 的整数, 其在 $R$ 中的半范小于等于 $1$.
3.	每个整数在 $R$ 中的半范都小于等于 $1$.

证明.

1 推 2	如 $R$ 非阿, 则 $|2{|}_R=|1+1{|}_R\le \max \{|1{|}_R,|1{|}_R\}=|1{|}_R\le 1$.
2 推 3	设 $d$ 是这样的整数. 如 $d<0$ 则用 $|-d{|}_R\le |-1{|}_R|d{|}_R$ 把 $d$ 换成 $-d$; 故可设 $d>0$. 设 $C=\max \{|0{|}_R,|1{|}_R,\dots ,|d-1{|}_R\}$. 则由 $d$ 进制展开便知对 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$, $$|n{|}_R=|a_0+a_{1}d+\cdots +a_k{d}^k{|}_R\le |a_0|+|a_1|+\cdots +|a_k|\le C(k+1),$$其中 $k=\lfloor {\log }_d(n)\rfloor$. 对 $n^m$ 使用知 $|n{|}_R^m\le |n^m{|}_R\le C({\log }_d(n^m)+1)=C(m{\log }_d(n)+1)$, 令 $m\to \infty$ 知 $|n{|}_R\le 1$. 对负数使用 $|-n{|}_R\le |-1{|}_R|n{|}_R$ 即可.
3 推 1	对 $x,y\in R$, $n\in \mathbb{N}$, 由二项式展开, $$|x+y{|}_R^n\le |(x+y{)}^n{|}_R\le \sum _{i=0}^n{\left|\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)\right|}_R|x{|}_R^i|y{|}_R^{n-i}\le \sum _{i=0}^n|x{|}_R^i|y{|}_R^{n-i}\le (n+1)\max \{|x{|}_R^n,|y{|}_R^n\};$$令 $n\to \infty$ 即得超距不等式. $\square$

4相关概念

•	Banach 环
•	Berkovich 谱

术语翻译

半范环 • 英文 seminormed ring